电路分析基础：第3章 电阻电路的一般分析

1、第3章 电阻电路的一般分析3.1电路的图3.3支路电流法KCL和KVL的独立方程数3.23.4网孔电流法回路电流法3.53.6结点电压法目录电路图论的初步知识线性电阻 电路方程的 建立方法电路的一般分析方法（方程分析法） 普遍性： 不改变电路结构 对任何结构的电路都适用系统性：计算方法有规律可循。方程的建立有一套固定不变的步骤和格式，便于编程和用计算机计算 等效变换逐步化简的方法要改变原电路的结构只适用于一定结构形式的电路元件的电压、电流关系特性（VCR）电路的连接关系KCL，KVL定律方法的基础电路一般分析方法的步骤选一组合适的电路变量(电流和/或电压)；根据所选变量的不同可分为支路电流法、

2、回路（网孔）电流法和结点电压法根据KCL和KVL以及元件VCR列写该组变量的独立方程组；解方程求电路变量1.网络图论DCBABDAC哥尼斯堡七桥难题图论是拓扑学的一个分支，是富 有趣味和应用极为广泛的一门学科。3.1电路的图目的：图论为数学工具研究电路的连接性质，选取电路独立变量列出相应独立方程，解出电路变量2.电路的图抛开元件性质54321665432178R4R1R3R2R6uS+_iR5一个元件作为一条支路元件的串联及并联组合作为一条支路 电路的(拓扑)图：不考虑元件性质，仅用线段和点表示的电路结构的图形图中的线段和点与电路的支路和结点一一对应。G=支路，结点543216有向图 标定了支

3、路方向（电流的参考方向，电压一般采取关联参向）的图连通图图G的任意两结点间至少有一条路径时称为连通图，非连通图至少存在两个分离部分。子图 若图G1中所有支路和结点都是图G中的支路和结点，则称G1是G的子图。树(Tree)树(T)是连通图的一个子图且满足下列条件：连通包含所有结点不含闭合路径543216不是树树支：构成树的支路连支：属于G而不属于T的支路树支的数目是一定的连支数目：对应一个图有很多的树结论电路图中选定一个树后，所有支路分成两类543216（2，4，5）（1，3，6）（1，3，4）（2，5，6）12345678设想把G的全部支路移去，只剩下它的n (=5)个节点。为了构成G的一个树

4、，先用 1条支路把2个结点连起来。因为第一条支路连接了两个结点，所以把 n (=5) 个节点全部连接起来所需要的支路数恰好是n-1 (=4)，也就是树支数。之后，每连接一个新结点，只需一条支路。说明12345678253124578回路(Loop)不是回路6413结论1：对应一个图有很多的回路L是连通图的一个子图，构成一条闭合路径，并满足：连通除了起点和终点重合，每个结点只经过一次基本回路(单连支回路)12345651231236一个树包含全部结点又不形成回路，对任意一个树，加入一个连支便形成一个回路。回路除所加这个连支其余都为树支的回路称为基本回路或单连支回路。图中对应一棵树的所有单连支回路

5、构成一个基本回路组结论2：基本回路的数目是一定的，为连支数具有独有的一条连支，其他回路没有1234支路数树支数连支数结点数1基本回路数结点、支路和基本回路关系87654321图示为电路的图，画出两种可能的树及其对应的基本回路组。87658643例选择不同的树，获得的基本回路组也不同把一个图画在平面上，除所连接的结点外，无任何支路交叉，就称平面图。平面图的全部网孔就是一组基本回路。其数目是该图的基本回路数 l = b- (n-1)123456平面图非平面图网孔：其内部不含任何支路的回路，自然的孔1.KCL的独立方程数654321432114324123 0 结论：n个结点的电路, KCL的独立方

6、程为n-1 个。即求解电路时，只需选取任意n-1个结点来列出KCL方程。与独立方程对应的结点叫做独立结点。3.2KCL和KVL的独立方程数2.KVL的独立方程数132对网孔列KVL方程：与KVL的独立方程对应的回路称独立回路，因为每个基本回路包含了一条其他回路所没有的支路，所以基本回路组是独立回路组KVL的独立方程数=基本回路数=网孔数=b(n1)123456回路：u1+u3+u5= 0回路：u1- u2+u4+u5= 0回路：- u4- u5+u6= 0 方法1：对平面电路， l个网孔是一组独立回路123456独立回路选择方法2：任选一棵树，确定一组基本回路；每选一个回路，让该回路包含一条新

7、的支路，选满l个为止。若电路有n个节点，b条支路，则有 l =b(n1)个独立 KVL方程。求解电路问题，只需选取b(n1)个独立回路来列KVL方程3.3支路电流法以支路电压和支路电流作为电路变量来列电路方程，若电路有n个节点和b条支路，则共有2b个变量2b法 KCL独立方程 n-1 个 KVL独立方程 b-(n-1)个 VCR:支路方程 b个共b个共2b个独立方程+_n-1=3 个KCL 独立方程b-(n-1)=3个KVL 独立方程b=6个 VCR方程12个未知数，12个方程 1234561. 支路电流法2. 独立方程的列写以各支路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。从n个结点中任意选择

8、n-1个独立结点列写KCL方程选择基本回路列写b-(n-1)个KVL方程，利用元件的VCR将各支路电压以各支路电流表示代入KVL方程n个结点b条支路的电路，未知量支路电流b个，列出b个独立的电路方程便可解出b个变量，所需的联立方程数从2b减少到b 。有6个支路电流，需列写6个独立方程根据KCL列n-1=3个独立结点方程选取b-(n-1)=3个网孔为独立回路，沿顺时针方向绕行列写KVL方程4个结点 6条支路R1+-us1R5R3R2R4R6is5i1i2i3i4i5i6利用元件的VCR将各支路电压以各支路电流表示，代入上述方程：R1+-us1R5R3R2R4R6is5i1i2i3i4i5i6+这

9、一步可以省去，消去支路电压变量，减少方程R1+-us1R5R3R2R4R6is5i1i2i3i4i5i6Rkik: 回路中第k条支路电阻上压降，和式遍及回路中所有支路+ : ik的参考方向与回路绕行方向一致- : ik的参考方向与回路绕行方向相反 usk :第k条支路的电源电压(电压源电压和等效电压源电压)+ :绕行方向从usk的正极穿出- :绕行方向从usk的负极穿出同正异负（1）支路电流法的一般步骤：标定各支路电流的参考方向；选定(n1)个独立结点，列写其KCL方程；选定b(n1)个独立回路，指定回路绕行方向，结合KVL和支路VCR对每个回路如下列写方程；小结求解上述方程，得到b个支路电流

10、；进一步进行其它分析。（2）支路电流法的特点：列写的是 KCL和KVL方程， 所以方程列写方便、直观，但方程数较多，宜于在支路数不多的情况下使用。尽量化支路电流源为电压源求各支路电流及各电压源发出的功率。12解 列写n1=1个KCL方程：结点a： I1I2+I3=0 b( n1)=2个网孔为独立回路列写KVL方程：11I2+7I3= 67I111I2=70-6=6470V6V7ba+I1I3I2711例3条支路2个结点70V6V7ba+I1I3I2711I1I2+I3=0 11I2+7I3= 67I111I2=70-6=64 I1I2+I3=0(1) 对独立结点a KCL方程：解1(2) 选两

11、个网孔为独立回路，设电流源两端电压U，列 KVL方程：L2:11I2+7I3= UL1:7I111I2=70-U+U_21a70V7b+I1I3I27116A例设电流源电压U（3）多出一个变量U，需增补支路电流和电流源电流的关系方程： Is=I2=6A没有并联电阻的电流源列写支路电流方程.(电路中含有 ）无伴电流源 1解2I2=6（2）对结点a列写KCL方程： I1+I3=6（3）避开电流源支路取回路：7I17I3=7070V7ba+I1I3I27116A（1）电流源所在支路的电流作为已知小结有无伴电流源的电路，有两种处理方法：设电流源两端电压U，然后增补一个方程 （ Ik= Is电流源所在支

12、路电流=电流源的电流）电流源所在支路的电流作为已知(Ik= Is)，然后避开电流源所在支路列方程I1I2+I3=0列写支路电流方程.(电路中含有受控源）解11I2+7I3= 5U7I111I2=70-5U(3)受控源控制量是未知量，需增补控制量用支路电流表示的方程：2175U+U_70Vba+I1I3I2711+_(1) 对独立结点a列KCL方程例(2) 选两个网孔为独立回路，将受控源看作独立源列KVL方程U=7I3有受控源的电路，支路电流法方程列写步骤：先将受控源看作独立源列方程；小结整理方程，消去控制量U：I1I2+I3=011I2-28I3= 07I111I2+35I3=70增补控制量用

13、支路电流表示的方程，并代入中所列的方程，消去控制变量。1.网孔电流法以沿网孔连续流动的假想电流为未知量，根据KVL列写电路方程求解电路的方法，仅适用于平面电路。3.4网孔电流法 im1im2+i1i3i2uS1uS2R1R2R3KCL网孔电流与支路电流关系某支路属于2网孔共有， 该支路电流=2网孔电流的代数和 某支路只属于某一网孔，该支路电流=该网孔电流列写的方程网孔电流在网孔中是闭合的，对每个相关结点均流进流出一次，所以KCL自动满足。基本思想为减少未知量(方程)的个数，假想每个网孔中有一网孔电流。各支路电流可用网孔电流的代数和表示。网孔电流有b-(n-1)个，使方程数减少了 (n-1)个

14、只需列写网孔回路KVL方程，全部网孔为一组独立回路，对应的KVL方程也独立，独立方程个数与电路变量均为网孔数，足以解出网孔电流。2. 方程的列写(1)标出网孔电流的绕行方向；(2)沿各自的网孔电流绕行方向， 列KVL方程；+-us1R1R3i1i2i3R2+-us2us3+-im1im2网孔1： R1 im1+R2(im1- im2) +uS2-uS1=0网孔2： R2(im2- im1)+ R3 im2 +uS3-uS2=0整理得：(R1+ R2) im1-R2im2=uS1-uS2- R2im1+ (R2 +R3) im2 =uS2-uS3im1和im2都流过R2(R1+ R2) im1-

15、R2im2=uS1-uS2- R2im1+ (R2 +R3) im2 =uS2-uS3+-us1R1R3i1i2i3R2+-us2us3+-im1im2 R11=R1+R2 网孔1中所有电阻之和，称网孔1的自电阻 R22=R2+R3 网孔2中所有电阻之和，称网孔2的自电阻 R12= R21= R2 网孔1、2共有的电阻互电阻uSm1= uS1-uS2 网孔1中所有电压源电压的代数和。uSm2= uS2-uS3 网孔2中所有电压源电压的代数和。网孔1： R11im1+R12im2= uSm1网孔2： R21im1+ R22im2 = uSm2+-us1R1R3i1i2i3R2+-us2us3+-

16、im1im2由于网孔绕行方向就是网孔电流方向，所以自阻总是正的im1在网孔1内各电阻上引起的压降im2在网孔2内各电阻上引起压降im2在网孔1内各电阻上引起的压降im1在网孔2内各电阻上引起压降当两个网孔电流流过共同支路方向相同时，互阻取正；否则为负R12= R21= R2当网孔电流同时取顺（或逆）时针方向时，Rkj均为负网孔电流从各电压源正极流出时，前面取 “+” ，反之取“-”R11im1+R12im2 = uSm1 =uS1-uS2R21im1+ R22im2 = uSm1 =uS2-uS3+-us1R1R3i1i2i3R2+-us2us3+-im1im2Rkj:第k个网孔和第j个网孔共

17、有的互阻Rkk:第k个网孔自阻(总为正)方程的标准形式具有 m 个网孔的电路:+ : 流过互阻的两个网孔电流方向相同；- : 流过互阻的两个网孔电流方向相反；同正异负0 : 两网孔无共同支路，或有但无电阻无受控源的线性网络Rjk=Rkj , 系数矩阵为对称阵。imk和imj :第k个和第j个网孔电流uskk :第k个网孔的总电源电压(电压源电压和等效电压源电压)+ :网孔电流方向从各电压源的正极穿出- :网孔电流方向从各电压源的负极穿出例3-1 用网孔电流法求各支流电流。+_+_+_标定网孔电流I1, I2, I3绕行方向列网孔方程用消去法或行列式法解得： 求得各支路电流：+_+_+_用网孔电

18、流法求解电流 i解列写KVL方程：i1i3i2RSR5R4R3R1R2US+_i例标出网孔电流i1, i2, i3绕行方向（均为顺时针）（1）网孔电流法的一般步骤：选网孔为独立回路，并确定其绕行方向（网孔电流方向）；以网孔电流为未知量，按规则列写其KVL方程；求解方程，得到m个网孔电流；其他分析求各支路电流；（2）网孔电流法的特点：只列写KVL方程， 仅适用于平面电路。小结尽量化支路电流源为电压源1.回路电流法以沿回路连续流动的假想电流为未知量，根据KVL列写方程分析电路的方法。它适用于平面和非平面电路。列写的方程3.5回路电流法 回路电流法是对独立回路列写KVL方程，方程数为： l=b(n1

19、)，同样比支路电流法少了(n1)个方程回路电流在回路中是闭合的，对每个相关结点均流进一次，流出一次，所以KCL自动满足。123456il1il2il3连支电流 i1、i2、i3分别作为在各自单连支回路中流动的假想回路电流il1、il2、il3 。 即 i1 = il1，i2 = il2，i3 = il3 全部支路电流都可以通过回路电流表达。树支电流：i4= -il1+il2，i5= -il1-il3，i6= -il1+il2 -il3回路电流与支路电流关系选一棵树，确定一组独立回路分析过程基本相同，差别仅在于独立回路的选择上网孔电流法：选l=b(n1)个网孔作为一组独立回路，仅适用于平面电路，

20、有局限性。回路电流法：选一棵树，确定一组基本(独立)回路；每选一个回路，让该回路包含一条新的支路， 选满l=b(n1)个为止。只要选一组独立回路即可，灵活性和适用性较强。回路电流法与网孔电流法的比较例3-2 列回路电流方程Il2Il3Il12. 方程的列写（1）选一组独立回路，指定各回路电流的绕行方向us1+-us5+-2VR11W4VR21WR31WR42WR52WR62W 若选基本回路，则应先选一个树，确定一组基本回路。（2）列写KVL方程142536Il1Il2Il3 每个回路至少有一条新支路，即该支路未在其它回路中出现。（1）换一组独立回路，指定各回路电流的参考方向us1+-us5+-

21、2VR11W4VR21WR31WR42WR52WR62W（2）列写KVL方程L1：4Il1+ 2Il2+ 1Il3= -4L2：2Il1+ 5Il2- 2Il3= 2L3：1Il1- 2Il2+ 5Il3= -2Il2Il3Il1方程的标准形式具有 l=b-(n-1)个独立回路的电路:Rkj:第k个回路和第j个回路共有的互阻Rkk:第k个回路自阻(总为正)+ : 流过互阻的两个回路电流方向相同；- : 流过互阻的两个回路电流方向相反；同正异负0 : 两回路无共同支路，或有但无电阻无受控源的线性网络Rjk=Rkj , 系数矩阵为对称阵。ilk和ilj :第k个和第j个回路电流uskk :第k个回

22、路的总电源电压(电压源电压和等效电压源电压)+ :回路电流方向从各电压源的正极穿出- :回路电流方向从各电压源的负极穿出用回路电流法求解电流 i.RSR5R4R3R1R2US+_i解（1）选取独立回路 为了减少计算量，只让一个回路电流经过R5支路。i1i3i2例（2）列写KVL方程（1）回路电流法的一般步骤：选定l=b-(n-1)个独立回路，并确定其绕行方向 （回路电流方向）；对l个独立回路，以回路电流为未知量，只列写其KVL方程；求解方程，得到 l 个回路电流；其他分析由回路电流求各支路电流；小结选择一个树，确定一组基本回路；选一组独立回路，每个回路至少有一条新支路尽量化支路电流源为电压源（

23、2）回路电流法的特点：通过灵活的选取回路可以减少计算量；互有电阻的识别难度加大，易遗漏互有电阻。小结一般适合于独立回路少于独立结点、 电压源较多的电路；只列写KVL方程；3.无伴电流源支路的处理附加变量法：引入电流源电压U，增补回路电流和电流源电流的关系方程。U_+ISRSR4R3R1R2US+_例(3)多出一个变量U，需增补方程：增加电流源电流用回路电流表示的方程(1)选独立回路，指定回路电流绕行方向引入电流源电压(2)引入电流源电压U列写方程i1i3i2选取独立回路，使无伴电流源支路仅仅属于一个回路,该回路电流=IS 。i1i3i2例已知电流，不需再列回路2方程，实际减少了一方程ISRSR

24、4R3R1R2US+_例 3-3 US1=50V，US3=20V，IS2=1A，列回路电流方程。Il1Il2Il3+_+_US3US12010153040IS2+_U（3）多出一个变量U，需增补方程，增加无伴电流源电流用回路电流表示的方程：（1）选网孔为独立回路，标出电流绕行方向（2）引入电流源电压U，列写KVL方程引入电流源电压Il1Il2Il3（1）选取独立回路，使无伴电流源支路仅仅属于一个回路已知条件：Il3=1不必列电流源所在回路的方程。45Il1+20Il2-15Il3=0L1:+90Il220Il1+40Il3=50-20L2:+55Il3-15Il1+40Il2=U-20L3:+

25、_+_US3US12010153040IS2+_U无伴电流源支路的处理方法:小结 附加变量法：引入电流源电压U ，增补回路电流和电流源电流的关系方程，从而消去中间变量U 。这种方法比较直观，但需增补方程，往往列写的方程数多。使无伴电流源支路仅仅属于一个回路，该回路电流=已知的电流源电流iS。这种方法列写的方程数少。 4.受控电源支路的处理可先把受控源作为独立电源列方程，再增补控制量用回路电流表示的方程i1i3i25URSR4R3R1R2US+_+_U例（1）选网孔为独立回路，标出绕行方向（2）把受控源作为独立源列写方程受控源看作独立源列方程（3）由于受控源控制量U是未知量，需增补方程：增加控制

26、量用回路电流表示的方程5URSR4R3R1R2US+_+_U系数矩阵不再是对称阵i1i3i2受控源支路的处理方法小结先将受控源当作独立源列写回路电流方程增补受控源的控制量用回路电流表示的方程代入原有方程，消除控制量，将方程整理成标准形式 有受控源的线性网络Rjk不一定等于Rkj , 系数矩阵不再是对称阵。R1R4R5gU1R3R2U1_+_U1iS列回路电流方程解1（1）选网孔为独立回 路，标出绕行方向1432_+_+U2U3例（2）设电流源与受控电流源电压U2 、 U3列写方程R1R4R5gU1R3R2U1_+_U1iS1432_+_+U2U3（3）多出两个变量U2、 U3 ，需增补电流源(

27、包括受控电流源)电流用回路电流表示的方程；多出控制量U1，增补控制量用回路电流表示的方程增补方程R1R4R5gU1R3R2U1_+_U1iS解2回路2选大回路（1）选取独立回路，使无伴电流源（包括受控源）支路仅仅属于一个回路,该回路电流=电流源电流。（2）增补控制量U1用回路电流表示的方程1432+-us2R1+-is1R2i2u2+-us3R3bi2+-au2R4il1il2il3il4不必再列回路1、3的KVL方程:il1 = is1 ，il3= bi2例 3-4 列回路电流方程。（1）选取独立回路，使无伴电流源（受控电流源）支路仅仅属于一个回路,该回路电流=电流源电流。L2：+(R2+R

28、3)il2-R2il1+R3il3-R3il4=us2- us3L4：(R3+R4)il4-R3il3+-R3il2=us3-au2+-us2R1+-is1R2i2u2+-us3R3bi2+-au2R4il1il2il3il4u2 =R2 (il1-il2)（2）增补控制量u2 、 i2用回路电流表示的方程il1 = is1L2：+(R2+R3)il2-R2il1+R3il3-R3il4=us2- us3L4：(R3+R4)il4-R3il3+-R3il2=us3-au2i2= il2il3 = bi2习题3-7、3-11、3-12、3-13(b)结点电压1.结点电压法以结点电压为未知量根据K

29、CL列写方程分析电路的方法。3.6结点电压法 电路中任选一点为参考结点，其它结点为独立结点， 独立结点与参考结点之间的电压（电位差）即结点电压，方向为从独立结点指向参考结点。支路电压与结点电压关系某支路连接两个独立结点该支路电压=两结点电压差 某支路连接独立结点和参考结点，该支路电压=该结点电压un1-un20231un1un2基本思想任意选择一个参考结点，以独立结点的结点电压列写KCL方程，求出结点电压后，所有支路电压（电流）均可用结点电压表示。独立结点是n-1个，与支路电流法相比，方程（变量）数减少了b-(n-1)个un1-un2un1un2(un1-un2)+un2-un1=0KVL自动

30、满足0列写的方程选结点电压为未知量，则KVL自动满足，无需列写KVL 方程。结点电压法列写的是独立结点上的KCL方程，对应的KCL方程将是独立的，独立方程个数与独立结点数相同：n-1个，足以解出结点电压。2. 方程的列写(1)选定参考结点，标明其余n-1个独立结点的电压；(2)对各独立结点列写KCL方程：0R3+-us3R2R4R5R6is1i1i4i2i5i3i6R1is6i1+i4+i6= 01425360参考结点i2-i4+i5= 0i3-i5-i6= 0un1un2un3（3）结合元件的VCR，用结点电压表示各支路电流：0R3+-us3R2R4R5R6is1i1i4i2i5i3i6R1

31、is6i2=un2R2i3=un3R3-us3i4=un1R4-un2i5=un2R5-un3i6=un1R6-un3+ is6un1i1=R1-is1i1+i4+i6= 0i2-i4+i5= 0i3-i5-i6= 0un1R1-is1+un1-un2R4un1-un3R6+ is6+= 0i1i4i6将以上方程按未知量顺序排列整理得：变成电导形式：1/Rk换成1/Gk，k=1, 2, 3, 4, 5,6R11+R41+R61un1-R41un2-R61un3= is1-is6-R41un1R21+R41+R51un2+-R61un3= 0-R61un1-R51un2R31+R51+R61un

32、3+= is6+R3us3(G1+G4+G6)un1- G4 un2- G6un3 = is1- is6-G4un1+ (G2+G4+G5)un2- G5un3 = 0-G6un1-G5un2+ (G3+G5+G6)un3 = is6 + G3us30R3+-us3R2R4R5R6is1i1i4i2i5i3i6R1is6:(G1+G4+G6)un1- G4 un2- G6un3 = is1- is6:-G4un1+ (G2+G4+G5)un2- G5un3 = 0:-G6un1-G5un2+ (G3+G5+G6)un3 = is6 + G3us3自电导：接在该结点上所有支路的电导之和，总为正。

33、G22= (G2+G4+G5) 结点2的 自电导G11= (G1+G4+G6) 结点1的自电导G33= (G3+G5+G6)结点3的自电导结点电压un1作用下从结点经各电导流出的电流之和互电导：接在结点与结点之间所有支路的电导之和，总为负值。0R3+-us3R2R4R5R6is1i1i4i2i5i3i6R1is6G12= G21 =-G4 结点1与结点2之间的互电导G13= G31 =-G6 结点1与结点3之间的互电导G23= G32 =-G5 结点2与结点3之间的互电导:(G1+G4+G6)un1- G4 un2- G6un3 = is1- is6:-G4un1+ (G2+G4+G5)un2

34、- G5un3 = 0:-G6un1-G5un2+ (G3+G5+G6)un3 = is6 + G3us30R3+-us3R2R4R5R6is1i1i4i2i5i3i6R1is6iS11=iS1-iS6 流入结点1的电流源电流的代数和。流入结点取“+”，流出取“-”iS33=is6 + G3us3 流入结点3的电流源电流的代数和。结点的注入电流源：:(G1+G4+G6)un1- G4 un2- G6un3 = is1- is6:-G4un1+ (G2+G4+G5)un2- G5un3 = 0:-G6un1-G5un2+ (G3+G5+G6)un3 = is6 + G3us3等效电流源G11un

35、1+G12un2+G13 un3=is11G21un1+G22un2+G23un3 =is22G31un1+G32un2+G33un3=is33结点电压方程的标准形式G11un1+G12un2+G1,n-1un,n-1=iS11G21un1+G22un2+G2,n-1un,n-1=iS22 Gn-1,1un1+Gn-1,2un2+Gn-1,n-1un,n-1=iS(n-1),n-1具有 (n-1) 个独立结点的电路:Gkk :表示连接在第k个结点所有支路电导之和(自导)，总为正Gkj :结点k与结点j间的所有支路的电导之和(互导)，总为负。G11un1+G12un2+G1,n-1un,n-1=

36、iS11G21un1+G22un2+G2,n-1un,n-1=iS22 Gn-1,1un1+Gn-1,2un2+Gn-1,n-1un,n-1=iS(n-1),n-1iSkk ：注入结点k的所有电源电流的代数和。（电流源电流和等效电流源电流）G11un1+G12un2+G1,n-1un,n-1=iS11G21un1+G22un2+G2,n-1un,n-1=iS22 Gn-1,1un1+Gn-1,2un2+Gn-1,n-1un,n-1=iS(n-1),n-1+ :流入结点- :流出结点无受控源的电路网络Gjk=Gkj , 系数矩阵为对称阵。例3-5 列结点电压法0(1)选为参考结点。结点:= is

37、4-is9结点:= 0支路中有多个电阻串联，应先求出总电阻再求导 +-is4is9us3R30us7R7R4R8R6R5R2R1a+-0R1bR9与电流源串接的电阻或任意元件不参与列方程(2)对独立结点列KCL方程结点:结点:= is9等效电流源等效电流源+-is4is9us3R30us7R7R4R8R6R5R2R1a+-0R1bR9结点电压法的一般步骤：(1)选定参考结点，标定n-1个独立结点；(2)对n-1个独立结点，以结点电压为未知量，按照公式列写KCL方程；(3)求解上述方程，得到n-1个结点电压；(5)其它分析。(4)通过结点电压求各支路电流；小结尽量化支路电压源为电流源（2）结点电

38、压法的特点：通过灵活的选取参考结点可以减少计算量；互有电导的识别难度加大，易遗漏互有电导。一般适合于独立结点少于独立回路、电流源较多的电路；小结用结点电压法求解结点n=2的由电压源和电阻组成的复杂电路时，只需列写出2-1=1个结点电压方程式：un1US1/R1+US2/R2US4/R41/R1+1/R2+1/R3+1/R4=+_US2+_US1I1I2I3R1R2R3 US4R4I4直接应用弥尔曼定理求un13、弥尔曼定理(结点电压法的特例)3-17UsG3G1G4G5G2+_312(G1+G2)Un1-G1Un2 =I-G4Un2+(G4+G5)Un3 =I增补方程 US = Un1-Un3I4. 无伴电压源支路的处理附加变量法：引入电压源电流I，增补结点电压与电压源间的关系方程。无电阻与之串联-G1Un1+(G1 +G3 + G4)Un2 -G4Un3 =0(1)选取参考结点(2)设流过电压源电流为I，列写结点电压方程 解1(3)多出一个变量I，需增补方程：增加电压源电压用结点电压表示的方程例选择合适的参考点Un1= US-G1Un1+(G1+G3+G4)Un2- G3Un3 =0-G2Un1-G3Un2+(G2+G3+G5)Un3=0解2(1)选择合适的参考点，使某一结点电压=无伴电压源的电压UsG3G1G4G5G2+_312(2)