第31届全国部分地区大学生物理竞赛试卷与解答

1、第 31 届全国部分地区大学生物理竞赛试卷与解答2014.12.07将地球半径R 、自转周期T 、地面重力加速度g 取为已知量，则人造地球同步卫星的轨道半径=gT 242R13 R ，轨道速度相对第一宇宙速度的比值= 412RT 2g6 。如图所示，水平桌面上静放着质量为M ，内半径为R的半球面形薄瓷碗，碗的底mR座与桌面间无摩擦。将质量为m 的小滑块在图示的碗边位置从静止释放，随后将会无摩擦 地 沿 碗 的 内 表 面 滑 下 。 小 滑 块 到 达 最 低 位 置 时 ， 它 相 对 桌 面 的 速 度 大 小 为M2MgRMm ，它对碗底的正压力大小为3M2m Mmg 。如图所示， 长

2、l 的轻细杆两端连接质量相同的小球A、B ，开始时细杆处于竖直方位，A2v0B下 端 B 球 距 水 平地 面 高 度 记为h 。 某 时 刻 让 B 球 具 有 水 平 朝 右 初 速度v0 （ 其 大 小lv0gl2 ），其上方A球具有水平朝右初速度2v 0 。假设而后A、 B 同时着地，则h 可v0取的最小值h=2 gl4v 2l8v 2，取 h时， B 从开始运动到着地过程中其水平位移sh=312minl2 。00min两个测量者A和 B ，各自携带频率同为1000Hz 的声波波源。 设 A静止， B以 10m / s 的速度朝着A运动， 已知声速为 340m / s，不考虑人体的反射

3、，则 A接收到的拍频0A拍 =30 Hz （请保留2 位有效数字） ， B 接收到的拍频B拍 = 29 Hzv0v0（请保留2 位有效数字） 。123v0如图 1 所示， 3 个相同的匀0质球体以相同的水平初速度v0 平图 11抛出去。其中球1 抛出时无自转， 球 2、球 3 抛出时有自转，自转方向已在图 1 中示出， 自转角速度值0 相同且较大。球1 抛出后，落地前球心的一段31图 2运动轨道如图2 长方形内一段曲线所示，2试在该长方形区域内定性画出球2、球 3落地前各自球心的一段运动轨道。（球 2、球 3 球心在图2 中的初始位置，可不受图1 所示位置限制。 ）如图所示，在一个绝热的竖直气

4、缸里存有一定量的理想气体，开始时绝热的活塞p 2 p0p0是固定的。现拆去销钉（图中未画出），气体因膨胀而将活塞和重物举高， 则此过程中气体的压强减小，温度降低。（空气体白处可填 “增大 ”、“减小 ”、“升高 ”、 “降低 ”。）某气体经历的循环过程如图所示，气体分子的热运动平均自由程和气体温度T 都会随过程而变。将的最大值和最小值分别记OV02V0V为max 和min ，则max :min= 2 。将 T 的最大值和最小值分别记为Tmax 和Tmin ，则该气体在Tmax 热源和Tmin 热源之间形成的卡诺循环过程效率卡= 75% 。（空白处只可填数值。）在图中用实线代表的3 根首尾相接的

5、等长绝缘细棒上的电荷分布，与c绝缘棒都换成等长细导体棒且处于静电平衡时的电荷分布完全相同。已测得图中 A、 B两点电势分别为U A 、 U B ，今将绝缘棒ab 取走，设这不影响绝AB2缘棒 ac 、 bc 的电荷分布，则此时A 点电势 U AU A ， B 点电势 U B3abU。11U AB62双缝干涉装置如图1 所示， 屏幕中央 O 处出现亮条纹。O 处上下都有亮屏幕条纹，设图1 标出的参量均为已知量，则相邻两条亮条纹间距可表述为xDaO。图 2 所示也是一种杨氏双缝干涉装aOba屏幕Aa45 oBaD置，直角挡板的两个侧面分别有对称的透光细缝 A、 B 。屏幕与挡板的一个侧面平图 1行

6、，屏幕 O 处可出现亮条纹。设图 2 标出的参量均为已知量，则屏幕 O2bo45处附近相邻两条亮条纹的间距可表述为x。a图 2铝的逸出功是4.2eV ，铝的红限波长m3 102nm 。若用波长为 200 nm 的光照射铝表面，则光电效应的遏止电压上结果保留一位有效数字即可）11.（ 15 分）U 02 V 。（普朗克常量h6.631034 J s，如净质量M 0 的喷水车，存水质量m0 ，在平直道路上以匀速度v 行驶的同时，朝左、右两侧绿化带水平横向喷水，喷出去的水相对车身速度大小为常量u ，单位时间喷水质量为常量。已知车在行驶过程中受 正面空气阻力大小为v ，其中为正的常量；受地面阻力大小为

7、N ，其中为正的常数，N 为地面所受正压力。 不计其它能耗因素，试求车装满水启动达匀速v 并开始喷水后，直到水喷净为止，车内作功装置的作功量 W 。解：为喷水提供作功总量W1 m u 2（2 分）210t0， x0 开始计时、计程，t0时刻xvtMM0牵引力FvMgvgMxm0vmx（ 5 分）x0 到 xevtev m0，总功00vxexeWFdxvgMmxdx所求为200m0vg M 0200m0vv（ 6 分）WWW1 m u2vgMm0m0v（ 2 分）22120012.（ 15 分）如图所示，半径为R的长直圆柱形几何空间区域内，有轴向的匀强磁场，磁感A应强度 B 的方向垂直于图平面朝

8、里，其大小随t 变化，且有dB dtk ，式中 k 为正的常量。 圆柱形空间区域外没有磁场。 在圆柱形空间区域内的一个正截面内， 有一个用金属丝连接而成的圆内接正三角形 ABCA，其中 AB 段、 BC 段和 CA 段的电阻分别记为 r1 、 r2 和 r3 。r1Rr3 RRBr2C（ 1）试求 AB 段从 A到 B 方向的电动势AB ；（ 2）设 r1r2r3 ，试求AB 段从 A到 B的电压UAB ；（ 3）改设 r1r0 、 r22r0 、 r33r0 ，再求 AB 段从 A到 B 的电压U AB 。解：（ 1）回路电动势为ddB1 3 R3R3 3 kR2ABCAdtdt2 24因对

9、称，即得132kRABABCA34（ 6 分）（ 2）回路电压因对称，有UABU BCU ABCAU CA0U AB0（ 3 分）（ 3）将 r1r0 、 r22r0 、 r33r0 代入电流公式：IIrrr33 kR2(6 r )ABCAABCA123042得I3kR(8r0)继而得U ABABIr13 kR28（ 6 分）13.（ 15 分）理想气体多方过程可表述为pV n1 （常量）或TV n12 （常量）（ 1）已知1 和气体的摩尔数，求2 ；（ 2）已知多方指数n 和气体的等体摩尔热容量CmV ，试依据过程摩尔热容量定义式CmdQdT ，导出该多方过程的摩尔热容量Cm 。解：（ 1）

10、pV n1pVRTTVn 1R21R（5 分）1（ 2） CdQdTpdVCdTdTpdVC1dT2mmVmVV n 12 Tn1 V n2dVdTT 2V npn11dVdTT 2dTRT 21pVRTnpV 21 dV V21dT TRdTpVpdVRdTn1CCR（ 10 分）n1mmV另解：2TV n 1V n 1dTdV( n1)V n1V2TdV01RdTn1 Tn1 P代入 1 式：CmCmVpdV dTRCmVn1y14.（ 15 分）如图所示， 在Oxy平面上有场强为E 平行于 x 轴方向的匀强电场，还有垂直于 Oxy 平面朝里的磁场，磁感应强度B 的值仅随x 变化。在 xa

11、 、BEav0BPya 处，质量为m 、电量 q0 的质点 P 具有速度v0 ，使得 P 的而后运动Oax轨道恰好是在Oxy平面上以O 为圆心的圆周。已知P 在运动过程中速度BB达最小值（不为零）时，所受磁场力为零。（过程中不考虑重力的影响。）E（ 1）试求速度v0 的方向和大小；（ 2）将圆半径记为R，试在 RxR范围内确定B随 x 变化的函数。解：（ 1） P 的初始位置到O 的距离即为圆半径，故有yR2a磁场力不作功，电场力作功，P的动能最小（即速度最小）位置必是在题解图1 中xR、 y0处。 P在该位置处不受磁场力，表明Rv0EBaBPxvminOaRBBE题解图1B xR0P 作圆周

12、运动所需向心力即为电场力，可得mv2vminqE R2minqER m ， R2aP 在初始 xa 、 ya 处时的动能为1 mv21 mv2qE Ra ， R2a0min22故有v2v22qE21 aqE 322 a m0minm即得方向：如题解图1 所示的切线方向v0大小： v0qE 3 22 a m（7 分）y（ 2）参考题解图2， P 处于图示位置时，引入参量xx a （x 带正、负号）则有11vBqvBP qE Oxxmvmv2222min2qEqEx2 ax2 avv22minqEm322 x a m题解图2因qvBqE cosmv22a得BE cos vmv 2qa， cosxx

13、R2所求 Bx函数便为B(x)mE 2qax3 22 xAB322 xRxR2ax2a（ 8 分）说明：题解图2 中， P 位于第 I 象限求得B( x) 分布，考虑到x 正负号与不同象限CD中 cos正负号的组合关系，所得15.（ 20 分）B( x) 分布同样适用于II 、 III 、 IV 象限。图 1AB用某种导电材料制成如图1 所示的匀质正方形电阻薄平板，4 个微微朝外突出的顶端记为A、 B、 C 、 D 。将 A、 C 两端间的等效电阻记为R1， A、 D 两端间的等效电阻记为R2 。（ 1）设电流I 从 A端流入， C 端流出，请定性画出平板中电流线的分布，而后CD图 2试导出R

14、1、R2 、 2R1 之间的大小排序关系。（ 2）如图 2 所示，用理想导线连接B、 D 端，试求此时A、 C 两端间的等AB效电阻RAC ，答案用R1、R2 表示。（ 3）如图3 所示，将6 块这样的电阻薄平板通过顶端间的焊接，棱边间均AB不焊接且不接触， 构成一个中空且露缝的“正方体 ”，试求图中两个相对顶端C 、B间的等效电阻RCB，答案用R1 、 R2 表示。解：（1）设电流I 从 A端流入， C 端流出，板中电流的定性分布图如题解图1 所示。将C端电势记为0 ， A端电势记为，则有CDR1（ 1）图 3I再将 B端电势记为UBU B ，则必有IU B若将 D 点电势记为U D ，则因

15、电流分布的对称性，AB必有U DUCU AUBUDUB又因 UBUD ，与上式联立，便得C1D（ U BUD即有U B2U BBU12BU12UB）2（2）I0U B题解图 1以题解图1 电流分布为样本，构建题解图2 中（ a）、（ b）两种电流分布，它们叠加成题解图2 中（ c）的电流分布，此分布便可给出题文中的R2 为RUBUB22U B（ 3）III由（ 3）、（1）式，得代入（ 2 ）式，可得UBR2 ，2IR1IRI R1 IRIUBU BU BIU B012122ABABAB即得所求大小关系为2R1R2R1（ 4 ）CDCD（7 分）C此处，还可得I0D0U BII0U BIUI

16、R1R（a）（ b）（c）B2222 R1UR2B（ 5）题解图 22 R1（ 2）设电流 I 从题图2 的 A端流入， C 端流出， 电流的定性分布如题解图3 中（ a）所示，并将 A、B 、 C 、 D 端电势分别记为U A(a) 、U B( a) 、U C (a) 、IUD (a) 。图（ a）中左侧正方形平板中的电流分布，可分解为题解图3 中U A a AU BaIBABIUBBUB0I AB（ b）和（ c）中未画出的电流分布的叠加。 （ b）中CIU C aCDCD U DaDI0UBUI电流和电势分布与题解图 1 完全相同。（c）中电流 I 从 D 端流入， B 端流（ a）（

17、b） 题解图 3（ c）出，参照题解图1 的结构，可设B 端电势为 0 ， D 端电势记为待定的， C端电势记为U B ， A端电势便应为UB 。（ a）中 B 、 D 间的理想导线使B 、 D 等势，结合叠加关联，有U B (a)U D (a) ， U B( a)U B ， UD (a)U B得2U B（ 6）将（ 5）式代入，得R21 R1（ 7）（ c）中 I 流入形成的、 UB 与（ b）中 I 流入形成的、 U B 之间应有同构关联，即可引入两个比例常量0 、0 ，有I ， U BI ；I ， U BIUBUB即得UBU B将（ 5）、（7）式代入，得UR2R21对应图（ a）中有U

18、 AC (a)U A ( a)BUC ( a) 2U B2R1R1U B0UBR21 R1R2R2R21R1R1R2得U AC ( a)2R1R1（8）图（ a）中 A、 C两端间的等效电阻，即为题（2）所求RAC，应为ACRU AC (a)R22R2IR1R1I将（ 1）式代入即得RAC2R2R R12（ 9）（ 6 分）据（ 4）式，已有2R1R2 ，故必有IRAC0AB（ 3）参考题解图4，电流 I 从 C 端流入后， 均分到正板面、左板面和下板面，故正板面中电流1AI B上BI C正=I 3I A正I B正I B右此电流经A、 B 、 D 端分流流出，应有I A正=ID正1DCI C正

19、II A正I D正I B正IC正 =I 3D正（ 10）CD其中 I B正 将等分给从B 端流入上板面的I B上 和流入右板面I的 I B右 ，即有I B上 =IB右 ， I B正 =IB上I B右题解图 4I最终从 B 端流出的总电流也为I 。如果让电流I 从 B 端反向A流入，则I B上、 I B右也将大小不变地反流，它们将与题解图4 中1BI112I的 I A正 或 I D正 同构，故必有1 I1 I31A612B3 II B正=I A正结合（ 10）式，得1I D正2I A正1111 II12 I126CDI B正=I 6， I A正=I D 正=I 12（ 11）1I116据此可得题

20、解图5 所示的电流分布电流 I 从输入端 C 到输出端B 形成的总电压为II312CDUCBU CB (正)U BB (上)I从上板面B 端到 B 端的电压UBB(上)，可等效为从正板面题解图5A端到 C 端的电压的负值，即等效为从正板面C 端到 A端的电压 U CA ，即有UBB (上)U CA (正)U CB=U CB (正)U CA (正)（ 12）题解图 6 中（ a）、（ b）、（ c）的电流分布，可叠加成（d）所示的正板面电流分布。（a）、（ b）、（ c）中各端点的电势依据题解图1、2 给出，叠加成（d）中相应点的电势（ （ d）中未标出） ：1U11111 IB1 I01212

21、UBBA 12UBUB12061BI12 I6AAB6AB1 I CD1 ICD1 I6 I CDCD1121121121UB12121210UB61I1312 I0（ a）（ b）（c）（ d）题解图 6U (正)1 U， U1BBBBB(正)U1U1 U11UAB121212663U(正)111 U11 UCBB继而可得1212666U(正)U(正)U(正)11 U11U1 UCBCBBBB66632U(正)U(正)U(正)11 U1 U11 UCACABBB6612612代入（ 12）式，得U11117CB =U BUBUB（ 13）2612612其中、 U B 均由本题（1）问解答中给

22、出，即IR1 ， U B1代入（ 13）式，即得R22 R11U1 IR71 IRR21 R7 RICB6所求 RCB 便为112 2R61242RU CB1 R7 R（ 7 分）12CBI62416.（ 20 分）阻尼振动的微分方程为x0 x2x200（ 1）0 为临界阻尼，方程通解为tx临C临1C临2t e设 t0 时， x临x临0， x临v临0，其中 x临0、v临0都带有正负号。（ 1.1）试求 C临1、 C临2。（ 1.2）若x临00 ，试通过分析，确定v临0取哪些值，使振子都不能经有限时间降到x临0 位置。（ 2）0 为过阻尼，方程通解为22 t22 t00 x过C过1eC过2e设

23、t0 时， x过x过0， x过v过0，其中 x过0、v过0都带有正负号。（ 2.1）试求 C过1、 C过2。（ 2.2）若x过00 ，试通过分析，确定v过0取哪些值，使振子都能经有限时间降到x过0 位置。（ 2.3）若x过00 ，试问 v过0取何值时，可使C过10 ？（ 3）若临界阻尼振动取 （ 1.2）问所得 x临0和 v临0，过阻尼振动取 （ 2.3）问所得 x过0和 v过0，且 x过0试问临界阻尼振动与过阻尼振动中哪一个可使振子更快地趋向零点？解：（ 1）由 t = 0 时的初始条件，可得x临0，C临1x临0，C临2C临1v临0（ 1.1）由上述两式，可解得C临1x临0， C临2x临0v

24、临0（ 3 分）（ 1.2）在x临00 前提下，振子在有限时间内不能降到x临0 位置的条件是C临1Ct0临2t0即得所求为v临0 x临0（ 2 分）（ 2）由 t = 0 时的初始条件，可得CCx，22C22Cv22过1过2过00过10过2过0(C过1C过2)0 (C过1C过2)v过0（ 2.1）由上述两式，可解得1x过0v过01x过0v过0C过1x过02,C过2222x（ 3 分）过02200（ 2.2）过阻尼通解可表述为t122x0过x过0e22t21 e01（ 2 分）2v过0 / x过0222200等号右边第一项整体取正，且单调递减，但不会达到零值。t = 0 时，方括号内的算式其值为

25、正，而后其中左侧项整体绝对值随t 增大，右侧项则为常量。如果在某个 t 0 有限时刻，方括号算式其值为零，则对应 x过0 ，振子降到该位置。分两种情况分析：I .v过00 ，则220为正，1220为正0（a）若221为正，则因11222200t 0 时，恒有t2221 e010222200II .v过00 ，则0222200此时必有C过2x过00（ a）设220101220（为正），则220，(220)v过 0(220) x过 0又因22012201，无论2201为正或为负t 0 时，仍然恒有1 e2202 t22022010（b）设220101220（为负），则220，(220)xv过 0(

26、220)x过 0仍因11，故两者均为负值，且左边的绝对值小，右边的绝对值大。故必定存在有限的某个t 0，使得1 e2202 t22022010左边负值的绝对值增大到等于右边负值的绝对值综上所述，v过 0 取值范围为v2过 0(20) x过 0（ 5 分）时，振子都能经过有限时间降到x过0 位置。（2.3）为使 C过1v0 ，要求 v过 0 取值为2过 0(20) x过 0（ 3）此时tx临C临1C临2t e(22 )t22ttxCe0 xe0e过过2过 0据（ 1.2）题文和（ 1.2）问解答以及（1.1）解答，已有x临00 ， C临1x临00C临2C临2x临0 0v临0 ， v临0 x临0即

27、x临0v临00据（ 2.3）题文，还有x过0 x临00则必存在某个t 0 时刻，使得t t0 时有22 t22 tx过x过Cxe0e000临1过 0Cx临1临0ttln x过 0 /22x00临0进而， t t 0 时必有t22CCtCxe0临1临2临1过 0（ 5 分）考虑到前式中的et 为公共的衰减因子，故过阻尼振动可使振子能更快地趋向零位置。17.（ 20 分）如图 1 所示，在光滑的水平面上，平放着一个质量为 M m 、半径为 R的均匀圆环， 它的直径两端分别连接长度同为 l 的轻细绳， 绳的另一端分别连接质量同为 m 的小物块。开始时细绳伸直，环和物块静止。某时刻令两小物块在垂直绳的

28、水平方向上分别获得方向相反、大小同为v0mRRllOmv0Mv0 的初速度。假设最终细绳能全部缠绕在环上，两个小物块贴在环边与图 1环一起转动，且过程中不发生小物块与圆环的碰撞。（ 1）考虑到过程中绳的作用可能不损耗机械能，也可能损耗机械能，vm试求的取值范围。muxl（ 2）假设系统从初态到末态的过程可分vu为两个阶段， 第一阶段如图2 所示， 图中为R圆 环 转 角 ， u 为 环 边 转 动 速 度 ，R90oOOM0 角为细绳相对圆环转角，v 为Rlu物块相对圆环速度。据（1）问，取绳不损耗muv机械能对应的值，试导出两个可求解u 、vvm的方程组（不必求解） ，方程组中不含参量M 、

29、图 2图 3m 和。（ 3）设 lR ，将90o 代入（ 2）问所得方程组，求解u 和 v ，答案用v0 表示。（ 4）第一阶段结束于图2 中的 达 90o ，而后进入过程的第二阶段，即绳连续地缠绕在环上。继（3）问所设；参考图3 所示的过程态参量：x （尚未缠绕在环上的绳段长度）、 u （环边转动速度） 、 v （物块相 对圆环速度） 。试求第二阶段所经时间T （答案用R、 v0 表示）。解：（ 1）因对称，环心O为不动点，地面系中取O所在位置为参考点，系统角动量守恒。由R M2mR2 lR mv0得末态圆环转动角速度2 lR mv0M系统末态动能小于或等于初态动能，即有2m R201 M2

30、mR 221 mv2222 lR mv2222M2m R202 lRm v0mv2M22 lRmM2m R22m R2M2m R201M2ll2 R得mR2：绳损耗机械能：绳不损耗机械能（ 5 分）（ 2）将图 2 中右上方的u 、 v 矢量化为 u 、 v ，将圆环转动角速度矢量化为。右上方小物块相对地面系的速度vvRl，Ruvvul将 v 分解成与u 平行及垂直的分量v 、 v ，则有vv cosul cosl， vv sinl sin因uRlu Rll得vvcosuu cosv cos1cosuRRvv sinl u sin R也可将 v 分解成与 v 平行及垂直的分量v* 、 v*，则

31、有v*vRcoslvu cosl uvcosluRRv*Rsinusin每个小物块相对地面系O点角动量为RlmvRmvlmvRmvlmv*k ， kRm v cos1l cosulm vcoslukRR系统角动量守恒方程为RMu2m R vcos1l cosul vcoslu2 Rl mv0RRRu2R 1l coslcosluRcosl v2 Rl v0（ 1）RR系统机械能守恒方程为01 Mu221 m v*2v*221 mv222202u22vcosluu2 sin2R2v2（ 2）22）（或为 u22v cos1l cosuv sinl usin2v2（ 2）0RR方程（ 1）（2）联

32、立，即成可求解u 、 v 的方程组。（ 6 分）（ 3）取lR ，6 ，90o ， cos0 ， sin1（ 2）问解答中（1）、（ 2）式简化为22205uv2v0 ， 5u2v uvv31得解为uv0 ， vv0（ 2 分）102（ 4）先将6 ，90o ， cos0 ， sin1代入（ 2）问解答中的（1）、（ 2）式，得l 23RuRulvRl v0R(1)3u22v0vl uu22R(2)考虑到图2 中 l 已由图 3 中的 xl 代替，先将(1) 、 (2) 式等号左边的l 换成 x ；但因 (1) 、(2) 等号右边的量为系统初态量，其中l 不可用 x 取代，而应以（3）问所设 lR 用 R取代，即得x2xx22x224uv R2R或改述为2v0 ，42u R2v uvv0 Ru2vv，u222v uv2x2v ，4R00两式联立，消去u ，得2222v0v22v0v vvv04v22v 2v 2v24v 22 v20000解得vx v2R取圆环参考系