知识讲解_奇偶性_基础

1、函数的奇偶性【学习目标】.理解函数的奇偶性定义；.会利用图象和定义判断函数的奇偶性；.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用【要点梳理】要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤.函数奇偶性的概念偶函数：若对于定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)称为偶函数.奇函数：若对于定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么f(x)称为奇函数.要点诠释：(1)奇偶性是整体性质；(2)x在定义域中，那么-x在定义域中吗？-具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的;f(-x)=f(x)的等价形式为：f(x)f (x) =0,) =1(f (x) #0),f(x)f(-x

2、)=-f(x) 的等价形式为：f (x) + f(x) =0, f ( x) =1(f (x) #0)； f(x)(4)由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有 f(0)=0 ;(5)若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有 f(x)=0.奇偶函数的图象与性质(1)如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数(2)如果一个函数为偶函数，则它的图象关于 y轴对称；反之，如果一个函数的图像关于y轴对称,则这个函数是偶函数.用定义判断函数奇偶性的步骤(1)求函数f(x)的定义域

3、，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；(2)结合函数f(x)的定义域，化简函数f(x)的解析式；(3)求f(-x),可根据f(-x)与f(x)之间的关系，判断函数f(x)的奇偶性.若f (-x) =- f (x),则f (x)是奇函数；若f(-x) = f(x),则f(x)是偶函数;若f (-x)。士f(x),则f(x)既不是奇函数，也不是偶函数；若f (-x) =f(x)且f (-x) =- f(x),则f(x)既是奇函数,又是偶函数要点二、判断函数奇偶性的常用方法(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，

4、则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数;若函数的定义域是关于原点对称的，再判断f (-x)与土 f (x)之一是否相等(2)验证法：在判断f(-x)与f(x)的关系时，只需验证f(_x) 土 f (x)=0及1二x)=1是否成立即 f(x)可.(3)图象法：奇(偶)函数等价于它的图象关于原点( y轴)对称.(4)性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数(5)分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.在函数定义域内，对自变量 x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的

5、函数叫做分段函数.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断f (-x)与f (x)的关系.首先要特别注意x与-x的范围,然后将它代入相应段的函数表达式中，f(x)与f(-x)对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.要点三、关于函数奇偶性的常见结论奇函数在其对称区间a,b和卜b，-a上具有相同的单调性，即已知 f(x)是奇函数，它在区间a,b上是增函数(减函数)，则f(x)在区间-b，-a上也是增函数(减函数)；偶函数在其对称区间a,b和-b ,-a上具有相反的单调性，即已知f(x)是偶函数且在区间a,b上是增函数(减函数

6、)，则f (x)在区间-b ,-a上也是减函数(增函数).【典型例题】类型一、判断函数的奇偶性例1.判断下列函数的奇偶性：(1) f(x) =(x +1)J ；(2)f(x)=x2-4|x|+3;f(x)=|x+3Hx-3|;(4)f(x),1- x2|x 2|-212_-x x(x 一 0)f(x)2x x(x :二 0)(6),1f(x) = g(x)-g(x)(xw R).【思路点拨】利用函数奇偶性的定义进行判断【答案】(1)非奇非偶函数；(2)偶函数；(3)奇函数；(4)奇函数；(5)奇函数；(6)奇函数.【解析】(1) .f(x)的定义域为(-1,1，不关于原点对称，因此 f(x)为

7、非奇非偶函数；(2)对任意x CR,都有-x CR,且 f(-x)=x2-4|x|+3=f(x),则 f(x)=x2-4|x|+3为偶函数.xCR, f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x), z. f(x)为奇函数；x 1-1,00,11京 -0 x+2 二 _2f(xJ1- x2f (-x)=1- (-x)2. 1-x2x=-f(x),，f(x)为奇函数;(5) x C R, f(x)=-x|x|+xf(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x),.f(x)为奇函数;1 -1(6) . f(-x)=2g(-x)-g-(-x) =3g(-

8、x)-g(x)=-f(x) , f(x)为奇函数.函数的定义域关于原点对称是【总结升华】判定函数奇偶性容易失误是由于没有考虑到函数的定义域在去掉| x + 2 |的绝对值符号时就十分麻烦函数具有奇偶性的前提条件，因此研究函数的奇偶性必须“坚持定义域优先”的原则，即优先研究函数的 定义域，否则就会做无用功.如在本例(4)中若不研究定义域,举一反三：【变式1】判断下列函数的奇偶性: f(x)=; x2 3(2) f (x) =|x+1| 十|x1| ；一、 2x2 2x f(x)=T；(4) f (x)x2 2x -1二0-x2 2x1(x :二 0)(x = 0).(x 0)(1)奇函数；(2)

9、偶函数；(3)非奇非偶函数;(4)奇函数.f(x)的定义域是R,又 f (-x)=3( -x)3x22(-x)2 3 x2 3=f (x) ,，f (x)是奇函数. 任取x=0 时，f(0)=-f(0) .xCR时，f(-x)=-f(x)f(x)为奇函数.(2) f(x)的定义域是R,又 f (x)斗-x +1| +| x1|=|x1| +|x+1|= f (x),二 f (x)是偶函数.函数定义域为 x#-1 ,定义域不关于原点对称，f(x)为非奇非偶函数.任取 x0 贝U-x0 , 1. f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x 2-2x-1=-(-x 2+2x+1)=-f(x)x0 f

10、(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x 2-2x+1=-(x 2+2x-1)=-f(x)【高清课堂：函数的奇偶性356732例2 (1)】【变式2】已知f(x) , g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证： f(x)+g(x)为奇函数，f(x) - g(x)为偶 函数.证明：设 F(x)=f(x)+g(x), G(x)=f(x)- g(x)则F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-f(x)+g(x)=-F(x)G(-x)=f(-x) g(-x)=-f(x)- -g(x)=f(x) g(x)=G(x)f(x)+g(x)为奇函数，f(x) - g(x)为偶函数.【高清课堂

11、：函数的奇偶性356732例2 (2)】【变式3】设函数f(x)和g(x )分另是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是().A. f (x) +|g(x)| 是偶函数B . f (x) -|g(x)|是奇函数C. | f (x) | +g(x)是偶函数 D . | f (x) |- g(x) 是奇函数【答案】A类型二、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)例 2.已知 f(x)=x 5+ax3-bx-8 ,且 f(-2)=10 ,求 f(2).【答案】-26【解析】法一：: f(-2)=(-2)5+(-2) 3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10

12、 8a-2b=-50.-.f(2)=2 5+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26法二：令g(x)=f(x)+8 易证g(x)为奇函数 g(-2)=-g(2). f(-2)+8=-f(2)-8.f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.【总结升华】本题要会对已知式进行变形，得出 f(x)+8= x 5+ax3-bx为奇函数，这是本题的关键之处,从而问题g(2)便能迎刃而解.举一反三：【变式1】已知f(x)为奇函数，g(x) = f (x)+9,g(2) =3,则f (2)为().【答案】6【解析】g(2) = f (-2) +9=3,则(2) = 6 ,又 f(x)

13、为奇函数，所以 f (2) =-f(-2)=6 .例3. (2016春 山东临沂期中)已知 f (x)的定义域为xC R| xw。,且f (x)是奇函数，当x0时2f (x) = x +bx+c,若 f (1) =f (3), f (2) =2.(1)求b, c的值；(2)求f (x)在x0时的表达式.【思路点拨】(1)根据f (1) =f (3)得函数图象关于直线 x=2对称，结合抛物线对称轴的公式列式得 到b的值，再由f (2) =2列式，解出c的值.(2)当x0时，一x是正数，代入题中正数范围内的表达式得到f (一x)的式子，再结合f (x)是奇函数，取相反数即可得到f (x)在x0 时

14、 f (x) = x +4x2 ,当 XV0 时，f(x) =(x)2 +4(x) 2 = x2 -4x-2,.f (x)是奇函数,当 xv 0 时，f (x) =f (x) = x2+4x +2 .【总结升华】本题给出二次函数的对应值，求函数表达式，并且在函数为奇函数的情况下求x0时，g(x)= x2+ 2x1,求g(x)的解析式.【答案】(1)x2f(x)=2x3x -1(x . 0)-3x -1(x 0)(2) g(x) =0( x = 0)2 一 x +2x + 1(x0)例4.设定义在-2 , 2上的偶函数f(x)在0, 2上是单调递增，当 f(a+1) f(a)时，求a的取值范围.

15、1【答案】-2 a ：-2【解析】f(a+1)f(a)f(|a+1|)f(|a|)而 |a+1| , |a| C 0 , 2|a 1| q a|2a 1 :二 0 TOC o 1-5 h z 一一一一 1，J-2Ea+1 芸 2 -3a 1,-2a-.I2-2 a 2-2 a 2【总结升华】若一个函数 f(x)是偶函数，则一定有 f (x) = f (| x |),这样就减少了讨论的麻烦.举一反三【变式1】定义在1 + a, 2上的偶函数f (x) =ax2+bx2在区间1, 2上是()A.增函数 B.减函数 C.先增后减函数D.先减后增函数【思路点拨】根据偶函数的性质先求出a, b,然后利用

16、二次函数的性质确定函数的单调性.【答案】B【解析】f (x)是定义在1 + a, 2上的偶函，数,，区间关于原点对称，即 1+a+2=0 ,解得a= - 3,且 f ( - x) =f (x),ax2 -bx -2 =ax2 +bx -2 ,即-bx= bx,解得 b=0,22 一f(x)=ax +bx2 = -3x -2 , .f (x)在区间1, 2上是减函数.故选：B.【总结升华】本题主要考查函数奇偶性的应用，利用函数奇偶性的定义和性质是解决本题的关键.类型三、函数奇偶性的综合问题例5.设a为实数，函数f(x)=x 2+|x-a|+1 , xCR,试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x)的最

17、小值.【思路点拨】对a进行讨论，把绝对值去掉，然后把 f(x)转化成二次函数求最值问题。【答案】当a=0时，函数为偶函数；当 aw0时，函数为非奇非偶函数.当 TOC o 1-5 h z 31_311-oaV-.时,f(x)扃=4-a;a A时，f (x)岛=7+a;当-万 a 时，f(x)|min = a +1.【解析】当a=0时，f(x)=x 2+|x|+1 ,此时函数为偶函数；当aw 0时，f(x)=x 2+|x-a|+1 ,为非奇非偶函数.一 .1.23(1)当 x 至a时，f(x)=(x+)十一-a241131aE-万时，函数f (x)在la,十g )上的取小值为f (-万)=%-a

18、,且f(-)Ef(a).1aA-万时，函数f (x)在la,也)上单倜递增，,f (x)在b,F 4的最小值为f(a)=a 2+1. TOC o 1-5 h z o3(2)当 x万时，f (x) |min = 4+a;1-c-2a、时，f (x) |min=a +1.举一反三：【变式1】(2016上海崇明模拟)已知函数f(x)=x |x-a |+b,xC R.当b=0时，判断f (x)的奇偶性，并说明理由.【答案】非奇非偶函数【解析】当b=0时，f (x) =x | x-a | ,当a=0时，f (x)为奇函数；当a wo时，f (x)为非奇非偶函数，理由：当 a=0 时，f (x) =x |

19、 x | ,f( x) = x | x | = x I x | = f (x),f (x)为奇函数；当 aw。时，f( x) = x | x a | = x | x+a | 若(x),且f (x) f (x),则f (x)为非奇非偶函数2例6.已知y = f (x)是偶函数，且在0, +8)上是减函数，求函数 f(1-x )的单调递增区间.【思路点拨】本题考查复合函数单调性的求法。复合函数的单调性由内层函数和外层函数的单调性共 同决定，即“同增异减”。【答案】0, 1和(8, 1【解析】f(X)是偶函数，且在0, +8)上是减函数，f (X)在(一8, 0上是增函数.设u=1X2,则函数f(1X2)是函数f(u)与函数u=1X2的复合函数.,当0WXW 1时，u是减函数，且u0,而u0时，f (u)是减函数，根据复合函数的性质，可得f(1 X2) 是增函数.当XW1时，u是增函数，且uW0,而uW0时，f(u)是增函数，根据复合函数的性质，可得f(1-X2)是增函数.2同理可得当一1*0或*1时，f(1X)是减函数.，所求的递增区间为0, 1和(一8, 1.【总结升华】(1)函数的奇偶性与单调性的综合问题主要有两类