4-1-2简谐运动旋转矢量法简谐运动的动力学讲解

1、波动与光学第1章振动(Vibration)生活中观察的：摇曳的树枝、飘荡的小船人类发明中的：颤动的琴弦或鼓膜人类自身中的：声带.耳膜、心脏不易感觉的：传递声音的空气分子的振动、传递温度的固体内原子的振动.传递信息的天线中电子的振动周期性过程：指不断有规律重复的过程或状态。以固定的时间间隔重复称它具有时间周期性。III如地球自转.公转血液循环.生态循环.经济周期等。以固定的空间段重复称它具有空间周期性。如整齐排列的路灯晶体中的晶格等。广义振动：指系统状态的时间（准）周期性。期性过程：指不断有规律重复的过程或状态。以固定的时间间隔重复称它具有时间周期性。如f地球旨转、公转。以固定的空间段重复称它具

2、有空间周期性。如整齐排列的路灯晶体中的晶格等。广义振动：指系统状态的时间（准）周期性。振动的主要形式:体原子等的振动。机械振动：物体在一定位置附近的往复运动。树枝、小船.琴弦、鼓膜.声带、耳膜.空气分子.电磁振动：电磁量在定值附近周期性往复变化。电流电压电量电能磁能等周期性变化。如何研究振动呢？0的合成x+x3+x5+xQ0勺o1oOEo方波的分解引子振动的合成和分解1.1简谐运动的描述一简谐运动(SimpleHarmonicMotion)物体在运动中，对于平衡位置的位移兀按余弦规律随时间r变化。x()=Acos(tyt+(p)解析表亦法特点：等幅振动(2)周期振动x(t)=x(t+T)轻质弹

3、簧物块刚性无阻力moXX以水平弹簧振子为例振子：可以发生振动的系统。兀(f)=Acos(创+V减poo速加oo速V减速ua加三.描述简谐运动的特征量x(t)=Acos(ot+(p)1振幅A(amplitude)偏离平衡位置的最大距离其值与运动如何开始有关2周期7(period)频率卩(frequency)x(t)=x(t+T)振动往复一次所需时间单位时间内的振动次数v=1/T(Hz)Acos(a)t+(p)=Acos(D(t+T)+(p=Acos(奴+(p+2兀)=2tt/T(rad/s)单位时间内变化的弧度数角频率W表征简谐运动的周期性O3相位(phase)（1）（创+卩）是/时刻的相位位移

4、：x(r)=Acos(at+(/)速度：u(r)=-曲sin(cot+0)加速度：d(f)=y2x(/)反映（时刻系统的运动状态（兀、U）。若相位为0f则反映r=A，p=o；若相位为兀/3,则*A/2,”&3/2泌;若*目j立为兀/2f贝!k=0，u=相位为2n，物体回到*A位置。相位，是周期振动中振子所处的阶段（状态）。振动的时间周期性可以用相位来表示。cd=2n/T(rad/s)时间上变化一个周期,相当于相位变化2兀。3相位(phase)(1)(创+卩)是/时刻的相位位移：x(r)=Acos(at+(/)速度：u(r)=-曲sin(cot+0)加速度：d(f)=y2x(/)反映(时刻系统的

5、运动状态仗、U)。相位，是周期振动中振子所处的阶段(状态)。振动的时间周期性可以用相位来表示。co=2n/T(rad/s)时间上变化一个周期，|相当于相位变化2兀。(2)(p是/=0时刻的相位一初相(initialphase)即，选定的初始时刻所处的阶段，反映初始时刻的运动状态(可、u。)。小结：I描述简谐运动的三个特征量：h3.(pv=1IT(Hz)co-2nv=2tt/T(rad/s)位移：兀(f)=Acos宓+卩)速度：u(f)=-Esin0+0)加速度:a(t)=-a)2x(t)简谐运动的两个定义相位，是周期振动中振子所处的阶段(状态)。引子：伽利略对木星卫星的观测1610年f伽利略用

6、他制作的望远镜发现了木星!1!的4颗主要卫星。经观察,发现木卫四似乎在做相对于木星圆盘中点往复运动。1121610年f伽利略用他制作的望远镜发现了木星的4颗主要卫星。经观察，发现木卫四似乎在做相对于木星圆盘中点往复运动。根据他精确的记录发现最佳拟合曲线是余弦曲线这强烈地暗示了简谐运动。难道木卫四是在做简谐运动?木卫四以基本恒定的速度在做近似的圆周运动。结论:所观察到的简谐运动是匀速圆周运动在运动平面内一条直线上的投影。1.2旋转矢量与振动的相一.旋转矢量法矢量长度=A以血为角速度绕o点逆时针旋转t=0时矢量与x轴的夹角为0!=旋转矢量：A兀轴投影：x=Acos+0)线速度：vmaA兀轴投影：”

7、=-%sin0+0)法向加速度：=g)2A兀轴投影：a=-“cos+0)旋转矢量：A兀轴投影：x=Acos（a+（p）线速度：vm=aA兀轴投影：二-sin0+）法向加速度：=毗4兀轴投影：a=-ancos+）简谐运动相的几何意义：是匀速圆周运动在所沿的直径上的投影。振动的相（创+効是旋转矢量的角位置。Xo0A例题已知简谐运动,A=4cm,v=0.5Hz,t时兀=2c/w且向兀正向运动r写出振动表达式。解:简谐运动的基本表达式:x(t)=Acos(a)t+(p)_由题意T=l/v=2sco2n/Tit1由图t(p-n/3f:.x=4cos(M+k/3)cm二相位差(phasedifferenc

8、e)x(Z)=Acos(ot+x1=A1cos(a)t+(p1)和x2=A2cos(ot+(p2)h(p=at(cot+0i)=輕相位差等于初相差；也可以说一个对另一个有相移。2.同相和反相当/卩=2疋龙，(k=0,1,2,)，两振动步调相同，称同相。当A(p(2k+l)7T9(k=0/1,2,.),两振动步调相反，称反相。2.同相和反相当A(p(k=0,1,2,)，两振动步调相同，称同相。当/卩=(2疋+7)龙,(k=0,1,2,),两振动步调相反，称反相。3超前和落后x(t)=Acos(ot+(p)若210=輕50,贝1|兀2比较早达到正极大,称XT?比q超前(或比落后)思考：在图中r可与

9、兀2两振动谁超前？超前.落后以5的相位角来判断。01=-，02=0(p2-(Pi09兀2比心超前兀位3龙01=亍，02=0，可比牝超前3兀/2(*)XH(*)U:慝(0+Munl=(*)a”牌(0+X0SO0PHUH小结:简谐运动是匀速圆周运动在所沿圆的直径上的投影。(cot+卩)是时刻t振动的相f几何意义是旋转矢量的角位置。相位不同f运动状态不同。两同频率简谐运动的相差：A(p=初相差；A(p=2kn,同相；A(p-(2k+l)7rf反相。描述简谐运动的三种方法:解析表示法线表示法；旋转矢量法。引子：简谐运动的运动学与动力学前两节讨论了简谐运动的运动学即如何描述简谐运动；下面我们将探讨简谐运

10、动的起因牛顿第二定律告诉我们f力是运动状态改变的原因因此我们将讨论简谐运动的动力学。x(t)=Acosifot+(p)a(t)=-a)2x(t)F=一kx13简谐运动的动力学方程1.受力特点a(t)=F=ma=ma/x=kx力和位移成正比而反向，称恢复力2动力学方程简谐运动另一定义线性谐振子/m=-kx2.动力学方程F=-kx二阶常系数线性常微分方程d2XknHX=0dim简谐运动的动力学方程其通解为：其中1(0=x(t)=Acos(a)t+(p)A和卩是由初始条件决定的积分常数简谐运动3.固有角频率由F=_：comamaiLXy和F=-X,比较可得氐为劲度系数固有角频率决定于振动系统的内在性质。3.固有角频率a弹簧振子：x(t)=Acos(a)t+(p)kCD=Vm氐为劲度系数速度y0=-(jjAsin(p0=tg-l(_亘)(OXq振动系统都有，某种弹性要素仇）和“惯性”要素（加）4.由初始条件求振