高考数学一轮复习导数与单调性知识梳理2苏教版

1、导数与函数单调性一、上节回顾：【临沂高新实验中学】8 .将函数y = f，(x)sinx的图象向左平移 土个单位， 4得到函数y =1 2sin2 x的图象，则f (x)是 2sin x二、0811年江苏数学命题研究及 12年走势分析2011年江苏省高考说明中，导数及其应用属于必做题部分，其中导数的概念是A级要求，导数的几何意义，导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值，以及导数在实际问题中的应用是 B级要求.导数与函数、数列、三角、不等式、解析几何等知识有着密切的联系，导数作为工具在研究函数的性质及在实际生活中有着广泛的应用，导数是高中数学中与高等数学联系最密切的知识之一，所以备受高考命题

2、老师的重视.2008年14题考查导数在函数单调性的综合运用2009年03题考查导数研究函数单调性2010年14题考查导数研究函数性质2011年12题考查 指数函数、导数的几何意义导数一导数作为新增内容应为考查的重点内容。利用导数刻划函数，或已知函数性质求参数范围等，2008年江苏考了一道“导数应用题”，理科加试考了 “导数与定积分混合型”题,2009年未考大题。那么2011年仍应重视导数题的考查，以中档题为主。小题中两年都考 了三次函数，应该更加关注指、对数函数 ，三角函数的导数及相关的超越函数.三、知识点梳理：函数单调性：函数单调性的判定方法：设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果f(x)

3、 0,则y = f (x)为增函数；如果f(x)0 ,有一个点例外即x=0时f (x) = 0,同样f(x)Y0是f (x)递减的充分非必 要条件.一般地，如果f (x)在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正 (或负)，那么f (x)在该区间上仍旧是单调增加(或单调减少)的 经典体验：1.107广东12函数f(x) =xln x(x 0)的单调递增区间是.，七JILe, TOC o 1-5 h z x一 x ,3.函数f (x) = 1 X X2在0,1上的最小值是.31 x - x53.函数y =x+2cosx在区间0 , 1上的最大值是上+J326经典讲练：3 一例：1.12010拉萨

4、中学月考】 函数y = f(x)在定义域(一一，3)内可导，其图象如图所2示，记y = f (x)的导函数为y = f (x),则不等式f (x) M0的解集为 A1.- ,1 2,3_332.【靖江六校2011 一倜】7.已知函数y = f (x)在定义域( 3)上可导，y = f (x)的图像如2，图，记y = f (x)的导函数y = f ( x),则不等式x f ( x) 的解集是 ,.31. 0,1U(-,223.【聊城一中文科】10.定义在R上的函数f(x)满f(4)=1. f(x)为f(x)的导函数，已知函数y = f (x)的图象如右图所示.若两正数a,b满足f(2a+b)1,

5、 则b2的取值 a 21 1范围是 .(1, 1)3 2x e a 例：2 (2001年天津卷)a A0 f(x) =一十=是R上的偶函数。a ex(I)求a的值；(II )证明f (x)在(0,收)上是增函数。e-x a 1解：(I)依题意，对一切 xW R有 f (x)= f(x),即 e+- = 2 + aex, a e aex1 (a -1)(ex -) =0对一切 x R成立，由此得到 a 1 = 0 , a2 =1 ,又 0 , a eaa =1 。(II )证明：由 f(x) = ex+e/，得 f(x) =ex e = e(e2x 1),当 x w(0,y)时，有 e(e2x

6、1)0,此时 f(x)0。. f(x)在(0,收)上是增函数。2变式练习 1.已知函数 f(x)= x ax+(a1)ln x,a 1.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)证明：若 a5,则对任意为？2亡(0,),为 第x2 2，有 f (x1) f (x2)1.x _ x2解：(1) f(x)的定义域为(0,十大)，2、a -1 xaxa1 (x -1)(x 1 - a)f (x) = x -a =xxx(x -1)2-(i)若a -1 =1即a=2,则f (x)L故f(x)在(0,收)单调增加. x(ii)若 a 1 1,故 1 a 2,则当 xw (a 1,1)时，f (x) 1,即a

7、 2,同理可得f (x)在(1,a1)单调减少，在(0,1),( a 1,)单调增加.2,(2)考虑函数 g(x) = f (x) +x = x ax + (a 1)ln x + x则 g (x) =x-(a -1) a1 一2、x a-1 -(a-1)=1 -(,a1 -1)2 x , x ,由于1 a 0 ,即g(x)在(0, +=c)单调增加，从而当x1Ax2 A 0时有g(x1) g(x2) 0,即 f x) f x % x 1x 2 0，故 f (x1)f (、2) -1,当 0 x1 x2时,x1 - x2有 f (x1)- f (x2)f(x2) - f(x1)1 .x -x2x

8、2 x1变式练习2求下列函数的最值.11三 三 I1. y = 一x -cosx,x 匚,1,;2IL 2 222. y = x COSX,P JI Jr IL-2,2例：312010黄冈中学】若函数f(x)=2x2lnx在其定义域内的一个子区间(k1,k+1)内不是单调函数，则实数 k的取值范围是【解析】因为f(x)定义域为(0,十无), .1.1 一一f (x) =4x ,由 f (x) =0 ,得 x =.据题息, TOC o 1-5 h z x2.1.k -1 ： - ： k 132，解得 1 k 0 对任意实数x都成立.1 Kcos x0 时一aw acos xwa a 1,0 aw

9、 1 当a= 0时适合；当 a 1, 1 w a0 ,求f (x)在m,2m上的最大值；n 1 n(3)试证明：对vne N”,不等式ln 2恒成立.n n-ln x解：(1) f (x) =-n11分x令 f(x)=0得 x当m 1 2m ,即一 m 0 x函数g(x)在(0,收)上单调x=1 是 方 程 f(x)=0 的 唯 一 解5分- ln x.当 0 x 0,当 x1 时 f(x)0 x函数f (x)在(0,1)上单调递增，在(1,g)上单调递减当x =1时 函 数 有 最 大 值f(x)max=f(1)“17分(2)由(1)知函数 f (x)在(0,1)上单调递增，在(1,+*)上

10、单调递减故当02mE1即0mE 时f (x)在m,2m上单调递增 TOC o 1-5 h z ln 2m 八八f (x)max = f (2m) =-2m8分2m当m，时f (x)在m,2m上单调递减ln m一 f (x)max = f (m)=-m10分m12f(X)max = f=-1(3)由(1)知当 xW(0,y)时，f (x)max = f(1)=1ln x成立.在(0,+g)上恒有f(x) = -x -1 ,当且仅当*=1时“=” xx E (0,二)14In即对vn = N*,不等式lnn i1 n0)依 x TOC o 1-5 h z aa题息、,2x+2 +之0或2x+2+ E0在(0, 1)上恒成立xx即2x2 +2x +a20或2x2 +2x +a 0在(0, 1)上恒成立,_2_1.21 .由 a *：2x -2x = -2(x) 在(0, 1)上恒成立,22可知a - 0.,._2_1.21 .由 a - -2x -2x - -2(x) 在(0, 1)上恒成立,22可知a WT,所以a20或a W4. 9分(3),910,919.h(x) =ln(1 + x) x +1k,令 y = ln(1 + x ) x +1.22所以y2x1 x2(x +1)x(x -1)x2110分令 y = 0,则 x1 = 1, x2 = 0, x3 = 1,列表