高考数学模拟分类试题精选立体几何

1、、选择题:立体几何部分专项训练1、圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3,圆台的侧面积为84冗，则圆台较小底面的半径为()(A) 7(B) 6(C) 5(D) 32、如图1,在空间四边形 ABCD43,点E、H分别是边AR AD的中点,CFCG2上的点，且 = =,则()CB CD3EF与GH互相平行EF与GH异面EF与GH的交点M可能在直线 AC上，也可能不在直线 AC上EF与GH的交点M一定在直线AC上3、下列说法正确的是()F、G分另1J是边 BC CDA图1(A)直线l平行于平面”内的无数直线，则l / a(B)若直线l在平面a外，则l / a(C)若直线l / b,直线

2、b = a ,则l / a(D)若直线l / b,直线b = a ,那么直线l就平行平面4、右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是()A. 10 7t B. 12 7t C. 13 7tD. 14 7t5、设a, b是两条直线，a,P是两个平面，则 a _Lb的一个充分条件是()A) a - - , b/ -, _ - B) a _ - ,b _/ C) a 二：b / 一： D) a 二六b ； ：”内的无数条直线侧(左)视图俯视图正(主)视图6.如图所示，在正方体ABCD AB1cl D1中，O是底面ABCD的中心，E是CC1的中点。那么异面直线EO和D1A所成的角

3、的余弦值等于()7. 已知直线 m , n ,平面a , P ,给出下列命题：若m _L a ,m_LP,则a_LP； 若 m/a, m/P,则/； 若 m_La, m/P ,则口 _L P ； 若异面直线 m , n互相垂直，则存在过 m的平面与n垂直.其中正确的命题A.B.C.D.8.球O的截面把垂直于截面的直径分为1： 3两部分，若截面圆半径为 J3 ,则球O的体积为16 二B. 332 二C.3D. 4,3二9.在半彳至为10cm的球面上有 A、B、C三点，如果AB =8邪,/ACB = 60，则球心 O到平面ABC的距离为(C. 6cm10.平面截球得到直径是 6cm的圆面，球心到这

4、个平面的距离是4cm,则该球的体积是 TOC o 1-5 h z 100 二3208 二3500 二3416 二3 HYPERLINK l bookmark11 o Current Document A . cm B. cm C. . cm D. cm HYPERLINK l bookmark13 o Current Document 333311 .设地球半径为 R,若甲地位于北纬 45东经120，乙地位于南纬度 75东经120,则甲、 乙两地球面距离为()5 二 _2 二 _A . 3RB. - RC. - RD. - R12、在4ABC中，AB =2,BC =1.5,/ABC =120，

5、若使绕直线BC旋转一周，则所形成的几 何体的体积是()A. 3 二B. 5 二 C. 7 二D. 9 二 HYPERLINK l bookmark15 o Current Document 222213、如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB= 10, AD= 5, AA = 4。分别过 BC AD1 的V1 =VAEA-DFD1，V2 = VEBE1Al-FCF1D1，两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为V3 =VBiEiBUCiFiC o 若 V1 :V2 :V3 = 1:3:1 ,则截面 AEFD1 的面积为()(A) 4斯0(B) 83(C) 20 近(D) 16

6、 亚14、连结球面上两点的线段称为球的弦.半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于 2、4，3, M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：弦AB、CD可能相交于点M弦AB、CD可能相交于点NMN的最大值为5MN的最小值为l其中真命题的个数为()A.1个B. 2个C. 3个D.4个15、某几何体的一条棱长为 ，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为J6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为 a和b的线段，则a+b的最大值为( )A. 2夜B. 2石 C, 4 D, 275二、填空题1、一个正方体的各定点均在同一球的球面上，若该球的体积

7、为4怎,则该正方体的表面积为.2、若a、口是两个不同的平面， m、n是平面口及平面B之外的两条不同直线，给出四个论 断：m/ n,ot / P ,ml ot , n P ,以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为 结论，你认为正确的一个命题是：3、如图，正方体ABCDABC1D1 中，M、N、P、Q、R、S分别是 AB、BC、C1D1、C1C、ABi、BB的中点，则下列判断：PQ与RS共面；(2) MN与RS共面；(3) PQ与MN共面； 则正确的结论是4、等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB,二面角C - AB- D的余弦值为3 , m , N分别是AC, BC的中点，则 3EM,

8、 AN所成角的余弦值等于 三、解答题1、在四棱锥 P-ABCD中， PBE正三角形，ABL平面PBCAB/ CD AB=1 DC E为 PD 中点.2(1)求证：AE/平面 PBC (2) 求证：AEL平面PDC.CM BDKi2、如图，M ,N,K分别是正方体ABCD ABiCR 的棱AAB,CD,CQi 的中点.(1)求证：AN 平面AMK ；(2)求证：平面 AB1c _L平面AMK .3、如图1所示，在边长为12的正方形 AAA1A中，点B、C在线段AA上，且AB =3 , BC =4 , 作 BB1 / AA,分别交 AA、AA；于点 B1、P ,作 CC1 / AA ,分别交 AA

9、,、AA；于点 C1、Q ,将该正方形沿BB1、CC1折叠，使得 AA与AA重合，构成如图 2所示的三棱柱ABC ABC .(I)在三棱柱 ABC AB1G中，求证： AB_L平面BCC1B1;(n)求平面 APQ将三棱柱ABC-A1B1cl分成上、下两部分几何体的体积之比.4、如图，正四棱柱 ABCDABQ1D1 中，AA =2AB=4，点 E 在 CC1 上且 C1E = 3EC .(I)证明：AC _L平面BED；(n)求二面角 A DEB的大小正切值.AB5、如图所示，在直四棱柱 ABCD A1B1c1D1中，DB = BC , DB _L AC ,点M是棱BB1上一点.(I )求证：

10、B1D1 面 ABD ; ( n )求证：MD _L AC ;(m)试确定点M的位置，使得平面DMC1 _L平面CC1D1D .nr.(安徽19).如图，在四B隹OABCD中，底面ABCD四边长为1的 菱形，/ABC = 一4OA_L底面ABCD, OA = 2,M为OA的中点。(I )求异面直线 AB与MD所成角的大小 ；(n )求点B到平面OCD的距离。.(北京 16)如图，在三麴隹 P-ABC 中，AC =BC =2, /ACB =90，AP = BP = AB , PC _L AC .(I)求证：PC_LAB；(n)求二面角BAPC的大小的正弦值.P.（福建19）如图，在四棱锥 P-A

11、BCD中，侧面PAD，底面ABCD ,侧棱PA=PD=J2,底面ABCD为直角梯形，其中 BC / AD,ABAD,AD=2AB=2BC=2, O 为 AD 中点.（I ）求证:POL平面 ABCD;（n ）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；（出）求点A到平面PCD的距离.9.（广东18）如图5所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半彳至为R的圆的内接四边形，其中 BD 是圆的直径，/ ABD=60 ,ZBDC=45 ,AADP-A BAD.求线段PD的长；（2）若PC=7l1R,求三棱锥P-ABC的体积.（宁夏18）如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图.它的正视

12、图和俯视图在下面画出（单位：cm）（I）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（n）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；BC,证明：BC/ 面 EFG .（ID）在所给直观图中连结.（山东 19）如图，在四B隹 P -ABCD 中，平面 PAD _L 平面 ABCD , AB / DC , APAD是等边三角形，已知 BD=2AD=8, AB = 2DC=4j5.(I)设 M是PC上的一点，证明：平面 MBD _L平面PAD ； (n)求四棱锥 P -ABCD的体积.(天津19)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形. 已知AB =3,AD=2, PA =2, PD=2

13、v/2, /PAB=600.(I)证明AD _L平面PAB ;(n )求异面直线 PC与AD所成的角的正切值；(出)求二面角 PBDA的正切值.(浙江20)如图，矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平 面互相 垂直，BE/CF , BCF= CEF= 90 :AD= V3 ,EF=2。I点(I)求证：AE平面DCF;(n)当AB的长为何值时，二面角A-EF-C的大小为60?.如图，P -ABCD是正四棱锥，ABCD AB1c1D1是正方体, 其中 AB =2,PA=T6 . (I)求证：PA_LB1D1；(n)求B到平面PAD的距离.15在四锥P-ABCD中，底面 ABCD是矩形，侧棱 PA

14、垂直于 底面，E、F分别是AB、PC的中点.(1)求证：EF 平面FAD;(2)当平面PCD与平面ABCD成多大二面角时,直线EF _L平面PCD?.已知，在如图所示的几何体ABCED中，EC，面ABC ,DB，面 ABC , CE=CA=CB=2DB , / ACB=90 , M 为 AD 的中点。(1)证明：EM AB ;(2)求直线BM和平面ADE所成角的正弦值。.如图，四面体 CABD, CB = CD, AB = AD,/BAD = 90 .E、F 分别是 BC、AC 的中点.(I)求证： ACBD;(n)如何在 AC上找一点 M,使BF /平面MED?并说明理由；(出)若CA =

15、CB,求证：点 C在底面ABD上的射影是线段 BD的中.正方体 ABCD-A1B1C1D1 , AA1=2, E 为棱 CC1的中点.(I )求证：B1D1 _LAE ；(n)求证:、选择题 1、A 2、D 3、D 4、参考答案(详解)B 5、C 6. C 7. D8. C 9. C 10. C 11. D(m)求三棱锥 A-BDE的体积.1 -f 1 EM (AB AC) ( AC -AE )2212、A 13、C 14、C 15、C 15、C解：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算。如图设长方体的高宽高分别为 m,n,k,由题意得Jm 2 +n2 +k2, -m 2 +k2 =后=n

16、=1一 一k2 =a， 3 +m 2 =b，所以(a2 -1) +(b2 -1) =6 = a2 +b2 =8 ,. . (a+b)2 =a2 +2ab+b2 =8+2ab8 + a2 +b2 =16 = a+b 4 当且仅当a =b =2时取等号。1二、填空题1、24 2、二 3、(1)、(3)4、.解：设AB =2 ,作CO _L6OH _LAB ,则 CH _L AB , /CHO 为二面角 C AB -D 的平面角CH =、豆 OH =CH cos ./ CHO =1 , 结合等边三角形 ABC与正方形ABDE可知此四棱锥为正四棱锥，则 AN =EM =CH = J3-11T -* 1

17、 4 -9 -1AN (AC AB), EM AC - AE , AN 22故EM , AN所成角的余弦值 贰 氤 =1an |EM 6三、解答题1、(1)证明：取PC的中点M,连接EM,贝U EM / CD, EM= 1 DC,所以有EM / AB2且 EM=AB,则四边形ABME是平行四边形.所以AE / BM,因为AE不在平面PBC内，所以AE /平面PBC.(2)因为AB，平面PBC, AB / CD,所以CD，平面PBC ,CDBM.由(1)得,BM，PC, 所以 BM，平面 PDC, 又 AE / BM,所以 AEL平面 PDC 2.证明：(1)证明：连结 NK.在正方体ABCD

18、ABiGDi中， 丁四边形 AAD1D,DD1c1c 都为正方形， a AA1/DD1,AA1 =DD1,CiDi/CD,CiDi =CD.7N,K 分别为。口,G5 的中点，DN / D1K , DN =D1K.二 DD1KN 为平行四边形.二 KN /DDi,KN = DDi. j. AA / KN ,AA = KN .二 AA KN 为平行四边形DiAN/A1K.AK 仁平面 AMK,AN 二平面 AMK ,.AN 平面 A1MK.d 工:田/中 /(2)连结 BC在正方体 ABCD A1B1c1D1 中，AB/C1D1, AB =&口.M ,K 分别：入8,(点，,BM CiK,BM

19、=CiK.二四边形B&KM为平行四边形.MK / BCi.在正朋体BABCD ABCD 中，AB1_L 平面 BB C CC,P 泮C 面 BB1C1C, .A &L B CVMK/BCi,A AiBi .LMK. : BB1C1C 为正方形，.BGBC. M K_L B C ； AB u 平面 ABiC B C=平面 ABCAB1nBic =Bi, ，MK，平面 ABQ.,MKU 平面 AMK,.平面 AMK _L 平面 AB。.3、解：(I )证明：因为AB =3 , BC =4 ,所以AC =5 ,从而有AC2 = AB2 + BC2，即用 又因为 AB IBB 而 BCnBB1 = B

20、 ,所以 AB_L平面 BC&B,;(n因为 BP=AB=3, CQ=AC=7,所以 Sbcqp =*C上产= TOC o 1-5 h z 从而 VA3CQP=3，SbcqpAB =3父2/3=2 又因为Va _1 =B ；1 3 S ， C，14A =A1ABM2c X所以平面APQ将三棱柱ABC -AB1cl分成上、下两部分几何体的体积之比为V 上 _72 _20_52 _13.V 一 20- 20 一 4、解依题设知 AB =2 , CE =1.(I)连结 AC交BD于点F ,则BD _L AC .由三垂线定理知， BD _L AC ,在平面ACA内，连结EF交AC于点G ,由于必=旦=

21、2五，故 Rt/XACs Rt/XFCE , /AAC =/CFE , FC CE/CFE与/FCA互余.于是 AC，EF .A : FAC与平面BED内两条相交直线 BD, EF都垂直，所以 AC，平面BED .(n)作GH IDE ,垂足为H ,连结AH ,由三垂线定理知 AH，DE,故AHG是面角 A,- DE 刚平面角.EF = JCF2 +CE2, CGCE CFEFEG =52，二母.EGEF1 EF FD-M3 DE=展又 AiC = jAAi2 +AC 2 =2娓, i 15AiG = AiC -CG tan ZA HG =_=5、6 所以二面角 A - DE B的taW =

22、5行.一 HG - 所以BBQQ是平行四边形，所以B1D / BD5、（l）证明：由直四棱柱 彳导BBDD1,且BB =DD1,而BDu平面ABD , BQi也平面ABD ,所以BD1 面ABD（n ）证明：因为 BBi 1HABCD,AC 面ABCD 所以 BB _L AC 又 因为 BD_LAC ,且BDcBB = B,所以 AC _LWBE|D而 MDHBEjD,所以 MD 1 AC（出）当点M 为棱BB的中点时，平面DMC _L平面CGDQ 取 DC的中点N, DiCi的中点N，连2o NNi交DCi于O ,连结OM .因为N是DC中点，BD=BC,所以BN _L DC ；又因为 DC

23、是面 ABCD与面DCO 的交线，而面 ABCDL面DCC1 口，所以BN -LHDCCiDi又可证得，O是NNi的中点，所以BM/ ON且BM=ONP BMON1平行四边形，所以BN/ OM所以OML平面CCQQ ,因为OM 面DMC i,所以平面DMC1，平面 CCiDiD6、（1） CD | AB,：/MDC为异面直线 AB与MD所成的角（或其补角）作 AP _LCD 于 P,连接 MPOAL 平面 A BCD,； CDJ_ MP/ADP _里 DP _ 后 TOC o 1-5 h z aADP，- DP42v MD = _MA 2 + AD 2 = JT , . . cos NMDP

24、=-DP- =1 ,ZMDC =/MDP =MD 23所以 AB与MD所成角的大小为 四（2） ; AB|平面OCD,点A和点B到平面OCD的距离相等，连接 OP过点A作AQ _LOP 于点 Q,A Qu 平面 OA,PA1QCDv AP _LCD,OA_LCD,-. CD _L 平面 OAP,又AQ_LOP,； AQ_L 平面 OCD,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离.OP = . OD-2二DP2= OA-2-AD2 _DP 21341- 二AQOA |_APOP7、解：（I）取AB中点D一手_2一 3 爹一 3-2-,连结PD,B到平面OCD 2的距离为-3CD . A AP =

25、BP二 PD _L AB . A AC二 AB _L 平面 PCD .(n) ：AC=BC,=BC,C CD .L AB . : PD OCD = D , PC u 平面 PCD ,二 PC _L AB .AP = BP ,， APC 9& BPC .又 PC _L AC ,PC _L BC .又 /ACB = 90,即 AC _L BC ,，BC _L平面 PAC .取 AP 中点 E .连结 BE, CE . AB = BP , BE _L AP的平面角.E EC是BE在平面PAC内的射影，:CE _L AP .二/ BEC是二面角B -AP-C在BCE 中，NBCE=90, BC=2,

26、BE =AB =/， sin /BEC =%=更.2BE 3面角B-AP-C的sina二叵. -38、解：（I）证明：在 PAD卡中PA=PD, O为AD中点，所以 POLAD.又侧面PAD，底面 ABCD,平面PAD n平面 ABCD = AD ,PO仁平面PAD,所以POL平面 ABCD. （n）连结 BO,在直角梯形 ABCD 中，BC/ AD,AD=2AB=2BC,有 OD / BC 且 OD= BC,所以四边形OBCD是平行四边形，所以 OB/DC.由（I）知POXOB, /PBO为锐角，所以 / PBO是异面直线PB与CD所成的角.因为 AD = 2AB=2BC = 2,在 RtA

27、AOB 中，AB=1, AO= 1 ,所以 OB=注,在 RtPOA 中，因为 AP=寸2 ,AO= 1,所以 OP= 1 ,在 RtPBO 中，PB= JoP 2 + OB 2 = J3 ,cos/ PBO= OB= 6_，所以异面直线 PB与CD所成的角的余弦值为 吏. .PB 333(出)由(n )得 CD = OB = V2 ,在 Rt POC 中，PC =%OC 2 +OP 2 =叵，所以 PC=CD = DP, Sapcd=X1 2=亘.又 SA = 1 ad* ABp设点A到平面PCD的距离h,由Vp-acd=Va-pcd,得 1 SA ACD 3即1x31 x 1 = 1 x

28、/5,所以AD2 +BD2 = AB2.故AD _L BD .又平面PAD _L平面ABCD ,平面PAD。平面 ABCD =AD , BD u 平面 ABCD ,所以 BD _L 平面 PAD ,又 BD u 平面 MBD , 故平面MBD _L平面PAD .（n ）解：过 P作PO _L AD交AD于O ,由于平面PAD _L平面ABCD，所以PO _L平面 ABCD .3 因此po = 士2因此PO为四棱锥P -ABCD的高，又 PAD是边长为4的等边三角形.4 = 2）3.在底面四边形 ABCD中，AB / DC , AB = 2DC ,所以四边形ABCD是梯形，在RtAADB中，斜边

29、AB边上的高为4 m; =8.,此即为梯形 ABCD的高，所以四边形 ABCD的面积为S 2JT+4J5 8J5 24 .故 o = m zz z.tT25VP _ABCD_ 1一3父24父2逐=16技12、解：（I ）证明：在 PAD中，由题设PA=2 , AD=2 , PD = 2衣，可得PA2 + AD2 = PC2,于是 AD .L PA ,在矩形 ABCD 中，AD .L AB ,又 PAD AB = A ,所以AD 1平面PAB .PC与AD所成的角.（n）解：由题设，BC / AD ,所以/ PCB （或其补角）是异面直线在 4PAB 中，由余弦定理得 PB = JPA2 +AB

30、2 - 2PA|_ABjcos PAB = J7 .由（I）知 AD _L平面PAB , PB匚平面PAB ,所以AD _L PB ,因而BC _L PB ,于是 APBC是直角三角形，故tan PCB _PB所以异面直线 PC与AD所成的角的正切值BC 2（出）解：过点 P作PH _L AB于H ,过点H作HE _L BD于E ,连结PE .因为AD _L平面PAB , PH仁平面PAB，所以AD _L PH .又AD|AB =A，因而PH _L 平面ABCD，故HE为PE在平面ABCD内的射影.由三垂线定理可知， BD _L PE .从而 Z PEH是二面角PBDA的平面角.由题设可得，P

31、H =PALsin60 =J3, AH =PA世os600=1,BH=AB-AH=2, bd = Jab2 +AD 2 =53, he =bh =二BD.13于是在RtAPHE中，tan PFH ph E.所以二面角P BDA的正切值为 tan peh = = HE 413： (I)证明：过点 E作EG _LCF交CF于G ,连结DG ,可得四边形BCGE为矩形，又 ABCD为矩形，所以AD LEG ,从而四边形 ADGE为平行四边形，故 AE / DG .因为AE辽平面DCF , DG u平面DCF ,所以AE /平面DCF .(n )解：过点B作BH _L EF交FE的延长线于H ,连结A

32、H .由平面ABCD _L平面BEFC ,AB .L BC ,得AB _L平面BEFC，从而AH _LEF .所以ZAHB为二面角A-EF -C的平面角.在 RtEFG 中，因为 EG = AD=J3, EF =2 ,所以 /CFE =60 , FG =1 .又因为CE _LEF ,所以 CF =4 ,3、3,从而 BE =CG =3 .于是 BH =BE/n/BEH =.因为 AB =BHUtan/AHB ,2所以当AB为9时，二面角 A-EF -C的大小为60 .214.解：(I )连结 AC ,交 BD 于点 O ,连ZPO ,则 POL面 ABCD ,又 AC .L BDPA .LBD

33、 , . BD/B1D1, . .PA_LB1D1 .1 11.(n)用体根法求斛：VB1 _pad =va_b,pd nhxl_SPAD =AO_Isb1PD33即有 1hx1 2j/5=1S/2_1j；SDB1 +Sbd -SBB1)解得 hx =655 ,即 Bi到平面 PAD 的距离为25515.证：(1)取 CD 中点 G,连结 EG、FG ; E、F 分别是 AB、PC 的中点，. EG/AD , FG/PD ,平面 EFG/平面 PAD, EF/平面 PAD.(2)当平面 PCD与平面 ABCD成45涌时，直线 EF_L平面PCD.证明：: G为CD中点，则EG_LCD, = PA_L底面ABCDAD是PD在平面ABCD 内的射影。.CDU 平面 ABCD，且 CD_LAD，故 CD_LPD .又FG/ PD；FG_LCD, 故/EGF为平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角，即 ZEGF=45 ,从而得/ADP=45 , AD=AP.由 RtAPA