高考数学压轴专题承德备战高考推理与证明基础测试题附答案

1、新数学推理与证明高考知识点一、选择题. 2019年10月1日，为了庆祝中华人民共和国成立70周年，小明、小红、小金三人以国庆为主题各自独立完成一幅十字绣赠送给当地的村委会，这三幅十字绣分别命名为鸿福齐天”、国富民强”、兴国之路”，为了弄清 国富民强”这一作品是谁制作的，村支书对三人进行了问话，得到回复如下：小明说：鸿福齐天”是我制作的；小红说：国富民强”不是小明制作的，就是我制作的；小金说：兴国之路”不是我制作的，若三人的说法有且仅有一人是正确的，则鸿福齐天”的制作者是（）A.小明B.小红C.小金D.小金或小明【答案】B【解析】【分析】将三个人制作的所有情况列举出来，再一一论证【详解】依题意，

2、三个人制作的所有情况如下所示：123456鸿福齐大小明小明小红小红小金小金国富民强小红小金小金小明小红小明兴国之路小金小红小明小金小明小红若小明的说法正确，则均不满足；若小红的说法正确，则 4满足；若小金的说法正确，则3满足.故鸿福齐天”的制作者是小红，故选：B.【点睛】本题考查推理与证明，还考查推理论证能力以及分类讨论思想，属于基础题.关于甲、乙、丙三人参加高考的结果有下列三个正确的判断： 若甲未被录取，则乙、丙都被录取； 乙与丙中必有一个未被录取； 或者甲未被录取，或者乙被录取 .则三人中被录取的是（）A.甲B.丙C.甲与丙D.甲与乙【答案】D【解析】【分析】分别就三人各自被录取进行分类讨

3、论，分析 能否同时成立，进而可得出结论 .【详解】若甲被录取，对于命题 ，其逆否命题成立，即若乙、丙未全被录取，则甲被录取，命题 成立，则乙、丙有且只有一人录取，命题 成立，则乙被录取，三个命题能同时成立；若乙被录取，命题 成立，则丙未被录取，命题 成立，命题 成立，其逆否命题成立，即若乙、丙未全被录取，则甲被录取，三个命题能同时成立；若丙被录取，命题 成立，则乙未被录取，命题 成立，则甲未被录取，那么命题 就不能成立，三个命题不能同时成立.综上所述，甲与乙被录取.故选：D.【点睛】本题考查合情推理，考查分类讨论思想的应用，属于中等题 .观察下列各式：a+b=1.a2+b2=3, a3+b3=

4、4 , a4+b4=7,a5+b5=11, ，贝U a10+b10=()A. 28B. 76C. 123D. 199【答案】C【解析】【分析】【详解】由题观察可发现，4 7,4 7 11,7 11 18,11 18 29,18 29 47,29 47 76,47 76 123,1010即 a b 123,故选C.考点：观察和归纳推理能力.用 算筹”表示数是我国古代计数方法之一，计数形式有纵式和横式两种，如图 1所示.金元时期的数学家李冶在测圆海镜中记载：用天元术”列方程，就是用算筹来表示方程中各项的系数.所谓 矢元术”，即是一种用数学符号列方程的方法，立天元一为某某”，意即设x为某某”如图2所

5、示的天元式表示方程 aoxn a1xn 1an 1x an 0,其中a。，a1，am，烝表示方程各项的系数，均为筹算数码，在常数项旁边记一太字或在一次项旁边记一 先字，太”或 光”向上每层减少一次哥，向下每层增加一次哥.纵式；I II Ilf Illi横式1一u三三12 34mu t tt ur nr=JL J- =567 89图1图2圄3试根据上述数学史料，判断图3天元式表示的方程是()A. x2 286x 1743 0B. x4 27x2 84x 163 0C 1743x2 286x 1 0D. 163x4 84x3 27x 1 0【答案】C【解析】【分析】根据 算筹”法表示数可得题图3中

6、从上至下三个数字分别为1, 286, 1743,结合 天元术”列方程的特征即可得结果.【详解】由题意可得，题图3中从上至下三个数字分别为1, 286, 1743,由元”向上每层减少一次哥，向下每层增加一次哥.可得天元式表示的方程为1743x2 286 x 1 0.故选：C.【点睛】本题主要是以数学文化为背景，考查数学阅读及理解能力，充分理解算筹”法表示数和 天元术”列方程的概念是解题的关键，属于中档题.n 1.已知数列 an满足an 3 2 , n N ,现将该数列按下图规律排成蛇形数阵(第 i 行有i个数，i N*),从左至右第i行第j个数记为ai,j (i,j N*且j i),则a 21,

7、20()口 3门3 口口号 R号filS *14Q12日11ri -k 4 1 * 4 vil* 4 niit 4 14 d it* *$* +209210211212A. 3 2B. 3 2C. 3 2D. 3 2【答案】C【解析】【分析】由题可观察得到第i行有i个数，当i为奇数时，该行由右至左i逐渐增大,a 21m表示第21行 第20个数，即为第21行倒数第2个数则先求得前20行的数的个数，再加2即为a 21,20对应 的数列的项，即可求解.【详解】由题可知，第i行有i个数，当i为奇数时，该行由右至左i逐渐增大，a 21,20表示第21行第20个数,即为第21行倒数第2个数，i、, 1+2

8、020人,r则刖20行共有 =210个数，即第21行倒数第1个数为a211,2所以a 21,20a2123 2211,故选：C【点睛】本题考查合情推理，考查归纳总结能力考查等差数列求和公式的应用 , 一 ， 一，、一一 x y6.在平面直角坐标系中，万程一 -a b1表示在x轴、y轴上的截距分别为 a, b的直线，类比到空间直角坐标系中，在x轴、y轴、z轴上的截距分别为 a,b,c abc0的平面方程为（）x y zxyzA, - - - 1B. 一 一 一 1abcab bc caxy yz zxC. 1d. ax by cz 1ab bc ca【答案】A【解析】【分析】平面上直线方程的截距

9、式推广到空间中的平面方程的截距式是- 1.abca,b,c ,则该平面的方程为:由类比推理得：若平面在 x轴、y轴、z轴上的截距分别为x y z, 1 ,故选 A.a b c【点睛】平面中的定理、公式等类比推理到空间中时，平面中的直线变为空间中的直线或平面，平 面中的面积变为空间中的体积 .类比推理得到的结论不一定正确，必要时要对得到的结论证 明.如本题中，可令x 0,y 0,看z是否为c.甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子.已知：丙的年龄比知 识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小.根据以上情况，下列判断正确的是（）A.甲是工人，乙是知识分子，丙是农民.甲是知识

10、分子，乙是农民，丙是工人C.甲是知识分子，乙是工人，丙是农民D.甲是农民，乙是知识分子，丙是工人【答案】C【解析】甲的年龄和农民不同”和农民的年龄比乙小”可以推得丙是农民，所以丙的年龄比乙小;再由 丙的年龄比知识分子大”，可知甲是知识分子，故乙是工人，故选 C.8.九章算术 少广”算法中有这样一个数的序列：列出 祭步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数 进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：n 2及n 3时，如图：记Sn为每个序列中最后一列数之和，则S6为（）D.

11、 1764A. 147B. 294C. 882【答案】A【解析】【分析】根据题目所给的步骤进行计算，由此求得S6的值.依题意列表如下:上列乘6上列乘5上列乘2163060123153013210201432152151565612161510所以0 60 30 20 15 12 10 147.故选：A【点睛】本小题主要考查合情推理，考查中国古代数学文化，属于基础题.现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖.有人走访了四人，甲说：乙、丁都未获奖”，乙说： 是甲或丙获奖，丙说：是甲获奖”，丁说： 是乙获奖”，四人 TOC o 1-5 h z 所说话中只有一位是真话，则获奖的人是（）A.

12、甲B.乙C.丙D. 丁【答案】B【解析】【分析】结合题意分类讨论甲乙丙丁获奖的情况，然后考查说真话的人的个数即可确定获奖的人.【详解】结合题意分类讨论：若甲获奖，则说真话的人为：甲乙丙，说假话的人为：丁，不合题意；若乙获奖，则说真话的人为：丁，说假话的人为：甲乙丙，符合题意；若丙获奖，则说真话的人为：甲乙，说假话的人为：丙丁，不合题意；若丁获奖，则说假话的人为：甲乙丙丁，不合题意；综上可得，获奖人为乙.故选：B.【点睛】本题主要考查数学推理的方法，分类讨论的数学思想，属于中等题.数学家托勒密从公元127年到151年在亚历山大城从事天文观测，在编制三角函数表过程中发现了很多重要的定理和结论，如图

13、便是托勒密推导倍角公式Cos2a 1 2sin2a”所用的几何图形，已知点 B,C在以线段AC为直径的圆上，D为弧BC的中点，点E在线段AC上且AE AB,点F为EC的中点.设AC 2r, DAC a,那么下列结论：D DC 2rcosa,DAB 2rcos2a,3) FC r 1 cos2a_ 2 DC r 2r AB其中正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】在Rt ADC中，可判断，Rt ABC中，可判断，利用 ADB与 ADE全等及 ADC与 DFC相似即可判断 .【详解】在Rt ADC中，DC 2r sin a,故不正确；因为BD DC，所以BAC 2a,在RtABC中

14、，AB 2r cos2a ,故正确；因为AE AB, BD DC ,易知 ADB与 ADE全等，故AB , 八DE BD DC, DF EC ,所以 FC r r 1 cos2a ,2一 DC FC2又D，所以DC AC FC r 2r AB，故正确，AC DC由 DC 2rsina,AB 2rcos2a, DC2 r 2r AB，可得222rsina r 2r 2rcos2a ,即 2sin a 1 cos2a.故选：D.【点睛】本题考查推理与证明，考查学生在圆中利用三角形边长证明倍角公式的背景下，判断所需的边长是否正确，是一道中档题.6 n11.用数学归纳法证明1+2+3+ -3+-的等式

15、左边加上()A, k3+1C. (k+1) 3【答案】B 【解析】分析：当项数从n k到n k 1时， 详解：当n k时，等式左边 1 2 当n k 1时，等式左边 1 2 3所以增加的项为(k3 1) (k3 2)(k3 所以选B点睛：本题考查了数学归纳法的应用，当J3,nCN*，则当n=k+1时，应当在n=k时对应2B. (k3+1) + (k3+2) + + (k+1) 3D (k 1)6 (k 1)32等式左边变化的项可利用两个式子相减得到。3 .k3.k3 (k3 1) (k3 2)(k3 3).(k 1)33).(k 1)3数变化时分析出增加的项，属于简单题。. 一名法官在审理一起

16、珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：罪犯在乙、丙、丁三人之中 ”；乙说： 我没有作案，是丙偷的”；丙说：甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说： 乙说的是事实经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是()A.乙 B.甲 C. 丁 D.丙【答案】A【解析】【分析】由题意，这个问题的关键是四人中有两人说真话，另外两人说了假话，通过这一突破口，进行分析，推理即可得到结论 .【详解】在甲、乙、丙、丁四人的供词中，可以得出乙、丁两人的观点是一致的，因此乙丁两人的供词应该是同真同假(即都是真话或都是假话，不会出现一真一假的情况)；假设

17、乙、丁两人所得都是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说真话可推出丙是犯罪的结论；由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是犯罪的结论；显然这两人是相互矛盾的；所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙的供词可以断定乙是犯罪的，乙、丙、丁中有一人是犯罪的，由丁说假话，丙说真话推出乙是犯罪的，综上可得乙是犯罪的，故选 A.【点睛】本题主要考查了推理问题的实际应用，其中解答中结合题意，进行分析，找出解决问题的 突破口，然后进行推理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第 n个图案 中正六边形的个数是 f(n).271【答案】

18、A【解析】272273D. 274【分析】观察图形，发现，第一个图案中有一个正六边形，第二个图案中有7个正六边形;根据这个规律，即可确定第【详解】由图可知，f 11,f 21 2 6 6 7,f312362f212362f41234610个图案中正六边形的个数.6 19,6 19,3 6 37,f 1012 3 4 . 10 6 9 6 271.故选A.【点睛】此类题要能够结合图形，发现规律：当 n 2时，f n f n 16 n 1 .14.某学校为响应国家强化德智体美劳教育的号召，积极实施国家课程校本化.每个学生除学习文化课程外，还可以根据自己的兴趣爱好来选修一门校本课程作为自己的特长课程

19、来学习.该校学生小刚选完课后，本班的其他三位同学根据小刚的兴趣爱好对小刚的选课做出了自己的判断：甲说：小刚选的不是书法，选的是篮球；乙说：小刚选的不是篮球，选的是排球；丙说：小刚选的不是篮球，选的也不是国画.已知三人中有一个人说的全对，有一人说对了一半，另一个人说的全不对，由此推断小刚的选择的()A.可能是国画B.可能是书法C.可能是排千D. 一定是篮球【答案】B【解析】【分析】依次假定小刚的选择，逐一验证得到答案.【详解】若小刚选择的是国画，则甲对一半，乙对一半，丙对一半，不满足，排除；若小刚选择的是书法，则甲全不对，乙对一半，丙全对，满足；若小刚选择的是排球，则甲对一半，乙全对，丙全对，不

20、满足，排除；若小刚选择的是篮球，则甲全对，乙全不对，丙对一半，满足；故小刚可能选择的是书法和篮球 .故选：B .【点睛】本题考查了推理分析，意在考查学生的逻辑推理能力1.三角形面积为 S a b cr, a, b, c为二角形二边长，r为二角形内切圆半2径，利用类比推理，可以得出四面体的体积为（）、，1 ，V -abc3-V Sh31V - ab bc ac h （h为四面体的局）31V-siS2S3S4r （其中S ,S2,S3,S4分别为四面体四个面的面积，r为四3面体内切球的半径，设四面体的内切球的球心为O,则球心O到四个面的距离都是 r）【答案】D【解析】【分析】根据平面与空间的类比推

21、理，由点类比直线，由直线类比平面，由内切圆类比内切球，由 平面图形的面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比四面体的体积计算 方法，即可求解.【详解】设四面体的内切球的球心为 O,则球心O到四个面的距离都是 r,根据三角形的面积的求解方法：利用分割法，将O与四个顶点连起来，可得四面体的体积等于以 O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥的体积之和，口.1即 V s1s2 s3 s4 r ,故选 d.3【点睛】本题主要考查了类比推理的应用，其中解答中类比推理是将已知的一类数学对象的性质类比到另一类数学对象上去，通常一般步骤：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性;（2）用一类事物的性

22、质取推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题，本题属于基础题.对大于1的自然数m的三次哥可用奇数进行以下形式的分裂”：13 7 TOC o 1-5 h z -3,3c33，15.32 ,33 9 ,43 L，仿此，若m3的分裂数”中有一个是73,则m的值为（）5171119A. 8B, 9C. 10D. 11【答案】B【解析】由题意可得m3的分裂数”为m个连续奇数，设m3的分裂数”中第一个数为am ,则由题意可得：a3 a2 7 3 4 2 2, a4 a3 13 7 6 2 3,，am am 12（m 1）,将以上m 2个式子叠加可得am a2(4 2m 2)(m 2)(m 1)(m 2)2

23、/am (m 1)(m 2) a2 m m 1，当m 9时，am 73,即73是93的分裂数”中第一个数故选B.观察下列一组数据a11a2 3 5a3 7 9 11a4 13 15 17 19则a?。从左到右第一个数是（）A. 379B. 383C 381D. 377【答案】C【解析】【分析】先计算前19行数字的个数，进而可得 a20从左到右第一个数. 【详解】1 19 19190个奇由题意可知， an可表本为n个连续的奇数相加，从 aUa19共有 所以a20从左到右第一个数是第191个奇数，第n个奇数为2n 1,所以第191个奇数为2 191 1 381.故选：C.【点睛】本小题主要考查归纳

24、推理、等差数列求和公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档 题.分形几何是美籍法国数学家芒德勃罗在20世纪70年代创立的一门数学新分支，其中的谢尔宾斯基”图形的作法是：先作一个正三角形，挖去一个中心三角形”即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的每个小正三角形中又挖去一个中心三角形”按上述方法无限连续地作下去直到无穷，最终所得的极限图形称为谢尔宾斯基”图形（如图所示），按上述操作7次后，谢尔宾斯基”图形中的小正三角形的个数为（）A. 35B. 36C. 37D. 38【答案】C【解析】【分析】根据题意分别求出第 1,2,3次操作后，图形中的小正三角形的个数，然后可归纳出一般结 论

25、，得到答案.【详解】如图，根据题意第1次操作后，图形中有 3个小正三角.第2次操作后，图形中有 3X3=32个小正三角.第3次操作后，图形中有 9X3=33个小正三角.所以第7次操作后，图形中有 37个小正三角.6&234故选：C【点睛】本题考查归纳推理，属于中档题 .19.我国古代数学家秦九韶在数书九章中记述了主斜求积术”，用现代式子表示即为：在 ABC中，角A, B,C所对的边分别为a,b,c,则 ABC的面积b 3c cos A 0,且D. 2.3J1a2 b2 c2 2一 (ab) .根据此公式，右 acosBa2 b2 c2 2,则 ABC的面积为()A.夜B, 272C 狐【答案】A【解析】【分析】 根据acosB b 3c cosA 0,利用正弦定理边化为角得0,根据sin AcosB co