新高考艺术生数学基础复习讲义 考点30 周期性和对称性（教师版含解析）

1、12/12考点30 周期性和对称性知识理解一函数的周期性1.周期函数对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期2.最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期3函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量x：(1)若f(xa)f(x)，则T2a(a0)(2)若f(xa)eq f(1,f（x）)，则T2a(a0)(3)若f(xa)eq f(1,f（x）)，则T2a(a0)二函数图象的对称性(1)若函数yf(xa)是偶函数，即f(

2、ax)f(ax)，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称(2)若对于R上的任意x都有f(2ax)f(x)或f(x)f(2ax)，则yf(x)的图象关于直线xa对称(3)若函数yf(xb)是奇函数，即f(xb)f(xb)0，则函数yf(x)关于点(b，0)中心对称考向分析考向一 对称性【例1】(2021广东揭阳市高三一模)已知函数定义域为，满足，且对任意均有成立，则满足的的取值范围是( )ABCD【答案】D【解析】因为函数满足，所以函数关于直线对称，因为对任意均有成立，所以函数在上单调递减.由对称性可知在上单调递增.因为，即，所以，即，解得.故选：D.【举一反三】13(2021浙江)已知函数，且

3、，则下列不等式中成立的是( )ABCD【答案】C【解析】由得图象的对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增，且，所以，故选：C.2.(2019福建师大二附中)函数在上是增函数，函数是偶函数，则下列结论正确的是( )ABCD【答案】B【解析】在上是增函数，在上是增函数，由函数是偶函数，知：在上是减函数，而，由，.故选：B考向二 周期性【例2】(2021曲靖市第二中学)已知函数是定义在上的奇函数，且，则( )ABCD【答案】A【解析】是奇函数，又，是周期函数，周期为4故选：A【举一反三】1(2021山东聊城市)已知定义在R上的奇函数满足，若，则( )ABC0D2【答案】B【解析】因为定义在R上的奇

4、函数满足，所以所以，所以是周期函数，周期为4所以故选：B2(2021安徽合肥市)已知是R上的奇函数且，当时，( )AB2CD98【答案】A【解析】，是以4为周期的函数，是R上的奇函数，.故选：A.3(2021江西南昌市)若在上是奇函数，且有，当时，则( )A242B-242C2D-2【答案】D【解析】由是定义在上的奇函数，得，又时，所以，因为对任意都有，所以4为的周期，所以故选：考向三 函数性质的综合运用【例3】(2021上海松江区)已知函数是定义域为R的奇函数，满足，若，则_【答案】1【解析】因为，所以，所以，即函数是周期为4的周期函数.所以,所以原式等于故答案为：【举一反三】1(2021广

5、东高考模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(1+x)=f(1-x)，且f(1)=a，则f(2)+f(3)+f(4)=( )A0B-aCaD3a【答案】B【解析】因为函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x)，所以f(x)关于直线x=1对称，所以f(2)=f(0)，f(3)=f(-1)又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，又由f(1+x)=f(1-x)可得f(x+1)=f(1-x)=-f(x-1)，所以f(x+2)=-f(x)，故f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，因此，函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(4)=f(0)，又f(1)=a因此f(2)+f(3)+f

6、(4)=f(0)+f(-1)+f(0)=-f(1)=-a.故选B2(2021安徽亳州二中)定义在上的函数满足，且，则=_。【答案】-1【解析】由题意知定义在上的函数满足，得是奇函数，所以，即，赋值得，故，得周期是8，所以3.(2021四川高考模拟)已知定义域的奇函数的图像关于直线对称,且当时,则( )ABCD【答案】C【解析】f(x)是奇函数，且图象关于x1对称；f(2x)f(x)；又0 x1时，f(x)x3；故选：B4.(2019永安市第一中学高考模拟)已知fx是定义在R上的奇函数，满足f(1+x)=f(1-x),若f(1)=1，则f(1)+f(2)+f(3)+.+f(2019)=( )A1

7、 B0 C1 D2019【答案】B【解析】根据题意，函数f(x)满足f(1x)f(x+1)，则函数f(x)的图象关于直线x1对称，则有f(x)f(x+2)，又由函数f(x)为奇函数，则f(x)-f(x)，则有f(x)-f(x+2)，则f(x+2)=- f(x+4)，可得f(x)= f(x+4)则函数f(x)为周期为4的周期函数，又由f(1)1，则f(1)=f(5)=f(2017)1，f(-1)=- f(1)=-1，则f(3)=f(7)= f(2019)=-1，又f(-2)=f(2)-f(2)，则f(2)=0，且f(0)=0，所以f(2)=f(4)f(6)f(8)f(2018)0，则f(1)+f

8、(2)+f(3)+f(2019)505-505+0=0；故选：B强化练习1(2021四川资阳市)定义在R上的偶函数满足,，则( )ABC2D4【答案】C【解析】根据题意，函数满足，则，又由为偶函数，则有，则，函数是周期为2的周期函数，故，故选：C.2(2021重庆九龙坡区)已知函数的定义域为R且满足，若，则( )A6B0CD【答案】C【解析】因为，所以的周期，因为函数的定义域为R且满足，所以，所以.故选：C3(2021沙坪坝区重庆南开中学)定义在R上的奇函数满足，且时，则( )A2B1C0D【答案】C【解析】因为定义在R上的奇函数满足，所以所以，所以是以4为周期的周期函数所以故选：C4(202

9、1河南驻马店市高三期末(文)已知是定义在上的奇函数，且，当时，则( )ABCD【答案】A【解析】因为是定义在上的奇函数，所以图象的对称中心为，且因为，所以图象的对称轴方程为，故的周期，从而，故选：A5(2021湖北武汉市)已知定义域为的函数是奇函数，且，若在区间是减函数，则，的大小关系是( )ABCD【答案】B【解析】，由此可知函数的周期为4，函数是奇函数，所以有：，因为在区间是减函数，所以，即，故选：B6(2021江苏南通市)已知定义在R上的函数满足：，当时，其中e是自然对数的底数，则( )ABCD【答案】D【解析】由已知可知，即，所以函数是一个以4为周期的周期函数，又因为当时，所以，故选：

10、D.7(2021江苏扬州市扬州中学)已知函数为偶函数，在区间上单调递增，则满足不等式的x的解集是( )ABCD【答案】A【解析】因为函数为偶函数，所以的图象关于直线对称，因为的图象向右平移1个单位得到的图象，则的图象关于直线对称，又因为在区间，上单调递增，所以在区间上单调递减，所以的函数值越大，自变量与1的距离越大，的函数值越小，自变量与1的距离越小，所以不等式等价于，两边平方，解得，即不等式的解集为故选：A8(2021邵阳市第十一中学)已知函数满足，且，则下列结论正确的是( )ABCD【答案】CD【解析】由条件，可知函数的周期，因为，则.故选：CD9(2020全国课时练习)已知函数是周期函数

11、，10是的一个周期，且，则_.【答案】【解析】因为10是函数的周期，所以故答案为：10(2021浙江金华市)设是定义在上的函数，对任意实数有，又当时，则_【答案】【解析】由，即所以，所以是以4为周期的周期函数.所以故答案为：11(2021上海市西南位育中学)已知函数，对任意，都有(为非零实数)，且当时，则_.【答案】【解析】当时，则，对任意，都有(为非零实数)，则，由可得，所以，函数是周期为的周期函数，因此，.故答案为：.12(2021陕西咸阳市高三一模(文)若偶函数满足，则_【答案】-1【解析】，是周期函数，周期，且函数是偶函数，故答案为：13(2021浙江绍兴市)已知函数是定义域为R的偶函数，且周期为2，当时，则当时，_.【答案】【解析】当时，则，因为是定义域为R的偶函数，所以；当时，则，又的周期为2，所以；故答案为：.14(2021上海市杨浦高级中学已知函数，满足，且当时，则_.【答案】【解析】由函数，满足，即得.故答案为：2.15(2021福建福州三中高一期末)已知是定义在上的偶函数，且满足，当，则_【答案】2.5【解析】由，则周期，所以