解线性方程组的迭代法课件

1、第五章 解线性方程组的迭代法 线性方程组虽有直接解法，但对大型组，对时间和空间要求严格。1*第1页，共52页。第五章 解线性方程组的迭代法 5.1 迭代法及其收敛性 5.2 向量和矩阵的范数 5.3 迭代过程的收敛性2*第2页，共52页。5.2 向量和矩阵的范数向量范数( vector norms )3*第3页，共52页。4*第4页，共52页。范数的等价性：5*第5页，共52页。向量序列的极限（依分量收敛）（依范数 收敛）6*第6页，共52页。矩阵范数、谱半径7*第7页，共52页。8*第8页，共52页。证明:由范数等价性,仅就某一从属范数证明即可.9*第9页，共52页。命题3 对任意从属范数有

2、：见数值计算原理，李庆扬，关治P19310*第10页，共52页。5.1 迭代法的构造及收敛11*第11页，共52页。12*第12页，共52页。5.1.1 迭代法的收敛性13*第13页，共52页。14*第14页，共52页。15*第15页，共52页。16*第16页，共52页。17*第17页，共52页。18*第18页，共52页。5.1.2 迭代法的收敛速度19*第19页，共52页。该定义依赖于范数的选取和迭代次数，为刻画方法本身的速度，引入仅与迭代阵有关的量：20*第20页，共52页。21*第21页，共52页。5.3 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法5.3.1 Jacobi迭代法5

3、.3.2 Gauss-Seidel迭代法5.3.3 J法与GS法的收敛性22*第22页，共52页。5.3.1 Jacobi迭代法设有方程组作等价变形，得不动点形式：23*第23页，共52页。5.3.1 Jacobi迭代法24*第24页，共52页。5.3.1 Jacobi迭代法可构造迭代公式：25*第25页，共52页。5.3.1 Jacobi迭代法26*第26页，共52页。5.3.1 Jacobi迭代法定理 Jacobi迭代法收敛的充分必要条件是 27*第27页，共52页。5.3.1 Jacobi迭代法28*第28页，共52页。5.3.2 Gauss-Seidel迭代法29*第29页，共52页。

4、5.3.2 Gauss-Seidel迭代法30*第30页，共52页。注1：当然可有其他的迭代法如:注2：在收敛的情况下，一般说来，Gs法的收敛性能较J法好，然而情况并不总是如此，存在方程组按J法收敛，而按Gs法不然，因此两种方法均很重要，如组：31*第31页，共52页。5.3.3 J法与GS法的收敛性讨论方程组J法及GS法的收敛性，除用收敛基本定理外，还可直接由给定的系数矩阵A来判断收敛性（代数判据），为此先给出定义：32*第32页，共52页。5.3.3 J法与GS法的收敛性A可约的代数意义是通过行列的相应调换化为解耦方程组。33*第33页，共52页。5.3.3 J法与GS法的收敛性说明：此定

5、理实际含有四个命题。34*第34页，共52页。证明（严格对角占优时的J法收敛性）：35*第35页，共52页。证明（严格对角占优时的GS法收敛性）：36*第36页，共52页。（不可约弱对角占优时的J法收敛性）37*第37页，共52页。（不可约弱对角占优时的GS法收敛性）38*第38页，共52页。5.3.3 J法与GS法的收敛性39*第39页，共52页。5.4 逐次超松弛迭代法5.4.1 SOR迭代公式5.4.2 SOR迭代法收敛性40*第40页，共52页。5.4.1 SOR迭代公式 逐次超松弛(Successive Over Relaxation)迭代法，简称SOR迭代法，它是在GS法基础上为提高收敛速度，采用加权平均而得到的新算法。41*第41页，共52页。5.4.1 SOR迭代公式42*第42页，共52页。5.4.1 SOR迭代公式43*第43页，共52页。44*第44页，共52页。45*第45页，共52页。46*第46页，共52页。5.4.2 SOR迭代法收敛性47*第47页，共52页。必要条件（逆否定理）48*第48页，共52页。5.4.2 SOR迭代法收敛性分