控制基础理论第五章根轨迹法综述

1、控制基础理论第五章根轨迹法综述控制系统的根轨迹 控制系统的稳定性可由闭环极点唯一地确定，而控制系统的过渡过程的基本特性是由闭环极点和零点在s平面上的位置所共同决定的。因此，在分析研究控制系统的性能时，确定闭环系统极点、零点在s平面上的位置显得尤为重要。特别是在设计控制系统时，希望通过调节系统开环极点、零点，使闭环极点、零点处于s平面上的合理位置上。若想知道系统闭环极点、零点处于s平面上的位置，就要解闭环系统的特征方程，但当特征方程的阶次高时，求解是相当困难的。就是求出极点也只能反映系统的稳定性，而观察不到当系统参数变化时对闭环系统性能的影响。这对分析、设计控制系统极不方便。 W.R.伊凡思(E

2、vans)提出了一种求闭环系统特征根的简便的图解法，该方法得以在控制工程中广泛应用。这种工程方法称为根轨迹法，它是在已知控制系统开环传递函数极点、零点分布的基础上，研究某种参数的变化对控制系统闭环传递函数极点分布的影响的一种图解法。 根轨迹的基本概念 图单位负反馈控制系统方框图 (5.1)开环传递函数为: (5.2)式(5.2)中k=2K，此式便是根轨迹法所使用的传递函数形式 由式(5.2)解得两个开环极点为： ，并用表示画于图中。闭环传递函数为: 特征方程为 : (5.3) (5.4) 作当可变参数k从零变到无穷大时的根轨迹，首先用解析法求特征方程的根，其根为 (5.5) 由式(5.5)知，

3、当 时， 分别为0和-2，见图，此时的闭环极点就是开环极点。当 时， 均为负实数，在(-2,0)一段负实轴上。当 k =1时， ，两个负实数闭环极点重合在一起。当 时，两个闭环极点变为一对共轭复数极点 ，且 的实部不随k变化，这说明 两极点位于过 点且平行于虚轴的直线上。当 时，两极点 将趋于无限远。下面画闭环极点 如何随所有范围的k ( )值而变化的线段。 图控制系统所有k值范围的根轨迹图控制系统根轨迹的分析 以图单位负反馈随动控制系统为例，用根轨迹法分析开环放大系数K对系数性能的影响，并计算K=5时系统的动态指标。将式(5.1)化成闭环系统通式的形式为 (5.6)(5.7)由式(5.6)可

4、得系统的运动方程为 如果控制系统输出信号与输入信号之间的关系可用二阶微分方程来描述的系统，均称为二阶系统。二阶系统的闭环传递函数标准形式为 (5.8)式中： 无尼阻自振频率； 尼阻比； 时间常数。将式(5.6)化成随动系统闭环传递函数的标准形式(5.9)式中： ； 。由式(5.9)得二阶系统特征方程为(5.10) 由式(5.10) 得二阶系统两个根，即闭环极点为(5.11) 因根轨迹在s平面虚轴的左半面，所以该系统对所有K值都是稳定的。当0K0.5 (即0k1)时，系统具有两个相等的负实根，此时系统的动态响应是非振荡的。当0.5K (即1k6时系统将不稳定。另外，实轴上根轨迹的分支在 处与虚轴

5、相交，如图所示。图系统根轨迹与虚轴交点10.确定闭环极点与积 利用此方法可以在己知某些较简单系统的部分闭环极点的情况下，比较容易地确定其余闭环极点在s平面上的分布位置和大小以及k值。 若控制系统闭环特征方程为:或 根据代数方程与系数的关系，可写成(5.41) (5.42) 对于稳定的控制系统，(5.42)式可写成 (5.43)根据(5.41)式、 (5.42)式或 (5.43)式可以在某些较简单系统的部分闭环极点的情况下，比较容易地确定其余闭环极点在s平面上的分布位置和大小以及对应的参数k值。以图单位负反馈系统为例，其特征方程为(5.44)根据式(5.41)有 则 根据式(5.43)可求k的临

6、界值kc为 此结果与前面计算所得结果一致。11.放大系数的求取 按幅角条件绘出控制系统的根轨迹后，还需标出根轨迹上的点所对应的参数值，这时绘制根轨迹的全部工作才算结束。 求取根轨迹上的点所对应的参数值k，要用式(5.20)的幅值条件，则对应根轨迹上的 有(5.45) 根据参数k可进一步求取开环放大倍数，参数与开环放大倍数的关系分别为0型系统 (5.46) I型系统 (5.47) II型系统 (5.48) 12.求满足阻尼比 值的主导极点和动态性能指标满足阻尼比 值的主导极点的计算 当极点远离虚轴时，对应的瞬态分量衰减的快，其幅值也小，因此对瞬态响应影响也较小。在一般情况下，若某极点比其它极点距

7、虚轴的距离相差很大时(5倍以上)，那么距虚轴越近的一个极点，对瞬态响应起主导作用，那么该极点称为主导极点。确定一对共轭复数闭环主导极点，使得阻尼比 的一对闭环极点位于通过原点且与实轴夹角为 的直线上，由图的OA虚线可见，当 时，这一闭环极点为与这一对极点相对应的k值，可根据幅值条件求得为根据闭环极点的和与积(5.40)、(5.41)式，可以求得第三个极点为 。AA图系统根轨迹从图中可以看出，当 时，闭环主导极点位于虚轴上 处。在这个k值的条件下，系统呈现等幅振荡。当k6时，闭环主导极点位于右半s平面，因而导致系统不稳定。如果有必要可以利用幅值条件，将增益k标定到根轨迹上。这时只要在根轨迹上选择一点，并测量出三个复数量s、s+1和s+2的幅值大小，然后使这三个量相乘，它们的乘积就等于该点上的增益k值，