第七章 方差分析 - 黑龙江农业职业技术学院(共26页)

1、第七章 方差分析知识(zh shi)目标： 了解方差分析的概念(ginin)和作用； 掌握(zhngw)方差分析的基本原理和步骤； 掌握单向分组资料的方差分析； 掌握两向分组和系统分组资料的方差分析。能力目标： 学会完全随机试验资料进行方差分析； 学会单向分组资料进行方差分析； 学会两向分组和系统分组资料进行方差分析。对一个或两个样本进行平均数的假设测验，可以采用u测验或t测验来测定它们之间的差异显著性。而当试验的样本数k3时，上述方法已不宜应用。其原因是当k3时，就要进行k(k-1)/2次测验比较，不仅工作量大，而且精确度降低。因此，对多个样本平均数的假设测验，需要采用一种更加适宜的统计方法

2、，即方差分析法。方差分析法是科学研究工作的一个十分重要的工具。费歇尔（Ronald A.Fisher）于1924年在加拿大多伦多举行的国际统计学会大会上，作了题为关于一个引出若干周知统计量的误差函数的分析的报告，正式提出了方差分析，也是第一篇出现“方差分析表”的论文。第一节 方差分析基本原理方差分析（analysis of variance，ANOVA）就是将试验数据的总变异分解为来源于不同因素的相应变异，并作出数量估计，从而发现各个因素在总变异中所占的重要程度。即将试验的总变异方差分解成各变因方差，并以其中误差方差作为和其他变因方差比较的标准，以推断其他变因所引起变异量是否真实的一种统计分析

3、方法。一、自由度与平方和分解(fnji)方差是平方和除以自由度的商。要将一个试验资料的总变异分解为各个变异来源的相应变异，首先将总平方和与总自由度分解为各个变异来源的相应部分。因此，平方和与自由度的分解是方差分析的第一步骤。下面以单因素(yn s)完全随机试验设计的资料为例说起。假设(jish)有k个处理，每个处理有n个观察值，则该试验资料共有nk个观察值，其观察值的组成如表7-1。表7-1中，i代表资料中任一样本；j代表样本中任一观测值；xij代表任一样本的任一观测值；Tt代表处理总和；代表处理平均数；T代表全部观测值总和；代表总平均数。表7-1 每处理具n个观测值的k组数据的符号表处理观察

4、值处理总和Tt处理平均12jn1x11xi2x1jx 1nTt12x21xi2x2jx 2nTt2ixi1xi2xijxinTtikxk1xk2xkjxknTtkT=x在表7-1中，总变异是nk个观测值的变异，故其自由度v=nk-1，而其平方和SST则为： (7-1)（7-1）式中的C称为矫正数： (7-2)产生总变异的原因可从两方面来分析：一是同一处理不同重复观测值的差异是由偶然因素影响造成的，即试验误差，又称组内变异；二是不同处理之间平均数的差异主要是由处理的不同效应所造成，称处理间变异，又称组间变异。因此，总变异可分解为组间变异和组内变异两部分。 组间的差异即k个的变异，故自由度，而其平

5、方和SSt为： （7-3） 组内的变异为各组内观测(gunc)值与组平均数的变异，故每组具有自由度v=和平方和，而资料(zlio)共有k组，故组内自由度，v=，而组内平方和SSe为： （7-4）因此(ync)，得到表7-1类型资料平方和与自由度的分解式为：总平方和=组间(处理间)平方和组内(误差)平方和 （7-5）记作： 总自由度=组间(处理间)自由度组内(误差)自由度即： （7-6）记作： DFT=DFtDFe将以上公式归纳如下：总平方和 总自由度 （7-7）处理平方和 处理自由度 误差平方和 误差自由度 求得各变异来源的平方和与自由度后，进而求得：总的方差 （7-8）处理间方差 误差方差

6、例7.1 设有A、B、C、D、E5个大豆品种（k=5），其中E为对照，进行大区比较试验，成熟后分别在5块地测产，每块地随机抽取4个样点（n=4），每点产量（kg）列于表7-2，试作方差分析。表7-2 大豆品比试验结果（kg/小区）品 种取 样 点Tt1234A232124218922.25B211918187619.00C222322208721.75D192019187619.00E151616176416.00 =SUM(ABOVE) 392=19.61平方和的分解(fnji) 已知，根据(gnj)公式（7-2）和（7-7）可得=2自由度的分解(fnji)根据公式（7-6）可得： 总变异自

7、由度 品种间自由度 误差自由度3计算各部分方差根据公式（7-7）可得： 总方差可以不计算。二、F分布与F测验1F分布 设想在一正态总体N（，2）中随机抽取样本容量为n的样本k个，将各样本观测值整理成表7-1的形式。此时的各处理没有真实差异，各处理只是随机分的组。因此，由（7-8）式算出的和都是误差方差的估计量。以为分母，为分子，求其比值。统计学上把两个方差之比值称为F值。即 F具有两个自由度：。F值所具有(jyu)的概率分布称为F分布(fnb)。F分布(fnb)密度曲线是随自由度DF1、DF2的变化而变化的一组偏态曲线，其形态随着DF1、DF2的增大逐渐趋于对称，如图7-1所示。比较一下F分布

8、与正态分布曲线有何不同？F图7-1 不同自由度下的 F分布曲线（=2，=5）（=8，=20）（=4，=10）f（F）F分布的取值范围是（0，+），其平均值=1。用表示F分布的概率密度函数，则其分布函数)为：=P(F)= 因而F分布右尾从到+的概率为：P(F) 附表4，F值表列出的是不同v1和v2下，P(F)=0.05和P(F)=0.01时的F值，即右尾概率=0.05和=0.01时的临界F值，一般记作F0.05，F0.01。如查F值表，当v1=3，v2=18时，F0.05=3.16，F0.01=5.09，表示如以v1=DFt=3，v2=DFe=18在同一正态总体中连续抽样，则所得F值大于3.16

9、的仅为5%，而大于5.09的仅为1%。2F测验 F值表是专门为检验代表的总体方差是否比代表的总体方差大而设计的。若实际计算的F值大于，则F值在=0.05的水平上显著，我们以95%的可靠性（即冒5%的风险）推断代表的总体方差大于代表的总体方差。这种用F值出现概率的大小推断两个总体方差是否相等的方法称为F测验。在方差分析中所进行(jnxng)的F测验目的在于推断处理间的差异是否存在(cnzi)，检验某项变异因素的效应方差是否为零。因此，在计算F值时总是以被测验因素的方差作分子，以误差方差作分母。应当注意，分母项的正确选择(xunz)是由方差分析的模型和各项变异原因的期望均方决定的。实际进行F测验时

10、，是将由试验资料所算得的F值与根据v2=DFt (大均方，即分子均方的自由度)、v2=DFe (小均方，即分母均方的自由度)查附表F值表所得的临界F值与F0.05、F0.01相比较作出统计推断的。若FF0.05，即P0.05，不能否定，统计学上把这一测验结果表述为：各处理间差异不显著，不标记符号；若F0.05FF0.01，即0.01P0.05，否定，接受，统计学上，把这一测验结果表述为：各处理间差异显著，在F值的右上方标记“*”；若FF0.01，即P0.01，否定H0，接受HA，统计学上，把这一测验结果表述为：各处理间差异极显著，在F值的右上方标记“*”。对于例7.1，因为F=25.32/1.

11、43=17.71；根据=DFt=4，=DFe=15查附表F值表，得FF0.01 =4.89，P0.01，表明5个不同大豆品种对产量的影响达到极显著差异。在方差分析中，通常将变异来源、平方和、自由度、均方和F值归纳成一张方差分析表，见表7-3。表7-3 表7-2资料方差分析表变异来源SSDFs2F F0.05F0.01品种间101.3425.3217.71*3.044.89品种内21.5151.43总变异122.819因为经F测验差异极显著，故在F值17.71右上方标记“*”。在实际进行方差分析时，只须计算出各项平方和与自由度，各项均方的计算及F检验可在方差分析表上进行。三、多重比较经F测验，差

12、异达到显著或极显著，表明试验的总变异主要来源于处理间的变异，试验中各处理平均数间存在显著或极显著差异，但并不意味着每两个处理平均数间的差异都显著或极显著，也不能具体说明哪些处理平均数间有显著或极显著差异，哪些差异不显著。因而，有必要进行两两处理平均数间的比较，以具体判断两两处理平均数间的差异显著性。统计上把多个平均数两两间的相互比较称为多重比较（multiple comparison）。多重比较的方法比较多，常用的有最小显著差数法(LSD法)和最小显著极差法(LSR法)，现分别介绍如下。1最小显著(xinzh)差数法 最小显著(xinzh)差数法（least significant diffe

13、rence），又称LSD法。此方法是多重比较中最基本(jbn)的方法。它是两个平均数相比较在多样本试验中的应用，所以LSD法实际上属于t测验性质的，而t测验只适用于测验两个相互独立的样本平均数的差异显著性。在多个平均数时，任何两个平均数比较会牵连到其他平均数，从而降低了显著水平，容易作出错误的判断。所以在应用LSD法进行多重比较时，必须在测验显著的前提下进行，并且各对被比较的两个样本平均数在试验前已经指定，因而它们是相互独立的。利用此法时，各试验处理一般是与指定的对照相比较。LSD法的步骤如下：第一步 先计算样本平均数差数标准误= （7-9）第二步 计算出显著水平为的最小显著差数。在t测验中已

14、知在误差自由度下，查显著水平为时的临界t值，令上式=，移项可得故即等于在误差自由度下，显著水平为时的最小显著差数，即LSD 。 （7-10）当=0.05和0.01时，LSD的计算公式分别是 （7-11） （7-12）任何两处理平均数的差数达到或超过LSD0.05时，差异显著；达到或超过LSD0.01时，差异达到极显著。由例7.1资料可得（kg）当误差自由度DFe=15时，查t值表得：， 所以，显著水平为0.05与0.01的最小显著差数为（kg）（kg）第三步 各处理平均数的比较表7-4中的各个品种与对照的的差数，分别与、比较：小于者不显著,不标记符号；介于与之间者显著，在差数的右上方标记“*”

15、；大于者极显著，在差数的右上方标记“*”。表7-4 5个大豆品种(pnzhng)产量差异比较（LSD法）品种平均数与对照的差异A22.256.25*C21.755.75*B19.002.0*D19.002.0*E（CK）16.00比较(bjio)结果说明B、D品种与对照差异显著，其余两个品种与对照差异达到(d do)极显著水平。2新复极差法新复极差法，又称最小显著极差法(shortest significant ranges，SSR)。简称SSR法，目前在农业科学研究中普遍应用。此法的特点是将平均数按照大小进行排序，不同的平均数之间比较采用不同的显著标准。如表7-4中由上到下的5个平均数是从大

16、到小的次序排列的，两个极端平均数之差（22.25-16.00）=6.25是5个平均数的极差（全距），在这个极差中，又包括（22.25-19.00）、（21.75-16.00）、（22.25-19.00）、（21.75-19.00）、（19.00-16.00）、（22.25-21.75）、（21.75-19.00）、（19.00-19.00）、（19.00-16.00）9个全距，包括4、3、2个平均数的全距，每个全距是否显著，可用全距相当于平均数标准误的倍数（SSR）来衡量。 （7-13）公式中的R为全距，为样本平均数的标准误本例题如果SSR0.05，说明差异显著；SSR0.01，说明差异极显著

17、。将这两个不等式转换成以下公式：（7-14）R SSR0.05= LSR0.05 差异显著R SSR0.01= LSR0.01 差异极显著公式中的即在a水平上的最小显著极差。数值的大小，一方面与误差方差的自由度有关(yugun)，另一方面与测验极差所包括的平均数个数（k）有关。例如(lr)要测定表7-4中最大极差（22.25-16.00）=6.25是否显著(xinzh)，在这个全距内，包括了5个平均数的全距。因此应根据，查SSR值表，得SSR0.05=3.31，SSR0.01 = 4.58，将有关数值代入（7-14）公式中得：LSR0.05 =3 .310.60 = 1.99LSR0.01 =

18、 4.580.60 = 2.7522.25 16.00 = 6.25LSR0.01，说明这个极差极显著。相反，则为不显著。现将表7-2资料按照SSR法对平均数进行多重比较。第一步 计算，第二步 计算LSR值，因为 故根据误差自由度和显著水平a由附表5处的在k下的SSR值，将有关数值带入公式（7-14），得到表7-5。表7-5 LSR0.05和LSR0.01计算表（，）k2345SSR0.053.013.163.253.31LSR0.054.174.374.504.58SSR0.011.811.901.951.99LSR0.012.502.622.702.75第三步 各处理平均数间的比较将各处理

19、平均数按大小顺序排列成表7-6，根据各LSR值对各极差进行测验。在表7-6中，采用的是标记字母法。若显著水平a=0.05，差异显著性用小写英文字母表示，可先在最大的平均数上标上字母a，并将该平均数与以下各个平均数相比，凡相差不显著的（RLSR）都标上字母a，直至某一个与之相差显著的平均数则标以字母b；再以该标有字母b的平均数为准，与上方各个平均数比，凡是不显著的一律标以b；再以标有b的最大平均数为准，与以下各未标记的平均数比，凡是不显著的继续标以字母b，直至某一个与之相差显著的平均数则标以字母c；如此重复，直到最小的一个平均数有了标记字母为止。在各平均数之间，凡是标有相同字母的，差异不显著，凡

20、是标有不同字母的表示差异显著。显著水平a=0.01时，用大写英文字母表示，标记方法同上述。表7-6 表7-2资料的多重比较（SSR法）品种平均数差异显著性a=0.05a=0.01A22.25aAC21.75aAB19.00 b BD19.00 b BE（CK）16.00 c C在期刊论文中，哪种多重比较的方法用的比较多？多重比较的方法有LSD法和LSR法。其中LSR法又分为两种，一是SSR法，一是q测验法。三种方法的差别在于多个样本平均数进行比较时，采用的显著标准不同。q测验标准最高，SSR法次之，而LSD法最低。因此，对于试验结论事关重大或有严格要求的，宜用q测验，q测验可以不经过F测验；一

21、般试验可采用SSR测验。LSD法仅适用于处理与指定对照相比较。第二节 单向(dn xin)分组资料方差分析单向分组资料(zlio)是指观察值按一个方向分组的资料，如表7-1和表7-2所示。一、组内观察值数目(shm)相等的单向分组资料方差分析通常来说，在试验或调查设计时力求各处理的观察值数（即各样本含量n）相等，以便于统计分析和提高精确度。因此这类资料最为常见。本章第一节例7.1 资料的方差分析就是实例，故不在赘述。应用时，整理资料的格式和符号见表7-1，方差分析所应用的公式则归纳为表7-7。表7-7 组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析所用公式（n相等时）变因SSDFF标准误处理间误差

22、总变异二、组内观察(gunch)值数目不等的单向(dn xin)分组资料方差分析有k个处理，每个处理的观察(gunch)值的数目分别是、，则为组内观察值数目不等资料。在进行方差分析时有关公式因不同需作相应改变。1在分解自由度与平方和时总变异自由度 （7-15）处理间自由度 误差自由度 总变异平方和 （7-16） 处理间平方和 误差平方和 2多重比较由于各处理的重复次数不同，可先计算各ni的平均数n0。 （7-17）然后有 （7-18） （7-19）例7.2 以A、B、C、D 4种药剂处理水稻种子，得各处理苗高观察值（cm），各处理样点数不等，调查资料列于表7-8，试进行方差分析。表7-8 不同

23、药剂处理的水稻苗高（cm）药剂样 点1234567A1920222321181714020.007B21232425262714624.336C15161718198517.005D232425249624.004分析(fnx)步骤：1平方和与自由度的分解(fnji) 9 913.14 9 913.14=251.86 2列方差分析表进行(jnxng)F测验方差分析表见表7-9。表7-9 表7-8资料方差分析表变异来源SS DFFF0.05F0.01处理间188.53362.8417.85*3.165.09误差63.33183.52总变异251.8621F测验结果，FF0.01，说明不同药剂处理

24、的水稻苗高有极显著差异，应进一步作多重比较。3多重比较当，查附表5得k=2、3、4时的SSR，将SSR值分别乘以值，得LSR值列于表7-10。差异显著性测验的结果列于表7-11。表7-10 多重比较时的LSR的计算k234SSR0.052.973.123.21SSR0.014.074.274.38LSR0.052.492.622.69LSR0.013.413.583.67表7-11 不同药剂处理(chl)的水稻苗高差异显著性表（SSR法）处 理苗高平均数（cm）差异显著性=0.05=0.01B24.33aAD24.00aAA20.00 b BCC17.00 c C推断(tudun)：处理B、D

25、之间差异(chy)不显著，A、C之间差异显著；B、D与A、C之间差异达到极显著。即B、D处理的苗高最高，A、C处理的最矮。三、系统分组资料方差分析系统分组资料就是组内（处理内）又分为亚组的单向分组资料，简称系统分组资料。系统分组并不限于组内分亚组，在亚组内还可以分小组，小组内还可以分小亚组，如此循环分下去。这种试验的设计方法称为巢式设计。系统分组资料在农业试验上是比较常见的。如对多块土地取土样分析，每块地取若干样点，而每一样点又作了数次分析的资料；或在调查果树病害，随机调查若干株，每株取不同部位若干枝条，每个枝条取若干叶片查其病斑数的资料；或在温室里做盆栽试验，每处理若干盆，每盆若干株的资料等

26、，皆为系统分组资料。以下仅讨论二级分组且每组观察值数目相等的系统分组资料的方差分析。设一系统资料共有l组，每个组内又分为m个亚组，每个亚组内有n个观察值，则该资料共有lmn个观察值，其资料类型如表7-12。表7-12 二级系统分组资料lmn个观察值的符号表（i=1，2，；j=1，2，m；k=1，2，n）组 别12il亚组别12jm观察值亚组总和组总和T1T2 亚组均数组均数系统分组资料的变异(biny)来源分为组间（处理间）、组内亚组间和同一亚组内各重复观察值间（试验误差）三部分。其自由度与平方和的计算公式如下：总变异(biny) （7-20） 组间（处理(chl)间）变异 （7-21） 同一

27、组内亚组间的变异 （7-22） 亚组内的变异 （7-23） 因而可得方差分析表7-13。表7-13 二级系统分组资料的方差分析表变 异 来 源SSDFF组 间l-1组内亚组间l（m-1）亚 组 内lm（n-1）总 变 异lmn-1由表7-13可知，要测验各组（处理）间有无不同效应，测验假设H0： （7-24）要测验各亚组间有无不同效应，测验假设 （7-25）在进行组（处理）间平均数多重比较时平均数标准误为： （7-26）在进行组内亚组间平均数多重比较时平均数标准误为： （7-27）例7.3 在温室(wnsh)内以4种培养液（=4）培养(piyng)某植物，每种培养液培养3盆（=3），每盆4株（

28、=4），全试验共有12个花盆(hu pn)完全随机排列，其他管理条件相同，一个月后测定株高生长量（mm），得结果于表7-14，试作方差分析。表7-14 4种培养液下的株高增长量培养液盆号生长量（）盆内总和总和/培养液平均/培养液（）AA150554035180A23535304014049541.3A345404050175BB150455045190B25560505021562552.1B355456555220CC185609085320C26570806528088073.3C370707070280DD160553570220D26085457526577564.6D36565857

29、5290总和T=2 7751平方和与自由度的分解总变异平方和 =172 025.00160 429.6911 595.31培养液间平方和 =167 556.25-160 429.69=7 126.56培养液内盆间平方和=(1802+1402+2902)/4+(4952+6252+8802+7752)/3/4 =168 818.75167 556.25=1 262.5盆内株间平方和 =172 025.00168 818.75=3 206.25总变异(biny)自由度 =(434)1=47培养液间自由度 DFt=1=41=3培养液内盆间自由度 =4(3-1)=8盆内株间自由度 =43(4-1)=3

30、6培养液间方差(fn ch) 培养液内盆间方差(fn ch) 盆内株间方差 2列方差分析表进行F测验表7-15 表7-14资料的方差分析表变 异 来 源SSDFFF0.05F0.01培养液间7 126.5232 375.5215.05*4.077.59培养液内盆间1 262.508157.811.772.223.04盆内株间3 206.253689.06总变异11 595.3147对培养液内盆间作F测验，查F值表，当v1=8，v2=36时，F0.05=2.22，F0.0l=3.04，现实得F=1.77F0.05，故盆间差异不显著。对培养液间变异作F测验,查F值表，当v1=3，v2=8时，F0.

31、05=4.07，F0.0l=7.59，现实得F=15.05F0.01，故否定H0，培养液间差异极显著。3各培养液平均数间的比较 平均数标准误为：（mm）按v=8查SSR值表得k=2、3、4时的SSR值，并算得各LSR值于表7-16。由LSR值对4种培养液植株生长量进行差异显著性测验的结果列于表7-17。表7-16 4种培养液的LSR值（SSR法）k234SSR0.053.263.393.74SSR0.014.745.005.14LSR0.0511.8312.3112.60LSR0.0117.2118.1518.66表7-17 4种培养液植株(zhzh)生长量（mm）的差异显著性培 养 液平均生

32、长量差异显著性=0.05=0.01CDBA73.364.652.141.3aa b bAAB BC C 推断(tudun)：4种培养液对生长量的效应，C与B、A差异极显著(xinzh)，D与A差异极显著，D与B差异显著，其它处理间差异均不显著。第三节 两向分组资料方差分析 两向分组资料是指试验指标同时受两个因素的作用而得到的观测值。如选用几种温度和几种培养基培养某种真菌，研究其生长速度，其每一观测值都是某一温度和某一培养基组合同时作用的结果，故属两向分组资料，又叫交叉分组。按完全随机设计的两因素试验数据，都是两向分组资料，其方差分析按各组合内有无重复观测值分为两种不同情况，本节将予以讨论。一、

33、组合内无重复观测值的两向分组资料方差分析 设有A和B两个因素，A因素有a个水平，B因素有b个水平，每一处理组合仅有一个观测值，则全试验共有ab个观测值。其资料类型如表7-18。表中TA和分别表示各行(A因素的各个水平）的总和及平均数；TB和分别表示各列（B因素的各个水平）的总和及平均数；T和表示全部数据的总和及平均数。表7-18 两向分组资料每处理无重复观测值的数据符号（1，2，a；j =1，2，b）A因素B因素TAB1B2BbA1TA1A2TA2AaTAaTBTB1TB2TBbT 两向分组资料(zlio)的总变异可分为A因素(yn s)、B因素(yn s)和误差三部分。其计算公式如表7-19

34、。 表7-19中F测验假设为H0：=0、H0：=0，试验资料如果A、B存在互作，则与误差混淆，因而无法分析互作，也不能取得合理的试验误差估计。只有AB互作不存在时，才能正确估计误差。但在田间进行随机区组试验时，处理可看作A因素，区组可看作B因素，处理与区组的互作在理论上又是不应存在，可看作误差。故可按照表中的形式来整理试验数据。表7-19 表7-18类型资料方差分析表 变异来源SSDFFA因素B因素误差()()总变异例7.4 将A1、A2、A3、A4 4种生长素，并用B1、B2、B3 3种时间浸渍菜用大豆品种种子，45天后测得各处理平均单株干物重（g）列于表7-20。试作方差分析。表7-20

35、生长素处理大豆的试验结果生长素（A）浸渍时间（B）TAB1B2B3A110910299.67A2254113.67A31314144113.67A41212133712.33TB374041T=1189.310.010.3=9.831平方和与自由度的分解 根据表7-19将各项变异来源的平方和及自由度进行分解。2列方差分析表进行(jnxng)F测验(cyn)将以上(yshng)结果填入表7-21中，并将自由度直接填入该表。表7-21 表7-20资料的方差分析表变异来源SSDFFF0.05F0.01生长素间177.0359.078.67*4.769.78时间间2.221.11.475.1410.9

36、2误差4.560.75总变异183.711对生长素间差异作F测验，查F值表，当v1=3，v2=6时，F0.05=9.78，现实得F=78.67F0.0l，故否定H0，不同的生长素间差异极显著，需作多重比较。对浸渍时间间差异作F测验，查F值表，当v1=2，v2=6时，F0.05=5.14，现实得F=1.47F0.05，故接受H0，三种浸渍时间间差异不显著，不需作多重比较。3生长素间比较（g）当v=6时，查SSR值表得k=2、3、4时的SSR值，并算得各LSR值列于表7-22。进而进行多重比较列于表7-23。表7-22 4种生长素的LSR值k234SSR0.053.463.583.64SSR0.0

37、15.245.515.65LSR0.051.731.791.82LSR0.012.622.762.83 表7-23 4种生长素处理的差异显著性生长素平均干物重(g/株)差异显著性=0.05=0.01A3A4A1A213.6712.339.673.67aa b cAA B C 推断：4种生长素对大豆单株平均(pngjn)干物重的效应，除A3与A4比较(bjio)差异不显著外，其余处理间比较有极显著差异。二、组合(zh)内有重复观测值的两向分组资料方差分析设试验有A、B两个因素，A因素有a个水平，B因素有b个水平，共有ab个处理组合，每一处理有n个观测值，于是资料共有abn个观测值。如果试验按完全

38、随机设计，则其资料的类型如表7-24。表7-24两向分组资料每处理有重复观测值的数据结构A因素重复B因素TAB1B2BbA112A212Aa12T表7-24中符号(fho)的含义：TA为A因素(yn s)总和。而、分别(fnbi)为A因素各个水平的总和。为A因素平均数。而、分别为A因素各个水平的平均数。为B因素各个水平的总和，为B因素平均数。而、分别为B因素各个水平的平均数。为处理组合总和，而、为各个处理的总和。为处理组合平均数，而、为各个处理的平均数。T为试验资料总和，为试验资料平均数，为资料内任一观测值。这类资料在方差分析时，总变异可分解为A因素、B因素、AB互作及误差4部分。其各变异来源

39、的平方和与自由度公式见表7-25。表7-25 表7-24类型资料平方和与自由度的分解变异来源SSDFF处理组合ab1A因素B因素AB互作试验误差总变异在上述测验中，互作的分析非常重要。通常首先由F=测验互作的显著性。如果互作不显著，则必须进而对A、B效应的显著性作测验，这时可以作为F测验的分母。如果互作是显著的，则不必再测验A、B效应的显著性，直接进入各处理组合的多重比较，但习惯上往往仍对各因素效应作测验。因为在互作显著时，因素平均效应的显著性在实际应用中的意义并不重要。 例7.5 施用A1、A2、A3 3种肥料于B1、B2、B3 3种土壤，以小麦为指示作物，每处理组合种3盆，得其产量结果（g

40、）列于表7-26。试作方差分析。1平方和与自由度的分解 根据表7-25将各项变异来源的自由度填于表7-27。以下计算各变异来源的平方和，求得将以上(yshng)结果填入表7-27中。表7-26 3种肥料施于3种土壤的小麦(xiomi)产量（g）（a=3，b=3，n=3，abn=27）肥料种类（A）盆号（n）土壤种类（B）TAB1（油沙）B2（二合）B3（黏土）A1112.013.013.3214.213.714.0118.213.1312.112.013.938.338.741.2A2112.814.212.0213.813.614.6122.013.6313.713.314.040.341.

41、140.6A3121.419.617.6169.218.8221.218.816.6320.116.417.562.754.851.7142.3134.6133.5T=409.415.715.014.82列方差分析表进行(jnxng)F测验表7-27 表7-26资料的方差分析变异来源SSDFFF0。05F0。01处理组合间202.58825.3327.30*2.513.71肥料间（A）179.45289.7396.8*3.556.01土类间（B）3.9621.982.133.556.01肥料土类（AB）19.1744.795.16*2.934.58试验误差16.70180.928总变异219.

42、2826由表7-27可知(k zh)，该试验肥类土类的互作和肥类的效应(xioyng)间差异都是极显著的，均需作多重比较，而土类间差异不显著，故不需作多重比较。3平均数的比较(bjio)（1）各处理组合平均数的比较 肥料土类的互作显著，说明各处理组合的效应不是各单因素效应的简单相加，而是肥类效应随土类而不同（或反之）；所以宜进一步比较各处理组合的平均数。在此用新复极差测验法，求得（g）由v=18时查SSR值表得k=2、3、12时的SSR值，并算得各LSR值列于表6-28。表7-28 7-26资料各处理组合平均数的LSR值k23456789SSR0.052.973.123.213.273.323

43、.353.373.39SSR0.014.074.274.384.464.534.594.644.69LSR0.051.651.731.781.811.841.861.871.88LSR0.012.252.372.432.472.512.542.572.59将表7-26的各个值按式计算各处理组合的平均数，列表7-29进行比较。表7-29 表7-26资料各处理组合平均数比较（SSR法）处理组合平均产量差异显著性=0.05=0.01A3B120.9aAA3B218.3 b BA3B317.2 b BA1B313.7 c CA2B213.7 c CA2B313.5 c CA2B113.4 c CA1B212.9 c CA1B112.8 c C由表7-29可见，A3B1处理组合的产量极显著地高于其他处理组合；其次为A3B2和A3B3，它们之间并无显著差异