高考物理考前冲刺Ⅱ专题25递推法及其应用

1、2012考前冲刺物理专题25递推法及其应用一.方法简介递推法是利用问题本身所具有的一种递推关系求解问题的一种方法，即当问题中涉及相互联系的物体或过程较多，相互作用或过程具有一定的重复性并且有规律时，应根据题目特点应用归纳的数学思想将所研究的问题归类，然后求出通式。具体方法是先分析某一次作用的情况，得出结论；再根据多次作用的重复性和它们的共同点，把结论推广，然后结合数学知识求解。用递推法解题的关键是导出联系相邻两次作用的递推关系式。二.典例分析例1 .小球从高ho =180m处自由下落，着地后跳起又下落，每与地面相碰一次，速度,12减小（n =2）,求小球从下洛到停止经过的总时间为通过的总路程.

2、（g取10m/s ）n例L 1解析小球从星高处落地时，速率I=12岑生=60m , 5第一次跳起时和又落地时的谑率匕二%/2第二次跳起时和又落地时的速率外=年2;第m次跳起时和又落地时的速率5 =v072每次跳起的高度依次 =工=结出=21 =乌, 2g2g n通过的总路程s;h0 2h 2h2 2hm 二ho2h0 8(1n.2hn2 -1nn2 1n2 -11)2m-2 )n5.=- h0 = 300 m3经过的总时间为v t二t0 , t1t2tLm_ V_ . 2V112Vm . . TOC o 1-5 h z g ggVo11 m1 2 -2 ()-n 1)n - 13V ognn=

3、 18s例2.如图所示，质量 g10kg、上表面光滑的足够长的木板的在F=50N的水平拉力作用下，以初速度%=5m/5沿水平地面向右匀速运动,现有足够多的小铁块，它们的质量均 为m=l烟，将一铁块无初速地放在木板的最右端，当木板运动了 L=lm时，又无初速地在 木板的最右端放上第2块铁块，只要木板运动了 L就在木板的最右端无初速放一铁块.试 问.(取 g=10m/s2)(1)第1块铁块放上后，木板运物了 L时，木板的速度多大？(2)最终木板上放有多少块铁块？口也(3)取后一块铁块与木板右胸距离纭远？易如为如勿娱勿勿勿?如例之【解析】(1)木板最初做句速运动,由F = pi Mg解得，第1块帙块

4、放上后，木板做匀滥速运动，加速度大小为&口即有工 川吨=肱打2的=6.母代人数据解得：5=2灰血*(2)设最终有n块铁块能静止在木板上.则木板运动的加速度大小为:_谭维1F第1块铁块放上后：2a1L =v； -v； TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark9 o Current Document 第2块铁抉放上后：2a2L = v12 -v； II 22第n块铁块放上后：2anL=vn7-vnmg 22由上可得：（1 2 - 3 - n）2 L =V0 - VnM木板停下时，Vn =0,得n=6.6 ,即最终有7块铁块放在木板上.（3）从放上第 1块铁块至刚放上第

5、7块铁块的过程中，由（2）中表达式可得:把明侬片唳片2 M从放上第7块铁块至木板停止运动的过程中，设木板发生的位移为d ,则：2y中M八r4联立解得：d =-m7例文如图所示，在足够大的光滑绝缘水平面上有两个质量均为如相距为L的小球A和B诧处于静止，小球A带血的电量 小球B不带电，若沿水平向右的方向加一大小为E的句强色场，A球将受力而运动，并与B球发生齐全弹性碰撞（碰撞时间极短），碰后两球速度交换，若碰撞过程中无电荷转移，求;（1）A与B第一t欠碰后瞬时B球的速率?（2）从A开始运动到两球第二次相碰经历多长时间? 两球从第n次碰撞到第n+1次碰撞时间内A球所通过的路程? TOC o 1-5 h

6、 z 12例3 .【解析】（1）对A由动能定理：qEL =-mvA1解得Vai = 2qEL/m ； a与B相碰后速度交换。故第一次相碰后，A速度为零；B速度为vB =，2qEL/m（2）qE / m（2）从A开始运动到碰第一次历时t1 = vA设第二次碰前A速为vA2，从第一次碰后到第二次碰前历时t2对A、由动能定理：qEvA1t2 =12一 mvA22(3)qE,vA2 =-12(4)m.一2mL（2分）由（3）、（4）两式得：t2 =2 , qE故第n次与第n+1次斑撞经历时间为:故两球第二次碰时经历的时间为：t=t1 +t2 =3、；2mL/qE(5)(3)由(3) (4)两式解得：v

7、A2 =2 2qEL/m此时B的速度为vB = q12qEL/m第二次碰后速度再交换.由速度图像也可得到第三次碰前A速度= 32 qEL w(6)此时B的速度为也=1j2qEL t m (7)依此类推第n次碰前A速度为：第11次碰后B以速度Vj黑匀速运动，故该时间内A通过的路程为：S1t =匕= 4(10)例4.如图所示，在x轴上方有垂直于xy平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B,在x轴下方有沿y轴负方向的匀强电场，场强为E. 一质量为m电量为一q的粒子从坐标原点 O沿着y轴方向射出.射出之后，第三次到达 x轴时，它与 O点的距离为L.求此粒子射出时的速度 v和每次到达x轴时运动的总路程s.(重

8、力不计)例4 .【解析】 粒子进入磁场后做匀速圆周运动，经半周后通过轴进入电场后做匀减速直线运动，速度减为零后，又反向匀加速通过x轴进入磁场后又做匀速圆周运动，所以运动有周期性它第3次到比X轴时距0点的距离L等于圆半径的4倍(如图613甲所示) 粒子在磁场中做句速圆周运动的半径为R = -=-Bq 4所以粒子射出时的速度v =Am粒子做ia周运动的半周长为八=上 1 4粒子以速度v进入电场后做句够速直线运动，能深入的最大距离为中因为 v3 = 2 ym *所以粒子在电场中进入一次通过的路程为 与=2y =月空16mEI粒子第1次到达x轴时通过的路程为s1 =n R = _lL B2qL2一 4

9、 16mE4粒子第2次到达x轴时，已通过的路程为s2 = S| + s2粒子第3次到达*轴时，已通过的路程为 巧=修+叼+=9+上空2 16mE粒子第4次到达算轴时，已通过的路程为 勾=2玄+2$,二其十刍更2 8mE粒子第Q网-1)次到达*轴时，已通过的路程为J(2D = -Dg = + (n-l) 416mE粒子第助次到iiK轴时,，已通过的路程为,=网51+$,)=冗匹+且正) 加 工,416m上面n都取正整数例5. 10个相同的扁长木块一个紧挨一个地放在水平地面上，如图6 9所示，每个木块的质量 m= 0.40kg,长度l = 0.45m ,它们与地面间的静摩擦因数和动摩擦因数均为内=

10、0.10.原来木块处于静止状态.左方第一个木块的左端上方放一个质量为 M=1.0kg的小铅块，它与木块间的静摩擦因数和动摩擦因数均为 出=020.现突然给铅块一向右的初速度 V0 =4.3m/s,使其 在大木块上滑行.试确定铅块最后的位置在何处 (落在地上还是停在哪块木块上) .重力加 速度g取10(m/s)2,设铅块的长度与木块相比可以忽略 .M.售例5 .【解析】 当铅块向右运动时，铅块与 10个相同的扁长木块中的第一块先发生摩 擦力，若此摩擦力大于 10个扁长木块与地面间的最大静摩擦 力，则10个扁长木块开始运动， 若此摩擦力小于10个扁长木 块与地面间的最大摩擦力，则10个扁长木块先静

11、止不动，随着铅块的运动，总有一个时刻扁长木块要运动，直到铅块与扁 TOC o 1-5 h z 长木块相对静止，后又一起匀减速运动到停止铅块M在木块上滑行所受到的滑动摩擦力f1 = -Mg =2.0N设M可以带动木块的数目为 n,则n满足：f1匕(M +m)g (n 1)匕mg之0即 2.0 -1.4 -0.4(n -1) _ 0上式中的n只能取整数，所以 n只能取2,也就是当M滑行到倒数第二个木块时，剩下 的两个木块将开始运动.设铅块刚离开第8个木块时速度为V,则 1919.Mv 二 一 Mv0 -IMg 8l22得：v2 =2.49(m/s)2 0由此可见木块还可以滑到第9个木块上.M在第9

12、个木块上运动如图69甲所示，则对 M而言有：R1Mg = MaM得：aM = -2.0m/s2第9及第10个木块的动力学方程为：氏Mg-+酬)且一外修2 = 2汨公，得！ a = 0.25m.设M刚离开第9个木块上时速度为d,而第10个木块运动的速度为,，并设木块运 动的距离为5,则M运动的距离为$ 十八ff:=/ + 上+ 0Vi2 =2 门vr = v + aMtW = aml 二 0.61 Im 5 v,f 0.26 m $消去匕及t求出： f或，显然后一解不合理应舍去.，= 0.212 Msr = 0.23w/j因/ 片，故M将运动到第10个木块上.再设M运动到第10个木块的边缘时速度

13、为 v”,这时木块的速度为 V,则：V 2 =v 2 2aM (s l)解得：v2 =-1.63-4sc0,故M不能滑离第10个木块，只能停在它的表面上，最 后和木块一起静止在地面上 .例6.如图所示，A为位于一定高度处的质量为m带电荷量为+q的小球，B为位于水平地面上的质量为 M的用特殊材料制成的长方形空心盒子，且M=2m盒子与地面间的动摩擦因数以=0.2,盒内存在着竖直向上的匀强电场，场强大小 白驷，盒外没有电场.盒子q的上表面开有一系列略大于小球的小孔，孔间距满足一定的关系，使得小球进出盒子的过程中始终不与盒子接触.当小球A以1m/s的速度从孔1进入盒子的瞬间，盒子B恰以vi=6 m/s

14、 的速度向右滑行.已知盒子通过电场对小球施加的作用力与小球通过电场对盒子施加的作用力大小相等方向相反. 设盒子足够长，取重力加速度g=10m/s2,小球恰能顺次从各个小孔进 出盒子.试求：(1 )小球A从第一次进入盒子到第二次进入盒子所经历的时间；(2)盒子上至少要开多少个小孔，才能保证小球始终不与盒子接触；从小球第一次进入盒子至盒子停止运动的过程中，盒子通过的总路程.J 1. I例6. (1) 4在盒子内运动时，qE-/ng = wE由以上两式得a=gA在盒子内运动的时间G =2=0以启在盒书陶动的时间=兰=0Z也.SA从第一次进入盒子到第二次进入盒子的时间T = *-4s(2)小球在盒子内

15、运动时，盒子的加速度乌=坐产 =4地1小球在盒子外运动时，盒子的加速度a2 =上她=2m/s2M小球运动一个周期盒子减少的速度为Av =aiti +a2t2 =4X0.2 +2X0,2 =1.2m/s从小球第一次进入盒子到盒子停下，小球运动的周期数为n =工=2=5:v 1,2故要保证小球始终不与盒子相碰，盒子上的小孔数至少为2n+1个，即11个.(3)小球第一次在盒内运动的过程中，盒子前进的距离为 .1.26 =v1t1 - 2&匕=1.12m小球第一次从盒子出来时，盒子的速度v2 =v1 -a1tl =5.2m/s小球第一次在盒外运动的过程中，盒子前进的距离为s = v2t2 -azt；

16、=1m2小球第二次进入盒子时，盒子的速度v3 =v2 -a2t2 =4.8m/s小球第二次在盒子内运动的过程中，盒子前进的距离为s3 = v3t - 1 a1tl2 =0.88m2小球第二次从盒子出来时，盒子的速度v4 =v3 _a1tl =4m/s小球第二次在盒外运动的过程中，盒子前进的距离为s4 =v4t2 ； a2t； = 0.76m TOC o 1-5 h z 分析上述各组数据可知，盒子在每个周期内通过的距离为一等差数列，公差d =0.12m.且当盒子停下时，小球恰要进入盒内，最后 0.2s内盒子通过的路程为 0.04m.所以从小球第一次进入盒子至盒子停止运动的过程中，盒子通过的总路程

17、为n(Si S10)10(1.12 0.04)s = = =5.8m22三.强化训练2.如图所示，一固定的斜面，倾角 6 =45%斜面长L=2.00米.在斜面下端有一与斜面垂直的挡板.一质量为m的质点，从斜面的最高点沿斜面下滑，习初速度为零.下滑到最底端与挡板发生弹性碰撞(无动能损失)./已知质点与斜面间的动摩擦因数0 =0.20,试求此质点从开始到J,发生第11次碰撞的过程中运动的总路程2.解析 因为质点每次下滑均要克服摩擦力做功，且每次做功又不相同，所以要想求质点从开始到发生 n次碰撞的过程中运动的总路程，需一次一次的求，推出通式即可求解 设每次开始下滑时，小球距档板为s则由功能关系： -

18、mgcosMs s2) = mg(s1 - s2)sin1mgcosMa 53); mg(s2 y)sin i员IJ月 = =,=-=一由此可见每次碰撞后通过的路程是一等上麒列，其公比为二在发生第11次碰撞过程中的路程s = + 2$ n + 2s3 + 2ju7 n-G)112(51 +$r +占三 + *+- 5二3= 10-12 /)11(m) = 9.86(m) 33.有n块质量均为 m厚度为d的相同砖块，平放在水平地面上，现将它们一块一块地叠放起来，如图所示，人至少做多少功？工解析将平放在水平地面上的巷一块一块地叠放起来，每次克服重力做的功不同，因此需T欠T欠地计算递推出通式计苴.将第2块偷平放在第一块砖上人至少需克服重力做功为用二=加侬招第3、4,，n块砖依次叠放起来，人克服重力至少所需做的功分别为亚a = fng2dW4 =例 3d% =阻g 4