2019-2020学年高中数学人教A版选修4-5学案：第一讲一1.不等式的基本性质含解析

1、一 不等式1.不等式的基本性质1.理解不等式的性质，能运用不等式的性质比较大小.不等式和绝对值不等式学习目标,2.能运用不等式的性质进行判断和简单证明.预习案自主学习.一研读*思考，饯试卜L “知提炼一.两个实数大小的比较(1)ab? ab0;(2)a=b? ab三0;(3)av b? a-bb,那么bva；如果bva,那么ab,即ab? bva.(2)如果 ab, bc,那么 a c,即 ab, bc? ac.(3)如果 ab,那么 a+c二b+c.(4)如果 ab, c 0,那么 ac be;如果 ab, cb0,那么 an二bn(nCN, n2).(6)如果 ab0,那么独二证(nCN,

2、 n2).作差比较法(1)理论依据：a b0? a b; a b= 0? a=b; a bb,则 a c b c.()(2)若 acv bc,贝U ab,贝U anbn.()_1,11(4)若 avb0,则()(5)若 acv bc,且 c0,贝U av b.()(6)若 ab,则ab.()c c若 ab, 11,则 a0, bNC. M=ND. MN解析：选 A.因为 M-N=(x+5)(x+ 7)-(x+ 6)2=- 1b等价的不等式是()_22A. |a|b|B. a bC. b1D. a3b3解析：选 D.当 ba0 时，|a|b|, a2b2, ab可知f(a)f(b),即a3b3.

3、所以a3b3与ab等价.4.若aCR,则a2+3与2a的大小关系是.解析：因为 a2+3-2a=(a-1)2+20,所以 a2+32a.答案：a2+32a 探究案。讲练互动解惑探究妾玻I探究点1 比较大小学生用书P1例11已知x1 ,比较x3- 1与2x22x的大小.【解】x3 1 (2x2 2x)= x3 2x2+ 2x 1=(x3-x2) (x2- 2x+ 1)= x2(x 1)- (x- 1)22=(x- 1)(x -x+ 1)=(xT)Q-2)+4因为x1 ,所以x-10.又因为1j+30，所以(x1)xx 2 ； + 4 0.所以 x3 12x2 2x.作差比较法的四个步骤把所饕比较

4、的两数(式)作区) j通过一一分解、提公因式 配方等方一.将 j.r转化为盛一,r-判断所得差的符号-根据一的符号：判断两数(式)应无扪出里里训练1.已知a, bCR, x= a3-b, y=a2b-a,试比较x与y的大小.解：x y= a3 b a2b + a= a2(a b)+ a b= (a b)(a2+ 1).当 ab 时，x-y0,所以 xy;当 a = b 时，x-y=0,所以 x=y;22 y +1解：因为A2B2 = x2+1当 avb 时，x-yy0,试比较A与B的大小. x2 y2 xx2 (y2+1) y2 (x2 + 1)x2 (x2+1)x2-y2(x-y)(x+y)

5、x2(X2+ 1)x2 (x2+ 1)因为xy0,所以 x y0, x+ y0, x20, x2+11.所以(x-y)( x+ y)x2 (x2+ 1)0.所以A2B2,又 A0, B0,所以AB.探究点2 不等式基本性质的简单应用学生用书P2例2）对于实数a, b, c,有下列命题：若 ab,则 acbc2,则 ab;若 ababb2 TOC o 1-5 h z 其中真命题的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【解析】假，未知c是正数、负数还是零，因而判断ac与bc大小缺乏依据，故该命题是假命题；真所以真所以,由 ac2bc； 知 cw0,故 c2。，ab,故该命题是真命题；? abb

6、2,ab02 abaab，b ab b2 .故该命题为真命题.【答案】 C（1）在利用不等式的性质判断命题真假时，关键是依据题设条件，恰当地选取使用不等一是满式的性质.否定命题的结论，有时往往举反例.但要注意取值一定要遵循两个原则:足题设条件；二是取值要简单便于验证计算.（2）运用不等式的性质时，一定要注意不等式成立的条件；要弄清每一个性质的条件和 结论，注意条件放宽或加强后，结论是否发生了变化.乜；跟踪训练1.若a, b, c为实数，则下列命题中正确的是（）A.若 ab,则 ac2 bc2B.若 avb,则 a+cv b+cC.若 a1a b解析：选B.对于A,当c= 0时不成立;对于B ,

7、根据不等式的性质，若av b,则a+cvb+c,故成立;对于C,当cb0,a b- 一d ca bd ca b 一c da bc d 0,则，定有（一 d解析：选B.因为cvdv0,所以； c0,而 ab0,所以弓b0, d c所以a b0, c d0, e (b-d) 2.【证明】 因为c d-d0.因为 ab0,所以 a-cb-d0.(*)(1)由(*)式知又80,a c b d所以eea cb d(2)由(*)式知(a-c)2(b-d)20,，11(b-d) 2 (a-c)所以一e一2V(b-d)(a-c)e e(a-c) 2 (b-d) 2. 又 ev0,2进行简单不等式的证明时利用不

8、等式性质证明不等式的技巧如果不能直接应用不等式的性质得到,我们可以先分析需要证明的不等式的结构特点，利用不等式的性质进行逆推，寻找其成立的充分条件.出跟踪训练1.已知a0, b0, c0, d0,且:吟求证：魅d.证明：因为 a0, b0, c0, d0 且d，所以 adbc，所以 ad + cdbc+cd，即d(a + c) c(b+ d),所以a+ c cb d d2.已知 ab0, cd0,求证:证明：因为cd d0.所以 0-1b0,所以一a b0. d c两边同乘以一1,得个探究点4,a利用不等式的性质求代数式的取值范围学生用书P3例4 (1)已知：一2 a 2,求0/的范围；(2)

9、已知：一iwa+bwi, 1a-2b3,求 a+3b 的范围.【解】 因为一2必其2,、， 兀 a 兀 兀 J3 兀所以-L异4，一2支，所以4-f4，所以=,万 民B又因为a 3,所以一520.(2)设 a+3b=%(a+b)+ 初a2b) =(九+ ?2)a+ (?i 2 ?2)b.解得-5, 42. 335- 3-又551223(a+b)3，-2 -3(a-2b) -3.所以3忘 a+3bwi.卜求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答此类问题的基础，在使用不等式的性质中，如果是由两个变量的范围 求其差的范围，一定不能直接作差，而要

10、转化为同向不等式后作和.也；眼人跟踪i.若ia2, 2b1,则a|b|的取值范围是 .解析：因为一2b1 , 所以 0 |b|2.所以一2 |b|w 0,又1a2,所以一3a-|b|2.答案:(3, 2)x,2.已知1x3, 1y2,试分别求x+ y, xy,，的取值氾围.解：因为一1x3, 1y2,所以 0 x+y5.又一 2一y一 1,所以一3x y2.1又不一 1,y 当 0Wx3 时，0wx3； y当一1x0 时，0 x1 , 01 , 1x0.yyx综上所述，1x3. y所以 0 x+y5, -3x- y2 , 1yb? ab0;ab? abb, cbd;(4)性质(5)(可乘性)的

11、作用：它是乘法法则的依据；用它可推导除法法则，即ab0,0cb;用它也可推导倒数法则，即 ab0? 11.c da b(5)不等式性质的等价形式及应用：传递性：ab, bc? ac;可加性：ab, c R? a+ cb+c;加法法则：ab, cd?a+cab, 0cd? ac2”都需要 注思. 学堂检渊 .已知数轴上两点 A, B对应的实数分别为 x, y,若xv y |y|0.故P在Q的右边.若 x+ y0, a0 ,贝U xy 的值()A.大于0C.小于0B.等于0D.符号不能确定解析：选A.因为a0,所以y0. 因为 x+y0,所以(x+y)+( 2y)0,所以 x y0.设2a7, 1b2,则a的取值范围是 .b解析：因为1b2, 1 1所以2bi ,a所以当0Wa7时，。87,当一2a0 时，