数字信号处理：第六章 IIR数字滤波器设计

1、第六章 IIR数字滤波器设计IIR Digital Filter Design第一节 数字滤波器的基本概念一、数字滤波器基本概念数字滤波器: 输入输出均为数字信号，经过一定运算 关系改变输入信号所含频率成分的相对 比例或者滤除某些频率成分的器件。优点： 精度高，稳定，体积小，重量轻，灵活，不 要求阻抗匹配，能实现模拟滤波器(AF)无法 实现的特殊滤波功能。1. 数字滤波器的分类（回忆）2.数字滤波器的技术要求3. 数字滤波器设计方法概述1、数字滤波器的分类 经典滤波器：即一般滤波器（输入信号中有用的频 率成分和希望滤除的频率成分各占有 不同的频带，通过以合适的选频滤波 器达到目的） 现代滤波器

2、：如维纳滤波器，卡尔曼滤波器，自适 应滤波器等最佳滤波器（按随机信号 内部的统计分布规律，从干扰中最佳 提取信号）经典滤波器的几种类型： 数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应分类，可以分成无限脉冲响应(IIR)滤波器和有限脉冲响应(FIR)滤波器。它们的系统函数分别为：IIR滤波器 FIR滤波器 用一个因果稳定的离散LSI系统的系统函数H(z)逼近此性能指标按设计任务，确定滤波器性能要求，制定技术指标利用有限精度算法实现此系统函数：如运算结构、字长的选择等实际技术实现：软件法、硬件法或DSP芯片法2、数字滤波器的设计过程3、数字滤波器的技术要求 我们通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器

3、。假设数字滤波器的传输函数H(e j)用下式表示：幅频特性|H(ej)|： 信号通过滤波器后的各频率成分衰减情况。相频特性()：各频率成分通过滤波器后在在相位上的变化情况（时间上的延时情况）。理想滤波器不可实现，只能以实际滤波器逼近通带： 阻带：过渡带：阻带截止频率：通带截止频率：通带容限：阻带容限 通带内和阻带内允许的衰减一般用dB数表示，通带内允许的最大衰减用p表示，阻带内允许的最小衰减用s表示， p和s分别定义为：上式中， 归一化为1。 H(z)H(z-1) 的极点既是共轭的，又是以单位圆成镜像对称的。H(z)的极点：单位圆内的极点4、表征滤波器频率响应的特征参量 幅度平方响应 相位响应

4、相位对角频率的导数的负值 群延迟响应若滤波器通带内 为常数， 则为线性相位滤波器。 用一因果稳定的离散LSI系统逼近给定的性能要求：s平面逼近：模拟滤波器的设计z平面逼近：数字滤波器的设计5、IIR数字滤波器的设计方法 先设计模拟滤波器，再转换为数字滤波器 即为求滤波器的各系数：第二节 模拟滤波器的设计 模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型的模拟滤波器供我们选择，如： 1) 巴特沃斯(Butterworth)滤波器 2) 切比雪夫(Chebyshev)滤波器 3) 椭圆(Ellipse)滤波器 4) 贝塞尔(Bessel)滤波器 这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图

5、表供设计人员使用。1、模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法模拟低通滤波器的设计指标有p, p, s和s。p和s分别称为通带截止频率和阻带截止频率， p是通带(0p)中的最大衰减系数 s是阻带s的最小衰减系数c称为3dB截止频率： 滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函数Ha(s)，希望其幅度平方函数满足给定的指标p和s，一般滤波器的单位冲激响应为实数，有：2、巴特沃斯低通滤波器的设计方法(1) 巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数|Ha(j)|2 用下式表示：N越大，越接近理想滤波器，N越大，滤波器的实现也越复杂。(2)幅度平方函数极点分布及Ha(s)的构成将幅度平方函数|Ha(j)|2写成s的

6、函数：上式表明，极点sk用下式表示： 为形成稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半平面的N个极点构成Ha(s)，而右半平面的N个极点构成Ha(-s)。Ha(s)的表示式为设N=3，极点有6个，它们分别为取s平面左半平面的极点s0,s1,s2组成Ha(s)：(3) 频率归一化 由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，将所有的频率归一化。这里采用对3dB截止频率c归一化，归一化后的Ha(s)表示为 式中，s/c=j/c。 令=/c，称为归一化频率；令 p = j= j/c ， p 称为归一化复变量，这样归一化巴特沃斯的传输函数为式中，pk为归一化极点，用下式表示：带入Ha(p)表达式，得到的H

7、a(p)的分母是p的N阶多项式，用下式表示：归一化的传输函数系数Ha (p) 的系数以及极点可以查表得到。表6.2.1 巴特沃斯归一化低通滤波器参数 (4)阶数N的确定 阶数N的大小主要影响幅度特性下降的速度，它应该由技术指标确定。将=p代入幅度平方函数中:将=s代入幅度平方函数中:用上式求出的N可能有小数部分，应取大于等于N的最小整数。 关于3dB截止频率c，如果技术指标中没有给出，可以按照下面两式求出： 通常是用一个算出c，然后用另一个(反过来)来检验。总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下： 根据技术指标p,p,s, s，求出滤波器的阶数N。(2) 求出归一化极点pk，得到归一化传输

8、函数Ha(p)。 (3) 将Ha(p)去归一化。将p=s/c代入Ha(p)，得到实际的滤波器 传输函数Ha(s)。例： 已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减p=2dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减s=30dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。解： (1) 确定阶数N：(2) 求极点：归一化传输函数为 上式分母可以展开成为五阶多项式，或者将共轭极点放在一起，形成因式分解形式。不如直接查表简单，由N=5，直接查表得到：极点：-0.3090j0.9511、-0.8090j0.5878、 -1.0000其中： b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b

9、3=5.2361,b4=3.2361(3) 为将Ha(p)去归一化，先求3dB截止频率c。将p=s/c代入Ha(p)中得到：检验： 可以看出，满足s=30dB 的真实fs在10.525kHz处，与12kHz比，还有富裕量。4、模拟滤波器的频率变换 模拟高通、带通、带阻滤波器的设计各类模拟滤波器的设计过程图 HPBPBS指标LP指标G(j)传输函数HHP(j)HBP(j)HBS(j)传输函数频率变换频率变换设计AF滤波器LP其他AF滤波器HP, BP, BS设：传输函数G(s)H(s)归一化截止频率归一化拉氏变量p=jq=j归一化传输函数G(p)H(q)(1) 低通到高通的频率变换 模拟高通滤波

10、器的设计步骤如下：A、确定高通滤波器指标：通带截止频率p， 阻带截止频率s，通带最大衰减p，阻带最小衰 减s。B、确定相应低通滤波器的设计指标，将高通滤波器 的边界频率转换成低通滤波器的边界频率，各项 设计指标为：低通滤波器通带截止频率p=1/p；低通滤波器阻带截止频率s=1/s；通带最大衰减仍为p，阻带最小衰减仍为s。C、设计归一化低通滤波器G(p)。D、求模拟高通的H(s)。将G(p) 先转换成归一化高通H(q)，再去归一化，得H(s)：回忆低通滤波器的去归一化：例： 设计高通滤波器，fp=200Hz、fs=100Hz，幅度特性单调下 降，fp处最大衰减为3dB，阻带最小衰减s=15dB。

11、解： 高通技术要求fp=200Hz p=3dBfs=100Hz, s=15dB归一化频率低通技术要求： 设计归一化低通G(p)。采用巴特沃斯滤波器，故 求模拟高通H(s)：(2) 低通到带通的频率变换低通与带通滤波器的幅度特性如图：由与的对应关系，得到：由上表知p对应u，代入上式中，有 上式称为低通到带通的频率变换公式。利用该式将带通的边界频率转换成低通的边界频率。下面推导由归一化低通到带通的转换公式：将q=j代入上式，得到：为去归一化，将q=s/B代入 ，得到： 模拟带通的设计步骤A、 确定模拟带通滤波器的技术指标，即：带通上限频率u，带通下限频率l下阻带截止频率s1 ,上阻带截止频率s2

12、通带中心频率02=lu，通带宽度B=u-l与以上边界频率对应的归一化边界频率如下：B、 确定归一化低通技术要求： s与-s的绝对值可能不相等，一般取绝对值小的s，这样保证在较大的s处更能满足要求。通带最大衰减仍为p，阻带最小衰减亦为s。C、设计归一化低通G(p)。D、 将G(p)转换成带通H(s)。例：设计模拟带通滤波器，通带带宽B=2200rad/s，中 心频率0=21000rad/s，通带内最大衰减p=3dB， 阻带s1=2830rad/s,s2=21200rad/s，阻带最 小衰减s=15dB。解 ：(1) 模拟带通的技术要求0=21000rad/s, p=3dBs1 =2830rad/

13、s,s2=21200rad/s, s=15dB B = 2200rad/s;0= 0 /B = 5,s1= s1 /B = 4.15, s2 = s2 /B = 6(2) 模拟归一化低通技术要求：取s=1.833, p=3dB, s=15dB。(3)设计模拟归一化低通滤波器G(p)：取N=3，查表得：(4) 求模拟带通H(s)：(3) 低通到带阻的频率变换低通与带阻滤波器的幅频特性如图 l和u分别是下通带截止频率和上通带截止频率， s1和s2分别为阻带的下限频率和上限频率， 0为阻带中心频率，02=ul， 阻带带宽B=u-l，B作为归一化参考频率。 相应的归一化边界频率为：u=u/B, l=l

14、/B,s1=s1/B, s2=s2/B;02=ul 根据与的对应关系，可得到： 且u -l=1，p=1，上式称为低通到带阻的频率变换公式。将上式代入p=j，并去归一化，可得：上式就是直接由归一化低通转换成带阻的频率变换公式。 设计带阻滤波器的步骤A、确定模拟带阻滤波器的技术要求：下通带截止频率l，上通带截止频率u阻带下限频率s1，阻带上限频率s2阻带中心频率02=ul，阻带宽度B=u-l它们相应的归一化边界频率为 l=l/B, u=u/B, s1=s1/B, s2=s2/B, 20=ul以及通带最大衰减p和阻带最小衰减s。B、 确定归一化模拟低通技术要求， 取s和-s的绝对值较小的s；通带最大

15、衰减为p，阻带最小衰减为s。C、设计归一化模拟低通G(p)D、将G(p)转换成带阻滤波器H(s)例：设计模拟带阻滤波器，其技术要求为： l=2905rad/s, s1=2980rad/s, s2= 21020rad/s, u=21105rad/s, p=3dB, s=25dB。试设计巴特沃斯带阻滤波器。解: (1) 模拟带阻滤波器的技术要求： l=2905,u=21105; s1=2980,s2=21020; 02=lu=421000025, B=u-l=2200;l=l/B=4.525, u=u/B=5.525;s1=s1/B=4.9, s2=5.1;20=lu=25(2) 归一化低通的技术

16、要求：(3)设计归一化低通滤波器G(p)：(4) 带阻滤波器的H(s)为：第三节 用脉冲响应不变法 设计IIR数字低通滤波器 利用模拟滤波器来设计数字滤波器，就是从已知的模拟滤波器传递函数Ha(s)设计数字滤波器的系统函数H(z)。 因此，它归根结底是一个由S平面映射到Z平面的变换，这个变换通常是复变函数的映射变换，为了保证转换后的H(z)稳定且满足技术要求，这个映射变换必须满足以下两条基本要求：(2)数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频 响，s平面的虚轴映射为z平面的单位圆，相应的频率之间成线性关系。 因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍 是因果稳定的。即 S平面的左半平面必须映射到Z

17、平面单位圆的内部。一、脉冲响应不变法的转换原理核心原理： 通过对连续函数ha(t)等间隔采样得到离散序列ha(nT)。令h(n)= ha(nT) ，T为采样间隔。它是一种时域上的转换方法。转换步骤：设模拟滤波器的传输函数为Ha(s),相应的单位冲激响应是ha(t) 设模拟滤波器Ha(s)只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，将Ha(s)用部分分式表示： 式中si为Ha(s)的单阶极点。将Ha(s)进行逆拉氏变换得到ha(t)： 式中u(t)是单位阶跃函数。对ha(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到：对上式进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数H(z)： 设ha(t)的采样信号

18、用 表示，二、存在的问题拉氏变换： 上式表示采样信号的拉氏变换与相应的序列的Z变换之间的映射关系可用下式表示：将s=j代入上式，得 我们知道模拟信号ha(t)的傅里叶变换Ha(j)和其采样信号 的傅里叶变换 之间的关系满足： j S平面Z平面RezjImz=0 (s平面虚轴) r=1 (z平面单位圆)0 (s左半平面) r0 (s右半平面) r1 (z平面单位圆外部) r与的关系 与的关系： = T =0 (s平面实轴) =0 (z平面正实轴) = 0 =0T (s平面平行于实轴的直线) (z平面始于原点，辐角为0T的辐射线) ：从 -/T /T ：从 - (s平面为2/T的一个水平带) (z

19、平面辐角转了一周，覆盖整个z平面) Z平面jImzRezj S平面-/T/T3/T-3/T多值映射 存在的问题：混叠失真数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓。 只有当模拟滤波器的频率响应是限带的，且带限于折叠频率以内时，才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重现模拟滤波器的频率响应，而不产生混叠失真。即：| 1、实际的模拟滤波器都不是严格限带的（非理想）， 变换后就会由于周期延拓，导致频谱交叠失真。这时数字滤波器的频响就不同于原模拟滤波器的频响，而是有一定的失真。2、当模拟滤波器的频率响应在折叠频率以上处衰减越大、越快时，变换后频率响应混叠失真就越小。这时，采用脉冲响应不变法设

20、计的数字滤波器才能得到良好的效果。脉冲响应不变法的频率混叠现象数字滤波器频率响应幅度还与采样间隔T成反比：| 如果采样频率很高，即T很小，数字滤波器可能具有太高的增益，这是不希望的。为了使数字滤波器增益不随采样频率而变化，可以作以下简单的修正，令：h(n)=Tha(nT) 则有: 很小的数在分子比在分母安全！例： 已知模拟滤波器的传输函数Ha(s)为：用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成数字滤波器的系统函数H(z)。解：首先将Ha(s)写成部分分式极点为：那么H(z)的极点为：设T=1s时用H1(z)表示，T=0.1s时用H2(z)表示，则转换时，也可以直接按照二阶节的公式来直接写。优点： 脉冲

21、响应不变法使得数字滤波器的单位脉冲响应完 全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，也就是时域逼 近良好。 模拟频率和数字频率之间呈线性关系=T。 因而，一个线性相位的模拟滤波器（例如贝塞尔滤 波器）通过脉冲响应不变法得到的仍然是一个线性 相位的数字滤波器。缺点： 有频率响应的混叠效应。 所以， 脉冲响应不变 法只适用于限带的模拟滤波器(例如，衰减特性 很好的低通或带通滤波器)，而且高频衰减越快 ，混叠效应越小。 对于高通和带阻滤波器，由于它们在高频部分 不衰减， 因此会产生混叠现象，不适合高通和带阻滤波器。第四节 用双线性变换法 设计IIR数字低通滤波器一、变换原理 如何解决上一节的频率混叠问题？方法

22、： 先采用线性压缩的方法，将模拟角频率压缩至折叠频率以内。即： 若： ： - 0 , 压缩后得到1 1：-/T 0 /T 非线性压缩SS1单值映射S1Z0/T-/T1找Z与S的关系：一般来说，为使AF与DF的某一频率有对应关系，可引入常数C： 变换常数C的选取： 常数C用来调节频率间的对应关系： 若希望AF与DF在低频处有较为确切的对应关系， 可以选择： 解释：在低频处有较为确切的对应关系，即要求低频处：当1较小时，处于低频处，此时有：而和1的对应公式为：二、优点、问题及其解决办法 一、优点：解决了混叠问题。 二、问题： 三、解决：通过频率预畸来解决。SZ指标转换预畸指标转换不预畸SZ产生畸变

23、不产生畸变四、双线性变换法的幅度失真和相位失真情况的刻度是均匀的，通过非线性正切关系，映射到z平面的刻度不均匀，随增加越来越密，即边界频率发生畸变。如果模拟滤波器具有片段常数特性，则转换到z平面仍具有片段常数特性。适于片段常系数滤波器的设计。幅度特性失真相位特性失真 利用模拟滤波器设计IIR数字低通滤波器的步骤。确定数字低通滤波器的技术指标：通带截止频率p、通 带衰减p、阻带截止频率s、阻带衰减s将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的 技术指标。1)如果采用脉冲响应不变法，边界频率的转换关系为2)如果采用双线性变换法，边界频率的转换关系为(3) 按照模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低

24、通滤波器。(4) 将模拟滤波器Ha(s)，从s平面转换到z平面，得到数字低通 滤波器系统函数H(z)。例：设计低通数字滤波器，要求在通带内频率低于0.2rad时， 容许幅度误差在1dB以内；在频率0.3到之间的阻带衰 减大于15dB。指定模拟滤波器采用巴特沃斯低通滤波器。 试分别用脉冲响应不变法和双线性变换法设计滤波器。解： (1) 用脉冲响应不变法设计数字低通滤波器。 数字低通的技术指标为 p=0.2rad, p=1dB; s=0.3rad, s=15dB 模拟低通的技术指标为 T=1s,p=0.2rad/s, p=1dB; s=0.3rad/s, s=15dB设计巴特沃斯低通滤波器。先计算

25、阶数N及3dB截止频率c。根据阶数N=6，查表得到归一化传输函数为：由式：得到：c=0.7032rad/s 最后，去归一化，将p=s/c代入Ha(p)中，得到实际的传输函数Ha(s)用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成H(z)。首先将Ha(s)进行部分 分式分解，然后再转换 z=esT。(2) 用双线性变换法设计数字低通滤波器。 数字低通技术指标仍为 p=0.2rad, p=1dB; s=0.3rad, s=15dB 模拟低通的技术指标为 设计巴特沃斯低通滤波器。阶数N计算如下： 取N=6。并求得：c=0.7662rad/s 根据N=6，查表6.2.1得到的归一化传输函数Ha(p)与脉冲响应不变

26、法得到的相同。为去归一化，将p=s/c代入Ha(p)，得实际的Ha(s) 用双线性变换法将Ha(s)转换成数字滤波器H(z)第五节 数字高通、带通和带阻滤波器的设计(1) 确定所需类型数字滤波器的技术指标(2) 将所需类型数字滤波器的技术指标转换成所需类型模拟 滤波器的技术指标，转换公式为： 若用脉冲响应不变法： 若用双线性变换法：(4) 设计模拟低通滤波器。(5) 将模拟低通通过频率变换，转换成所需类型的模拟滤波器。(6) 将所需类型的模拟滤波器转换成所需类型的数字滤波器。(3) 将所需类型模拟滤波器技术指标转换成模拟低通滤波器技 术指标。例：设计一个数字高通滤波器，要求通带截止频率p=0.8rad，通带衰减不大于3dB，阻带截止频率s=0.44rad,阻带衰减不小于15dB。希望采用巴特沃斯型滤波器。解： (1)数字高通的技