复合材料力学25章

1、第二章单向层合板的正轴刚度本章的一些讲法与讲义次序不同，请同学们注意，另外一些在材料力已阐明的概念，如应力、应变等在这里不再强调，希望大家能自学与复习。21正交各向异性材料的特点各向同性材料各向异性材料我们这里所指的各向异性材料的特点仅仅是指在不同方向上材料的力学性质不同（机械性能）。正交各向异性材料正交各向异性材料是一种特殊的各向异性材料。其特点为:这类材料有三个互相垂直的弹性对称面（与弹性对称面对称的点性质相同），在平行方向上的弹性质（力学特性）均相同。如多层单向板，当不考虑纤维与基体性质的不均匀性，粘结层又很薄可以忽略，即把它写作“连续匀质”材料看，则三个弹性对称面分别为：与单层平行的面

2、及与它垂直的纵向、横向的两个切面。板上任何两点，在平行方向上的力学性质是一样的。把这三个弹性平面相交的三个轴称为弹性主轴，也称为正轴。下图是一种典型的正交个向异性材料，当厚度很小时可处理为正交个向异性板。用宏观力学处理连续纤维增强复合材料层压板结构时，总是把单向层板作为基本单元来分析层合板。增强纤维排列方向一致所粘合的薄层称单向（单层）板（层），有时把很多单层粘合在一起，各层的纤维排列方向均一致，也称单向板。正轴的弹性常数正交各向异性弹性体，1、2、3轴为它的弹性主轴，则沿这三个轴共有9各独立弹性常数。剪切模量；G、G、G121323123泊松系数。vvv213132v表示在1方向拉伸时在2方

3、向产生的收缩效应系数；21同样，v表示在2方向拉伸时在1方产生的收缩效应系数。vv2112这点与各向同性材料不同。并有关系式vv1213vvvv21=1231=13 HYPERLINK l bookmark66EEEE1213v是不独立的系数。23vv32=23EE2312顺便指出,有的文献定义v为1方向拉伸时在2方向的收缩系数。12对正交个向异性薄板，在力学分析中可作为平面应力问题处理，此时不考虑板厚方向的弹性效应。如果设3方向为板厚方向，则上述弹性常数G、G、v、v在13233132方程（-8关系）中不出现，因此，对这类问题独立的弹性常数只有4个：E、E、12v、G2112及关系式：vv2

4、1=12EE12对单向单层板，纤维方向与垂直纤维方向为弹性主轴，分别称为纵轴（L）和横轴（T）,这时正轴弹性常数也可表示为:E、E、G、v及LTLTTLvTLiT22单层板面内弹性常数的确定方法：有两种方法来确定单层板的四个正（主）轴弹性常数。1、用细观力学中的计算公式；2、由单向板试验确定；从宏观力学研究的角度，都采用第二种方法来确定。正轴拉（压）试验：纵向单轴试验：P载荷值；A板横截面面积。1LP方向上的测量标距；AL在P作用下L段的变形量;l垂直P方向上的测量标距，A在P作用下横向变形量。,P，i1A8AL8Al81L82l贝UE=巳，1818v22181说明：由拉伸或压缩载荷可得到E和

5、E值，对碳/环氧材料，E和E差1t1c1t1c别不大，有时不加区别；v基本相等，在应用中不必考虑其不21同；通过试验还可以得到：tu1拉伸强度；cu压缩强度；拉伸极限应变；压缩极限应变。这些数据是强度计算、结构设计的主要参数。由于单层板太薄，难于进行试验，常把若干单层粘合成单向多层板（如16层）进行试验，测出的数据作为单层板的数据。横向单轴试验2FKL2L,l1lCE222v1122同样可得到：C加、Cc、加、c22223.面内剪切试验测出板的剪应变及剪应力T。1212则GT121212应力与应变的正负号规定1.应力：拉为正，压为负。剪应力:截面外法线与坐标轴正向一致时，剪应力方向与另一坐标轴

6、方向一致时剪应力为正，反之为负。两条同时满足或同时都不满足为正，一个满足另一个不满足为负。或着说两个坐标轴正方向的夹角（直角）变小为正，变大为负。正轴拉伸时的应力应变关系正轴拉伸时的应力应变关系上图所示的各应力均为正值。2、应变：应力的正负号与应变的正负号是一致的，这样保证了计算中弹性常数为正值（泊松比除外）符合常规物理意义。应变位移关系应变位移关系式只表示“几何关系”，所以，对各向异性材料表达式或各向同性材料，在小变形假设条件下略去二次以上的项，只保留线性项，有：u,=-xzv,=-yyuv=+-xyyxUz方向位移，Vy方向位移过程不再详述，见弹性力学。23正轴应力应变关系正轴拉伸和偏轴拉

7、伸单向板条在单轴拉伸时，若载荷方向与其中一个弹性主轴一致称为正轴拉伸，不一致时为偏轴拉伸。正轴压缩、面内剪切也一样。可推广到正交个向异性薄板。22不同载荷作用下应力（应变）可迭加，这样：222212,121、当单独作用时1在2方向应变为2、当单独作用时：2Y12811E1v8V8(1)212211E11Y0128(2)22EE228”SS01111218=S0V221222“00S1266122-15)v8(2)=v8(2)=121122=0123、当只有剪应力作用时：12=GLT由迭加原理得：那么，当各个应力分量同时作用时v8=8(1)+8(2)=112111EE212v8=8(1)+8(2

8、)221222EE121=1212G12如果令S1S=1S111E22E66G1221=QQ0221222T1200Q66Y122-19)所以，Q与S矩阵互为逆阵。ijij通过对S矩阵求逆得：ijQ二mE111QmE222Q6666G、12QvEQmvEQQ12121212121221丿式中m(1vv1221)1，Q=Qtijji即正轴柔量矩阵和正轴模量矩阵都是对称阵。式（2-15）、（2-19）表示了单向板的正轴应力应变关系，是以后要常用的。两种特殊的单向层板1、正方对称铺层的单向板以纤维布为增强材料，经、纬线在径向和纬向都相同的经纬交织布铺设的单向层合板。见书P9图1-1（b）这时：E1=

9、E2于是S=S，QV1=Q22（2-30）1211221122材料的弹性常数又减少了一个，只有三个。2、准各向同性的单向板如三股纱彼此相隔600编织的纤维布+树脂做成的单层板（严格讲，它不能说是单向板）。这种板除了满足（2-30）式关系外，还有：Q(Q-Q)/2661112,S2(S-S)661112(2-31)GE/2(1v)其中GG，vvv弹性常数又减少一个，只有两个独立的。121221例题(P23)：(要注意单位一致性)A、根据基常数E、E、v、G计算S；122121ijB、根据应力a和S计算8；iijiC、做应变图。”8Sa+Sa1111122，8Sa+Sa2211222YSt1266

10、12PN/m2MP106P=106N/m2=N/mm2GP109Paaaaa习题p262、42-4工程弹性常数的限制条件、各向同性材料n1泊松比范围为卩2、正交各向异性材料以a为例，当材料承受单向拉应力a时，应变能密度为:111Sa22iiiWS，11同得:S,S226611得：Q11,Q22,Q66另外：W=-&aQ822112111由：QmE得：（1，vv）0代入1112112vv-2112EE12得：EEv22或v2112E21E12利用上述正交各向异性材料工程常数的限制条件，校核实验数据，证明它们在数学弹性模型范围内是否在物理上相容，否则可怀疑模型、实验数据。第三章应力转换和应变转换一

11、般情况下，作用于单层板的应力并不与纤维平行或垂直，单层板变形后的线应变也不沿纤维方向，必须进行应力和应变的转换。应力转换按力的平衡关系进行，应变转换按几何关系进行。对于复合材料，这种转换用的很多，也显得非常重要，大家要好好掌握这方面的知识和结论。3-1转换的术语两坐标夹角正负的规定坐标系x1oy1逆时针转向坐标系x2oy2时，转换角为正，反之为负。实际应用中多数都是从偏轴向正轴转换，因此，规定从偏轴到正轴反时针转向的角为正。当为负值时，只要把代入表达式运算即可。3-2应力转换当单向板受偏轴拉伸时，主轴方向的应力可以由单元体斜截面的平衡条件导出。a)cr6eb)为了推导简单起见，取单位厚度，即h

12、1则工X0c，d，1+T，d，1ccos，d，1+tdsin，1=0 xxxyy1s12ss把dxdscos，dydssin代入得c，dscos+t，ds，sin一ccosds+tds，sin二0 xxy112丫肖去ds得:c，cos+t，sin一ccos+t，sin=0 xxy112同理y=0得:如果我们令：Qsin,icos-Qsin,icos0yxymcos112nsin则有：mQn112nQ,mi112=mQ,nxxy=nQ,miyxy解出Q12：12Qm2Q1x-mnQ+mnQ+(m2-n2)1y+n2Q+2mniyxyxyQn2q+m2q-2mn2xyxymn(Q-Q)+(m2-n

13、2)112yxxy写成矩阵形式Q“m2n22mnQ1xn2m2-2mn2y-mnmnm2-n212xy3-15)说明：式（3-15）表示了从偏轴应力转到主轴应力的表达式。但是，这一关系式是普遍适用的，等式左端是新轴应力，右端是旧轴应力从旧轴到新轴时，角反时针旋转代入正值，顺时针旋转代入负值。为什么要进行应力转换，因为，强度准则是用主轴应力表示的在偏轴情况下，不同方向有不同的强度值。厂、m2n2-2mnx1=n2m22mny2Tmn-mnm2-n2T1xy丿123-3应变转换应变量和位移量一样，是一个几何量，两个不同的坐标系之间的应变转换是一种几何关系转换，与材料的力学性质无关。由讲义中图3-3

14、）的几何投影关系不难求出。所以，我们只给出结果“m2n2mn“1x二n2m2-mn“2y-2mn2mnm2-n212xy(3-28)在（3-15）和（3-28）式中，转换系数矩阵元素都是m、n的幕函数，所以称为幂函数形式的转换公式。若已知正轴应变，需要求解偏轴应变，公式为“m2n2-mn“x1二n2m2mn“y22mn-2mnm2-n2xy12第四章单向层合板的偏轴刚度通常单层板或由单层板组成的层合板的普遍受载情况是外载荷与主轴方向不一致，即所谓的偏轴受载情况。于是就有所谓的偏轴应力、偏轴应变。本章目的是要推出偏轴应力与偏轴应变之间的关系，实际上就是其系数矩阵即偏轴刚度（模量）和偏轴柔度（柔量

15、）的转换。4-1偏轴模量偏轴用力应变关系推导步骤如图所示偏轴应变正轴应变正轴应力偏轴应力1、由T，应变正转换:x1m2+n2+mn,1xyxyn2+m2一mn,2xyxyxy,()2mn+(m2一n2),12yx2、由正轴c-关系式(2-19)得；cQ+QTOC o 1-5 h z1111122cQ+Q2211222Q,1266123、用应力负转换(即把0代入3-15式)得:Qm2Q+n2Q一2mnx1212Qn2Q+m2Q2mny1212m2n2mnn2m2mnm2n2mn(c-c)+(m2一n2”xy1212把前两组式子代入第三组，以c为例:cm2(Q+Q)+n2(Q+Q)2mnQ,x11

16、11222112226612(m2Q+n2Q)(m2+n2+mn,)1112xyxy+(m2Q+n2Q)(n2+m2一mn,)1222xyxy一2mnQ)-2mn+(m2一n2),4Q+2m2n2Q+n4Q+4m2n2Q”11122266x66yxxy+m2n2Q+(m4+n4)Q+m2n2Q一4m2n2Q11122266y66xy则上+m3nQ+mn3Q一m3nQ一mn3Q一2mn(m2一n2)Q11121222如果把上式中、和,的系数分别令为Q、Q及Qxyxy111216式变成：,Q+Qx11x12y同理可得：,yQ21x+Q22yQ+Qxy61x62y+Q16xy+QY(4-9)26xy

17、+Q66xyQQ1x111216x,QQy212226yQQQYxy616266xy这就是偏轴的应力一应变关系式，式中Q(ij1,2,6)称为偏轴ij模量或偏轴刚度。模量转换式由上面,的具体表达式可以得知:xQm4Q+n4Q+2m2n2Q+4m2n2Q1111221266Qm2n2(Q+Q)+(m4+n2)Q一4m2n2Q1211221266Qm3nQ+mn3Q+(mn3一m3n)Q+2(mn3一m3n)Q1611221266同样，由，的具体表达式可得出：y2112Qn4Q+m4Q+2m2n2Q+4m2n2Q2211221266Qmn3Q一m3nQ+(m3n一mn3)Q+(m3n一mn3)Q2

18、611221266由的具体表达式可得：QQQQxy61166226Qm2n2Q一m2n2Q一2m2n2Q+(m2一n2)Q6611221266可按P36页(4-10)式写成矩阵形式QKm，n)ij614-10)64ij41上式中mCOS。,nsin00仍为x轴与1轴间的夹角，反时针为正。倍角函数形式的模量转换根据三角函数理论有（m4COS40可化成倍角函数表示的形式）,即m4COs4+4cos20+cos404-11)同理，m3nmn3m2n2n4均可化为cos20、cos40、sin20、sin40表示的形式见书（4-11）式，将这些倍角函数代入（4-10）式化简可把Qij用倍角三角函数来表

19、示，其矩阵形式为：”Ucos20cos40Q111Ucos20cos401Q221UO一cos40Q124UO一cos40U=n2m2-2mnV丿“mnmnm2-nV即：1xyx”SS0111121V=SS0V221222“00S-12662xyx122xym2n22mnn2m2-2mn-mnmnm2-n2：Km,n)1x12y1212xy其推导过程与模量推导完全一样，也有幂函数关系式(4-25)和倍角函数关系(4-26),只是柔量的uU与SS的关系式中某些系数151与模量相对应的式子不同，同学们要注意。同样有关系式：U二2(U-U)514U二U5516664-3偏轴工程弹性常数偏轴工程弹性常

20、数1、定义：材料在偏轴向单轴受力时（拉、压或剪）的刚度特性。2、特点：A、是偏轴角的函数B、与偏轴柔量有直接关系如果把“SSx1112“SSy2122SSxy6162,丰0、,=0代入xyxy“二S11,由于x11xS一,16xS26yS66xy即有：111S22VyzS21S11VyzS12S22Gxy661666在,作用下，不但产生“、“，还会产生和，称为耦合。TOC o 1-5 h zXxyxyC、存在拉剪（剪拉）耦合系数一一这是各向异性材料所特有的，也是正交各向异性薄板（单向单层板）偏轴拉（压、剪）时特有的。定义：拉剪耦合系数：(x)S=61xy,x“(x)Sx11S62S22(x)=

21、xy-xy,y“(x)yXY.yS1622剪拉耦合系数：“(xy)(x)x,xy(xy)xySSny,xy2666在n下标中，后面表示受载方向（面）前面的表示变形方向（变形面），如n表示在x方向受单向载荷时，xy面上的剪切变形系数。XY.x同样有剪拉、拉剪耦合系数满足：nnxy,yy,xyEGyxy4-54)nnxy,xx,xyEGTOC o 1-5 h zxxy偏轴工程弹性常数之间的某些关系:如果令：ESyx斗a22ESxyY11ne7sxyxb66ngsxyxy11nesxyyc66ngsy,xyxy22例：已知x方向模量与剪切模量的比值即刚度比，可求解耦合系数的比值，进而确定,。系数a、

22、b、c反映了在一定的偏轴角,时的刚度比，都是偏轴角,的函数，我们可以通过选取不同的,角以获得不同的刚度比。所以，以后研究不仅要单独研究E或E，还要研究它们的比值,xy就可知总体受力与变形情况。偏轴工程弹性常数与正轴工程弹性常数的关系1、演算过程1666正轴模量偏轴模量正输工程常数互逆变换正轴柔量偏轴柔量偏轴工程常数2、转换公式16661666112V1C0S4+（一2i）sin2cos2+sin4EGEEii2i2P4748（4-55）式耦合系数对sin是奇函数关系，角正负号影响其值的正负。要注意。3、弹性常数极值的求法：因为偏轴工程常数是的函数，在某一确定角时取极值，按条件有：dEx=0，解

23、，这对优化设计是有用的。d注意：单向层合板的材料性能极值并不一定发生在材料主轴方向上，对具体情况作具体分析。有时E均大于E、E，有时E均小于E、xLTxLE。T例1求图示碳/环氧单向复合材料板在二40MP作用下的应变xa值、波松系数Vyx及耦合系数。材料基本常数见P25页yxxy,x表2-2。解;=，30o由表4-2及式（4-26）得：S=U+Ucos2+Ucos40=69.5651.551+7.81，1=47.69(TP)-11112322aS=S=UUcos49=10.977.81，1=14.88(TP)-12112432a3二58.17(TP)-12a3S二Usin26+2Usin46=

24、51.55+27.81，16232=Sc=47.69x10-1240 x106=1907x10-6=1907x11x=Sc=14.88x10-12x40 x106=595x10-6=595y21xy=Sc=58.17x10-12x40 x106=2327x10-6=2327阴xy16xSV=21=0.312yxS11耳=S61=1.231XY.xS11变形示意图见上。从这一例题可知，我们要善于利用讲义中所给的各种公式和已知数据，尽量简化计算过程，不必重复书中的推导过程。例2P53页166616664、偏轴柔量与偏轴模量之间的演算;我们知道：QLsLijij它们之间的演算就是矩阵的求递运算，为了

25、使大家计算方便对这样的33阶对称矩阵，我们给出了其递阵元素的求解公式，以后使用时可直接代公式，见书中P53页（4-63）式。已知Q求S注意QIijij(/I表示是Q的行列式，不是绝对值。同样,ij当已知S求Q时，只要把等式左边换成Q，右边换为S即可。ijijijijuu1666第五章单向层板的强度5-1单向层合板的基本强度复合材料单向层板的强度与金属材料不同，主要是复合材料的强度也是各向异性的，因此，必须用多强度指标和失效判据来估算板的强度，比金属材料复杂的多。金属材料的强度指标只有一个：（或）塑性材料s0.2t，（0.50.6），不是独立的强度指标ss脆性材料b金属材料必须使用主应力，复合材

26、料主应力概念不再适用，必须使用正轴应力或主轴应力。复合材料的强度指标复合材料的强度问题主要涉及：强度指标失效判据基本强度指标共五个X纵拉伸强度tY横拉伸强度tS面内剪切强度拉压相同时为三个。分别为：X纵压缩强度cY横压缩强度c这些参数一般由典型的正轴单轴加载试验所确定。例如：通过单向层合板纵向拉伸试验得到破坏时的P1666则;XQtuPuA偏轴剪应力方向偏轴剪应力方向的正负对单层板的强度有很大影响：166616665-2失效判据对于各向同性材料，材料力学用“强度理论”来描述破坏条件，例如最大拉应力理论认为：当结构在复杂应力状态时的最大拉应力达到了同样材料在单向拉伸时的极限应力，就认为结构破坏。

27、在各向异性材料中，用失效判据来代替强度理论，它与强度理论一样是一种假设。失效判据最大应力失效判据定义：不论什么应力状态，只要单向层合板正轴方向的任何一个应力分量达到极限应力时，材料就失效。失效表达式5-1)QX或IQlX1t1c，QY或IQIY2t2cs12只要单层板内任一个正轴应力（主向应力）满足上述等式（或左端项大于右端项）就认为材料失效。说明：A.失效判据习惯上不写“”，但应注意“”肯定是失效；式（5-1）中表示了五个公式，是互相独立，求解时先把偏轴应力转换成正轴（主向）应力，再代入判据。1666最大应变失效判据定义：不论什么应力状态，当单向层合板正轴向的任何一个应变分量达到极限应变时，

28、材料就失效。表达式为：耳=xt=yt,=,12(或=2)xc=yt(5-2)根据线弹性假设：xt=Xt=YyttE1E2=Xxcc=YyccE1E2,=SGs125-3)16661666利用正轴应力应变式：=Sc+Sc1111122cV=_L-2LCEE211XcV于是(5-2)式可写成：1=xt=E=E-Ec2111则应变失效判据可写成用应力和基本强度表达的形式，所以有：C-Vc=X1212tC-Vc=Y2121t|T=S1I12cVc1212cVcl2121=Xc=Yc166616663.蔡一希尔(Tsai-Hill)失效判据由各向同性材料的形状改变必能理论推广而来。表达式c1X丿cc12

29、+5-10)定义：当单向层合板的面内正轴应力（主向应力）满足上述判据式时，层板就失效。说明：A、是从各向同性材料中的“形状改变必能”强度理论引申得来,本身无明确的物理意义。B、当Q0，X为X,0，X为X；同样当c0，Y为Y；,0，1t1c2t2Y为Y。c用一个式子不能计算拉、压不同的材料,显然,当拉、压相同时可以。C、考虑了各应力（各单轴强度）之间的相互影响，对前一个判据有所改进。D、某些方面考虑不够（如何更全面考虑“耦合”效应，如何用一5-3蔡-胡（Tsac-Wu）失效判据判据式fG.）=F.+Fi,1（i,j，1,2,6）（5-11）iijijii这是用指标表示法的简洁形式，把它展开后即为

30、：F2+2F+F2+F2+2F+2F+F+F+F，1111121222266616162626112266（5-12）其中：F，FF，F16612662式中，,F（F）是系数，由单轴试验或简单的双轴试验确定。612iji系数F、F的确定iji1.正轴剪切应力的正负对板强度无影响6即当为负时，（5-12）式为：6F2+2F+F2+F2一2F一2F+F+FF，1111121222266616162626112266（5-13）两式相减得：4F+4F+2F，01616262666由于、有任意多种组合，要满足上式，只有：126FFF016266于是（5-12）式变为：F,2+2F,+F,2+F,2+F

31、,+F,=1（5-14）111121222266611222.纵向拉伸和压缩试验：由于(5-14)式适合任何应力状态，故也适应单向应力状态，在拉伸载荷下，-X，1t,0则（5-14）式变成:26FX2+FX11t1t1在压缩载荷下，,X0。则:1FX2FX111c1c联立求解上二式得:F111XXtc11F1XXtc16661666横向拉伸和压缩试验。分别取,-Y和,-Y2t2c,0616661666则得：F_11F2YYtcF22YYtc面内剪切试验。由于材料主向的剪切强度与剪应力正负号无关，因此，在上面已得出了,的奇函数项系数为0,在(5-14)中只有一项，把,s代66入得：F-丄66s2

32、F的确定:12在(5-14)式中共有六个基本强度系数，五个可由基本强度破坏试验确定，交叉项系数F与两个应力，、，有关，不能由材料的任121222何单向实验来确定，必须采用双轴向加载试验，可取=，120二06而是=，二0条件下达到破坏时的极限应力。代入（5-14）0126式，并考虑到以求得的系数得：F1211110=00可能表示三种曲线之一，即：椭圆（有两个不相等的根）平行线（有两个相等的根）擬物线.（尢根）由F，的取值所决定。12从强度角度来说，这个曲线方程只能表示椭圆，也就是说，我们1212223.F近似值;12上面给出了取值范围，实际取多大值有待进一步研究。在缺少可靠的双轴向试验数据时，T

33、sai建议取:F12F=F*FF121211222222这是与各向同性材料中来赛斯（Mises）判据对照得来的。当t，0时，Mises准则可化为:xy221+21212,iisss1F对各向同性材料，代入上式并注意到11，F，1111sF，222s则有:5-18)，12*2+*2*2F2mn-2mnF6一一25-49)说明：a.形式与正轴情况一样，只是F0、F0、F0。16266b.fF之间的系数矩阵同柔量转换矩阵（4-25）完全一样ijij所以这一转换相当于柔量转换。c.增加了矩阵形式（5-49）倍角函数转换：在柔量转换中有两种形式，除幂函数形式外，还有倍角函数形式，那么（5-48）式也同样

34、可用倍角函数来表示。cos2“-cos2“00sin2“sin2“cos4“cos4“cos4“4cos4“2sin4“2sin4“IU(F)25-50)_F1cos29P(F)112F2F61-2cos29,02sin29q(f)125-51)说明：式(5-50)中的u(f)(i=1,2,3,4,5)表达式与柔量转换时用的Uii相同，只是要求把P(4-27)中的s换成F。TOC o 1-5 h zijij应变空间表达式同样，可使用偏轴应变代入应变空间失效判据，这时GG的转ijij换同模量QQ转换。ijijG一m2n2fG111Gn2m22Gmn-mnG6-一25-53)Gm4n42m2n24

35、m2n2一G一1111Gn4m42m2n24m2n2G2222G12G66Gm2n2m2n2m4+n4-4m2n2m2n2m2n2-2m2n2(m2-n2)2m3n-mn3mn3-m3n2(mn3-m3n)G1612G26mn3-m3nm3n-mn32(m3n-mn3)G665-52)2222同样，也有倍角转换形式：G11G22G12G66G16G26U(G)1U(G)1U(G)4U(G)500cos20-cos2000sin292sin292cos49cos49-cos49-4cos49sin49-sin49IU(G)2U(G)35-54)2222当然，U(G)与模量式转换中的U表达式相同，

36、只是把Q换成G即可。iiijijiaaiaa解;111xx例题1：试用Tsai-Wu判据求解碳/环氧单层板材料在0=45o偏轴下的拉、压强度。m=cos45o=22n=sin450=F=m4F+n4F+2m2n2F+m2n2F1111221266=1(1.129+370.7-2x10.23+500.5)=217.97(GP)-24a-1F=m2F+n2F=-(-0.387+26.17)=12.89(GP)-11122a代入判据式：212.97b2+12.89b-1=011代入b解得：1-12.8912.892+4x212.972x212.97(GP)=j0.04465gpaI-0.105a44

37、.65MP-105.2a即材料在e=450偏轴下受载时:拉伸强度为44.65MP，压缩强度为105.2MPaa例题2试求由Tsai-Wu判据求出碳/环氧材料在0=45偏轴下的剪切强度。解：b=b=0b,0126判据为：Fb2+戸b2=166666由表5-3得:F=4m2n2F+=392.3(GP)-26611aF=-26.56(GP)-16a.392.3b2-26.56b-1=066解得：b60.09464Gp=94.64Gp-0.02693a126.93a即正剪切时强度为94.64MP，负剪切时强度为-26.93MPb,0,b=c=0Fb+Fb=1126注：如何依据纤维方向，画受力后单层板的变形图？5-4强度比失效判据能方便地进行强度核算，代入即可，但在确定单向板的极限应力时就存在一定的困难，这是因为在一般情况下，单向板上有三个应力(QQ,)同时作用，要通过一个判据来解出这三个应力极1212限值不可能(Tsai-Hill,Tsai-Wu)为解决这个问题，引入“强度比”概念，在一定假设条件下，利用这一参数就可解决极限应力问题。强度比强度比定义：在所作用的应力下，极限应力的某一分量与其对应的作用应力分量的比值。用R表示，则有；R，i(a)(i=l、2、6)(5-56)i式中：Q作用的应力分量，Q(a)