【张量分析ppt课件】张量分析课件第二章 矢量代数与矢量分析

1、第二章 矢量代数和矢量分析在第一章中给出了Euclid矢量空间V。V中的元素是除度量大小的数量外还具有方向的量。这些量被称为矢量（按张量空间的一般叙述，矢量也被称为一阶张量）。这一章主要对具有给定标准正交坐标系 o；i1，i2，i3的Euclid矢量空间进行讨论。 编辑课件2.1 矢量集合的运算设r1，r2，r3是V的一组基底，由（1.3-2）式可知x V可在r1，r2，r3的基底上唯一地线性表示为： 其系数xi (i =1, 2, 3 )称为x在基底r1，r2，r3上的坐标。且记为（x1，x2，x3）。x在r1，r2，r3上的线性表示实质上是x的加法分解表示。即x是矢量 x1r1，x2r2，

2、x3r3 V 的矢量和。由平行四边形法则，x1，x2，x3是由平行性所确定（如图21）。 x 3x 2x 1r 3r 2r 1图21编辑课件投影：对a、b V将b的始点平移至a的始点o；由b的终点作与a 矢量线垂直的垂线。且与a矢量交与a点；则a矢量的始点o指向a点的有向线段长度值称为b在a上的投影。 abboa图22注意：a矢量的始点o指向a点与a矢量方向相反，其投影值为负 。a矢量的始点o指向a点与a矢量方向一致，其投影值为正 。编辑课件例1：解：给定二维矢量空间矢量x。试求在给定基底r1，r2（非正交）和i1，i2中的坐标和投影。x 1xx 2X 2X 1r 2r 1o(a)X 1x 1

3、x 2X 2xi2i1(b)图23在r1，r2基底上按平行四边形法则，可确定x的坐标为（x1， x2）。按投影法则可的x在r1， r2上的投影为X1，X2。或形式上记为（X1，X2）。如图23（a）所示。 在i1，i2基底上，因 i1 i2，所以平行四边形法则所得四边形与投影法则所得四边形重合。显然x的坐标（x1，x2）和x在i1，i2上的投影（ X1，X2）形式上相同。如图23（b）所示。 编辑课件设V的坐标系为o；i1，i2，i3，V中矢量的加法和矢量与数量的标量积按（1.1-3）和（1.1-4）定义，即对x，y V；， F有 （2.1-3） （2.1-2） 定义 x 与 y 的逆矢量（-

4、 y）的加法运算为 x 与 y 的减法运算（ x 减 y 或 x 与 y 之差） 在矢量的加法和减法运算中定义单位元素为：同时长度为1的矢量称为单位矢量。应当注意单位矢量元素和单位矢量的区别。 编辑课件例2： 图 24 所示具有坐标系的矢空间 V 中矢量a、 b。试求 2a +1.5b在o；i1， i2 中的表示。ox 2x 13ab32121图24解：例3： abx 2x 1(a)a- bx 2x 1(b)a - b- bax 2x 1(c)图25如图25（a）所示给定矢量a、b，根据平行四边形法则用几何作图给出ab矢量的几何表示。 解：见图25（b）（c）编辑课件定义数量积 定义矢量积 定

5、义混合积 其中ij称为Kronecker符号。 其中eijk称为Ricci置换符号。 （2.1-4） （2.1-5） （2.1-6） （2.1-7） （2.1-8） 编辑课件Kronecker符号三维矢量空间 取值表： Ricci置换符号三维矢量空间 取值表： （2.1-9） （2.1-11） 但应当特别注意的是： （2.1-10） 例4： 若i1，i2，i3是V的标准正交矢量。计算iiij (i , j = 1,2,3) 。解： 综合以上各式可得： （2.1-12） 编辑课件证明矢量的叉积和混合积有以下结论： 例5：1 （2.1-13） 2 3 4 （2.1-14） （2.1-15） （2.

6、1-16） 证：1 2 编辑课件3 4 编辑课件例6：证明e恒等式： 证：由（2.1-12）式有： i e 只有当 i = e 时为 1 ，其余为零。 由(2.1-16)式：最后得：编辑课件例7： a、bV。证明： 证：bao 1oababi图26 对三维矢量空间ab的几何表示如图26所示。 编辑课件2.2 仿射（斜角）坐标系在三维矢量空间V 中不存在一组四个线性独立的矢量，但同时 V 中存在许多组三个线性独立矢量。V 中的任意一组三个独立的矢量都可以作为基底。与之相应的可以构造对应的坐标系o；r1，r2，r3。一般情况下 r1，r2，r3不是单位长度，且不一定两两正交。V中的坐标系o；r1，

7、r2， r3称为仿射坐标系。当 r1，r2，r3均为单位矢量，且两两正交时称为标准正交坐标系。记为o；i1，i2，i3。 从线性相关的概念，三维矢量空间的任意矢量 a V 都能够在坐标系o；r1，r2，r3中线性表示为： 是a在基底r1，r2，r3上的坐标。 编辑课件由于r1，r2，r3不在两两正交，因此对x，y V两矢量的点积只能表示为： 而不能象标准正交基底那要表示为：仿射坐标系的对偶（或到逆）基底： 设r1，r2，r3是V的一组基底，构造如下三个矢量： （2.2-1） 并称r1，r2，r3是基底r1，r2，r3的对偶（或互逆）基底。同时对任意a V构造： （2.2-2） 编辑课件 基底r

8、1，r2，r3的对偶基底具有基本性质： 1正交性： （2.2-3） 2r1，r2，r3线性无关（因此可作为V的基底）： 证： 1 同理可证 ：同理可证：2 r1，r2，r3线性无关 ,上式化为： 编辑课件用r1，r2，r3点乘上式两边得：显然只有当时： r1，r2，r3线性无关。由对偶基底的基本性质2： 是在对偶基底坐标系中的坐标。特别应当注意的是a在对偶基底上的坐标与式（2.2-2）定义的 a1，a2，a3 的区别 (a1，a2，a3是由投影法则确定 )如图（27）所示。 a 2a 2a 1r 1r 2a 1图27对r1，r2，r3由（2.2-1）： 编辑课件同理可得r 2，r 3的对偶基表

9、示。最后得：（2.2-4） 与（2.2-1）比较可知r1，r2，r3是基底r1，r2，r3的对偶（或互逆）基底(r1，r2，r3和r1，r2，r3互为对偶基底)。按（2.2-2）式可构造： （2.2-5） 矢量空间V中互为对偶的基底是一组基底的两种不同的表达形式。对任意矢量 aV ：r1，r2，r3是基底上：r1，r2，r3是基底上：（a） （b） 由（2.2-2）和（2.2-1）得：（c） 编辑课件将（c）代入（a）得：（d） 由（2.2-5）和（2.2-4）同样可得：（e） （f）由（d）和（f）式有：（2.2-6） Einstein求和约定：仿射坐标系中上标和下标重复且仅重复一次表示从1

10、到3求和。 同是上标或同是下标重复且仅重复一次不表示求和。如： （2.2-6）式中a1, a2, a3 (a1, a2, a3)不是 a 在 r1, r2, r3 (r1, r2, r3 ) 中的坐标（平行四边法则）的表示，而是 a 在 r1, r2, r3(r1, r2, r3 )基矢量上的投影。且称 a1, a2, a3是 a 的协变分量； a1, a2, a3是 a 的逆变分量。 r1, r2, r3 是 a 的协变基矢量； r1, r2, r3 是 a 的逆变基矢量。编辑课件a 2a 2a 2a 2a 1a 1a 1a 1ar 2r 2r 1r 1图28例8： 如图28所示基底r1，r

11、2，r3。其中r3是垂直于 r1，r2所在平面的单位矢量。试确定 r1，r2，r3 的对偶基底；图中矢量a的坐标表示和协变、逆变分量表示。 解： r1，r2，r3如图所示。由图中还可得： 最后得： 编辑课件o；i1，i2，i3是V的标准正交坐标系。试求：例9： 以矢量 为仿射坐标系基矢量的对偶基底。 在o；r1，r2，r3基底及其对偶基底上求：的协变和逆变分量表示。解： 编辑课件例10： r1 = i2 + i3 ，r2 = i3 + i1 ，r3 = i1 + i2 。矢量a = 2r1 + r2 + 3r3 ，b = r13r2 + 2r3 ， =3r1 + r2r3 。试求： 1 2 3

12、 4 解： 或 编辑课件因此a、b、c又可表示为：1 2 3 4 编辑课件在例10中协变基底和逆变基底存在关系 尽管r1，r2，r3和r1，r2，r3是V中两组线性无关的矢量。但它们是V中一组基底的两种不同表示方法。如果在V中给出两组基底 r1，r2，r3和 e1，e2，e3。那么e1，e2，e3作为V中矢量可以用基底r1，r2，r3表示为： 称为e1在r1，r2，r3仿射坐标系中的坐标。 称为e2在r1，r2，r3仿射坐标系中的坐标。 称为e3在r1，r2，r3仿射坐标系中的坐标。 同样r1，r2，r3作为V中矢量可以用基底e1，e2，e3表示为 （2.2-7） （2.2-7a） （2.2-

13、7）和（2.2-7a）称为两组基底r1，r2，r3和e1，e2，e3之间的坐标基底变换。 编辑课件设r1，r2，r3；e1，e2，e3是V中的两组基底。两组基底之间满足（2.2-7）或（2.2-7a）变换关系。r1，r2，r3；e1，e2，e3是r1，r2，r3；e1，e2，e3的对偶基底。对任意aV有： （2.2-8） 由 可得： （2.2-9a） 编辑课件同理由 还可得： 将（2.2-9b）代入（2.2-9a）得：利用Einstein求和约定。（2.2-7）（2.2-10）可表示为：（2.2-9b） （2.2-10） （2.2-11） （2.2-11）式给出了协变基底到协变基底的变换。同样

14、也可得出协变基底到逆变基底 ；逆变基底到协变基底 ；逆变基底到逆变基底所对应的变换。 编辑课件在标准正交坐标系（ r1，r2，r3 和 e1，e2，e3均是标准正交坐标系）中，由于 r1 = r 1，r2 = r 2，r3 = r 3，和e1 = e 1 ， e2 = e 2，e3 = e 3 。协变基底与逆变基底相同。同时协变分量与逆变分量相同。这时（2.2-11）到（2.2-14）的表达式均可表达为： （2.2-12） （2.2-13） （2.2-14） 以下给出这三种基底间变换的表达式： （2.2-15） 编辑课件例11： 已知r1 = i1，r2 = i1+ i2，r3 = i1+ i2 + i3和e1 =