解析几何第二章轨迹与方程课件

1、1 平面曲线的方程解析几何 Chapter 2一、曲线的方程二、曲线的参数方程三、常见曲线的参数方程Contents一、曲线的方程定义1 当平面上取定了坐标系之后，如果一个方程与一条曲线之间有着关系： 满足方程的 必是曲线上某一点的坐标； 曲线上任何一点的坐标 满足这个方程， 那么这个方程就叫做这条曲线的方程，这条曲线叫做这个方程的图形。概括而言，曲线上的点与方程之间有着一一对应的关系 例1 求圆心在原点，半径为R 的圆的方程 例2 已知两点 和 ，求满足条件 的动点M 的轨迹方程二、曲线参数的方程定义2 若取 的一切可能取值由 表示的向径 的终点总在一条曲线上在这条曲线上的任意点，总对应着以

2、它为终点的向径，而这向径可由 的某一值 通过 完全决定 那么就把 叫做曲线的向量式参数方程，其中 为参数。 其坐标式参数方程为例3 一个圆在一直线上无滑动地滚动，求圆周上一定点的轨迹该定点的轨迹为旋轮线或摆线（cycloid）三、常见曲线的参数方程(1) 一个半径为r 的小圆在半径为R 的大圆内无滑动地滚动，小圆周上一 定点P 的运动轨迹称为内摆线(hypocycloid）例4 已知大圆半径为a ，小圆半径为b，设大圆不动，而小圆在大圆内无滑动地滚动，求动圆周上某一定点P 的轨迹方程（a4b）四尖点星形线（astroid）圆的内摆线（2）一个半径为r的小圆在半径为R的大圆外无滑动地滚动，小圆周

3、上一个定点P的运动轨迹称为外摆线（epicycloid）其参数方程为特别当Rr时可以得到心脏线（cardioid）其参数方程为（3）把线绕在一个固定的圆周上，将线头拉紧后向反方向旋转，以把线从圆周上解放出来，使放出来的部分成为圆的切线，则线头的轨迹所形成的曲线叫做圆的渐伸线或切展线（involute）其坐标式参数方程为（4）椭圆的参数方程设椭圆的方程为第一种参数方程以角度 为参数：第二种参数方程以斜率 为参数：作业 P77 2 , 32 曲面的方程解析几何 Chapter 2Contents一、曲面的方程二、曲面的参数方程三、球坐标系与柱坐标系一、曲面的方程例1 求联结两点A(1,2,3)和B

4、(2,-1,4)的线段的垂直平分面的方程.例2 求两坐标面xOz 和yOz 所成二面角的平分面方程.例3 求坐标平面yOz 的方程.例4 一平面平行于坐标平面xOz，且在y 轴的正向一侧与平面xOz 相隔距离为k ，求它的方程.例5 设球面的中心是点C（a,b,c），而且半径等于r ，求它的方程.一、曲面的方程求曲线方程一般需要下面的5个步骤：1）选取适当的坐标系（如题中已给定，这一步可省）；2）在曲线上任取一点，也就是轨迹上的流动点；3）根据曲线上的点所满足的几何条件写出等式；4）用点的坐标x,y,z的关系来表示这个等式，并化简得方程；5）证明所得的方程就是曲线的方程，也就是证明它符合定义.

5、一、曲面的方程二、曲面的参数方程二、曲面的参数方程例6 求球心在原点，半径为r 的球面的参数方程.例7 求以z 轴为对称轴，半径为R 的圆柱面的参数方程.结论 求空间曲面或曲线的参数方程时，经常是作向径 的坐标折线，将分解 为平行于坐标轴的三个向量之和，这样便于找出 x,y,z 与参数之间的函数关系.注意 空间曲面的参数方程的表达式不是惟一的.一般按下列三个步骤进行：二、曲面的参数方程三、球坐标系与柱坐标系1.球坐标系三、球坐标系与柱坐标系2.柱坐标系作业 P8788 2（4） ， 3（3），4（3） 3 空间曲线的方程解析几何 Chapter 2Contents一、空间曲线的方程二、空间曲线

6、的参数方程一、空间曲线的方程注：空间曲线可以用不同形式的方程组来表达.一、空间曲线的方程例3xOyz二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程例4 一个质点一方面绕一条轴线作等角速度的圆周运动，另一方面作平行于轴线的等速直线运动，其速度与角速度成正比，求这个质点运动的轨迹方程.例5 有一质点，沿着已知圆锥面的一条直母线自圆锥的顶点起，作等速直线运动，另一方面这一条母线在圆锥面上，过圆锥的顶点绕圆锥的轴（旋转轴）作等速的运动，这时质点在圆锥面上的轨迹叫做圆锥螺线，试建立圆锥螺线的方程.二、空间曲线的参数方程作业：P92 2（3），3（2），5（2） 空间曲线圆柱螺线P同时又在平行于z轴的方向等速地上升。其轨迹就是圆柱螺线。 圆柱面yz0 xa