高等数学A第6章多元函数微分学110(多元函数概念)讲解课件

1、中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组高等数学A6.1.1 点集与多元函数的概念6.1.2 二元函数的极限及连续性 6.1 多元函数微分的基本概念 第6章 多元函数微分学6.1 多元函数微分的基本概念6.1.1 一般概念 预备知识 邻域 区域 聚点n 维空间 多元函数概念引例二元函数的定义 习例1-4 二元函数的几何意义 习例5-7 多元函数的定义 6.1.2 二元函数极限及连续性 多元函数极限二元函数的极限定义例8 二元函数极限的计算习例9-12 确定极限不存在的方法 例13-16累次极限例17-19 多元函数的极限 多元函数连续性连续性定义 闭区域上连续函数的性质例20-25 小结多元函

2、数微分学的基本概念 我们把n元有序实数组(x1 x2 xn)的全体所构成的集合记为Rn 即 Rn(x1 x2 xn)| xiR i1 2 n x(x1 x2 xn)称为Rn中的一个点或一个n维向量 xi称为点x的第i个坐标或n维向量x的第i个分量 0(0 0 0)称为Rn中的原点或n维零向量1. n 维空间一、预备知识定义 数量积/内积 的距离记作中点 a 的 邻域为规定为 与零元 O 的距离为2. 邻域点集称为点 P0 的邻域.例如,在平面上,(圆邻域)在空间中,说明：若不需要强调邻域半径 ,也可写成点 P0 的去心邻域记为(球邻域)在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为。因为方邻

3、域与圆邻域可以互相包含.(1) 内点、外点、边界点设有点集 E 及一点 P : 若存在点 P 的某邻域 U(P) E , 若存在点 P 的某邻域 U(P) E = , 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E则称 P 为 E 的内点；则称 P 为 E 的外点 ;则称 P 为 E 的边界点.的外点 , E的边界点的全体 称为E的边界 记作E 任意一点PR2与任意一个点集ER2之间必有以下三种关系中的一种 Rn中点的分类 （按位置) 显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的边界点可能属于 E, 也可能不属于 E . 提问 E的内点、外点、边界点是否都必

4、属于E？(2) 聚点若对任意给定的 ,点P 的去心邻域内总有E 中的点 , 则称 P 是 E 的聚点.聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为 所有聚点所成的点集成为 E 的导集 .E 的边界点 )Rn中点的分类（按性质) 孤立点 (isolated point )(1) 内点一定是聚点；注意:(2) 边界点可能是聚点；(0,0)既是边界点也是聚点.(3) 点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E(0,0) 是聚点但不属于集合.边界上的点都是聚点也都属于集合D(3) 开区域及闭区域 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集； 若点集 E E , 则称 E 为闭集； 若集 D 中

5、任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 , 开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称 D 是连通的 ; 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ;。 。 E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;Rn中点集的分类例如，在平面上开区域闭区域 整个平面 点集 是开集， 是最大的开域 , 也是最大的闭域；但非区域 .o 对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 PD 与某定点 A 的距离 AP K ,则称 D 为有界域 , 界域 .否则称为无二. 多元函数的概念1.引例: 圆柱体的体积 定量理想气体的压强 三角形面积的海伦公式2. 二元函数的定义3. 二元函数的定义域(1) 使得算式有意义的x,

6、y的变化范围所确定的点集. (2) 使得实际问题有意义的x,y的变化范围所确定的点集. (3) 二元函数的定义域一般来说是平面上的区域. (4) 二元函数的两要素是定义域和对应法则. 例1 例2例3例4解所求定义域为注意: 平面区域通常用字母D表示.例1 解故所求定义域为 例2解例3解例44. 二元函数的几何意义一般曲面如图所示例 5 作二元函数 的图形 例 6 作二元函数 的图形 例 7 作二元函数 的图形 解 二元函数 的图形是空间一平面，其图形如下图所示例 5 作二元函数 的图形 解 此函数的定义域为 面上任意点且 ，即曲面上的点都在面 上方其图形为旋转抛物面，如下图所示例 6 作二元函

7、数 的图形 例 7 作二元函数 的图形 解 此二元函数的定义域为 ，即 坐标面 上的以 为圆心， 为半径的圆，且 其图形为上半圆周，如下图所示 5. 多元函数的定义一个自变量. 两个自变量. 三个自变量. n个自变量. n元函数在几何上表示n+1维空间上的一般曲面. 注意. (1) 多元函数也有单值函数和多值函数，如在讨论过程中通常将其拆成几个单值函数后再分别加以讨论.(2) 多元函数也有分段函数，如(3) 点函数u=f(P)能表示所有的函数.6. 多元函数有加减乘除数乘及复合运算(略)多元复合函数比一元复合函数复杂，需要认清其复合关系-可借助链式图（分枝图）. 曲面z=f(x, y)与平面z

8、=c的交线在xoy平面上的投影称为二元函数zf(x, y)的等值线。二元函数的的等值线/等高线下图回忆一元函数极限的概念现在进行形式上的推广三. 多元函数的极限1. 二元函数的极限定义描述性定义 精确定义利用点函数给出的定义说明：（1）定义中 的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似OxyOxy 相同点 多元函数的极限与一元函数的极限的一元函数在某点的极限存在的充要?定义相同.差异为必需是点P在定义域内以任何方式和途径趋而多元函数于P0时,相同点和差异是什么条件是左右极限都存在且相等;都有极限,且相等.例8 依定义验证证 因为 不妨先限制在点(

9、2, 1)的方邻域 内来讨论, 于是有当 时, 就有 所以这就证得 2. 二元函数极限的计算习例 计算二元函数的极限，应用一元函数计算极限的一些法则与方法. 对于未定型，不再有LHospital法则，须化成确定型. 解 原结论成立解解 由夹逼准则得，证(证法一) 可知 故注意 不要把上面的估计式错写成：因为的过程只要求 即 而并不要求 (证法二) 作极坐标变换 这时 等价于( 对任何 ). 由于 因此，对任何 都有 下述定理及其推论相当于一元函数极限的海涅归结原则(而且证明方法也相类似). 定理1 的充要条件是：对于 D 的 任一子集 E,只要 仍是 E 的聚点,就有3. 确定极限不存在的方法

10、 推论1 若, P0 是 E1 的聚点, 使 不存在, 则 也不存在 推论2 若 是它们的聚点，使得都存在，但, 则不存在推论3 极限 存在的充要条件是：D 中任 一满足条件 它所 对应的函数列都收敛 在(0,0)处时, 一般选择下列极限方式：由上述结论可得确定极限不存在的方法如下：例15 解其值随着k的不同而改变.故所求极限不存在. 解 如上图所示, 当 (x, y) 沿任何直线趋于原点时,相应的 都趋于 0, 但这并不表明此函数在 时的极限为 0. 因为当 (x, y) 沿抛物线 趋于点 O 时, 将趋于1. 所以极限 不存在. 解 利用定理1 的推论 2, 需要找出两条路径, 沿 着此二

11、路径而使 时, 得到两个相异 的极限 例15 第一条路径简单地取 此时有 第二条路径可考虑能使的分子与 分母化为同阶的无穷小, 导致极限不为 0. 按此思路 的一种有效选择, 是取 此时得到 这就达到了预期的目的 解: 因而此函数定义域不包括 x , y 轴则故4. 累次极限是以任何方式趋于 这种极限也称为重 极限. 下面要考察 x 与 y 依一定的先后顺序, 相继趋 在上面讨论的中, 自变量 于 与 时 f 的极限, 这种极限称为累次极限. 定义 它一般与 y 有关, 记作 如果进一步还存在极限 累次极限, 记作 则称此 L 为 先对 后对的 类似地可以定义先对 y 后对 x 的累次极限:

12、注 累次极限与重极限是两个不同的概念, 两者之间没有蕴涵关系.下面三个例子将说明这一点. 例17 设 . 由例 12 知道 当时的重极限不存在. 但当时, 有 从而又有 同理可得 这说明 f 的两个累次极限都存在而且相等. 累次极限分别为 例18 设 , 它关于原点的两个 当沿斜率不同的直线时, 有 因此该函数的重极限不存在. 例19 设, 它关于原点的两 个累次极限都不存在. 这是因为对任何 时, f 的第二项不存在极限. 同理, f 的第一 项当 时也不存在极限. 但是由于 故按例11知道 时 f 的重极限存在, 且 下述定理告诉我们: 重极限与累次极限在一定条件 下也是有联系的. 定理2

13、 若 f (x, y) 的重极限 与 累次极限 都存在, 则两者必定相等. 证 设 则使得当时, 有的 x, 存在极限 另由存在累次极限之假设, 对任一满足不等式 回到不等式(1), 让其中, 由 (3) 可得故由 (2), (4) 两式, 证得, 即由这个定理立即导出如下两个便于应用的推论. , 推论1 若重极限 和累次极限 都存在, 则三者必定相等. 推论2 若累次极限都存在但不相等, 则重极限必定 不存在. 请注意: (i) 定理 6.1.2 保证了在重极限与一个累次 极限都存在时, 它们必相等. 但对另一个累次极限的 存在性却得不出什么结论. (ii) 推论 1 给出了累次极限次序可交

14、换的一个充分条件. (iii) 推论 2 可被用来否定重极限的存在性(如例17 ). 5. 多元函数的极限 利用点函数的形式有n元函数的极限1. 连续性定义四. 多元函数的连续性 寻找间断点的方法函数无定义的点;极限存在但不等于函数在该点的函数值的点等等.例如：极限不存在的点;与一元函数的情况类似例20例21 例22 证明在全平面连续.例23 讨论函数在(0,0)的连续性由分母不能为零,的一切点均为函数的间断点.Oxy解直线上说明：多元函数间断点情形比较复杂,多元函数的间断点可以构成一些直线、曲线、曲面等,也可以是某些点的集合.例20由分母不能为零,解故点为函数的间断点.例21 例22 证明在

15、全平面连续.证:为初等函数 , 故连续.又故函数在全平面连续 .由夹逼准则得例23 讨论函数在(0,0)的连续性解取其值随k的不同而变化，极限不存在故函数在(0,0)处不连续2. 闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次(1) 最大值和最小值定理(2) 介值定理(3) 多元连续函数的和、差、积、商、复合 函数仍为连续函数.(4) 多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数 经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数.(5) 一切多元初等函数在其定义区