电磁场理论课件：2-1静电场的标势及其微分方程

1、第二章 静电场Electrostatic field本章研究的主要问题是：在给定的自由电荷分布以及周围空间介质和导体分布的情况下，如何求解电场。注意两点：电荷静止，即： 电场不随时间变化，即:本章求解静电场的方法有：分离变量法;镜像法；格林函数法。 求解的依据是：唯一性定理。静电场的基本特点： 边值关系： 等均与时间无关（， 为唯一解） 不考虑永久磁体（） 基本方程：1. 静电场标势及微分方程2. 唯一性定理3. 分离变量法4. 镜像法6. 电多级矩本章内容：本章重点：本章难点：分离变量法、电多极子静电势及其特性、分离变量法、镜象法2.1 静电势及其微分方程Scalar potential a

2、nd differential equation for electrostatic field一、静电场的标势二、静电势的微分方程和边值关系 三静电场的能量本节主要内容在静止情况下，电场与磁场无关，麦氏方程组的电场部分为这两方程连同介质的电磁性质方程是解决静电问题的基础。静电场的无旋性是它的一个重要特性，由于无旋性，我们可以引入一个标势来描述静电场。一、静电场的标势无旋性的积分形式是电场沿任一闭合回路的环量等于零，即设C1和C2为P1和P2点的两条不同路径。C1与C2合成闭合回路，因此电荷由P1点移至P2点时电场对它所作的功与路径无关，只和两端点有关。把单位正电荷由P1点移至P2点，电场E对

3、它所作的功为这功定义为P1点和P2点的电势差。若电场对电荷做了正功，则电势下降。由此由这定义，只有两点的电势差才有物理意义，一点上的电势的绝对数值是没有物理意义的。参考点的选择是任意的，在电荷分布于有限区域的情况下，常常选无穷远点作为参考点。令()=0有代表把单位电荷从P点移动到无穷远处的做功相距为dl的两点的电势差由于因此，电场强度E等于电势 的负梯度 当已知电场强度时，可以求出电势；反过来，已知电势 时，通过求梯度就可以求得电场强度。点电荷Q激发的电场强度其中r为源点到场点的距离。把此式沿径向场点到无穷远点积分，电势为一组点电荷Qi激发的电势若电荷连续分布，电荷密度为，设r为源点x到场点x

4、的距离，则场点x处的电势为二、静电势的微分方程和边值关系电势满足的方程 拉普拉斯方程 适用于无自由电荷分布的均匀介质泊松方程(适用于均匀介质)静电场的基本问题 如果电荷是连续分布的，则观察点 处的标势为这个式子只反映了电荷激发电场这一面，而没有反映电场对电荷的作用另一面。 如果空间还有导体存在的活，那么物理机制为 考虑到感应情况，诸问题的模拟是：导体+-给定电荷分布求空间一点电场分布而场引起导体上感 应电荷分布而感应电荷分布反过来引起2静电势的边值关系(1) 两介质分界面0 P Q电荷沿法线方向移动, 切线分量不做功，沿法线方向做功为零（因电场有限，且间距趋于零）注意： 可代替 ，即可代替证：

5、可见而故有即得p2p1P1P2导体的特殊性1、导体内部不带电，电荷只能分布于导体表面上；2、导体内部电场为零；（有则电子运动，有电流)3、导体表面上电场必沿法线方向，因此导体表面为等势面，整个导体的电势相等。（电场切向为零）设导体表面所带电荷面密度为，设它外面的介质电容率为，导体表面的边界条件为导体1自由电荷介质2（2）导体表面上的边值关系三静电场的能量 一般方程： 能量密度 总能量 仅讨论均匀介质 若已知 总能量为 讨论：（1）适用于静电场，线性介质；（2）适用于求总能量.（3）不能把 看成是电场能量密度，它只能表示能量与存在着电荷分布的空间有关。真实的静电能量是以密度 的形式在空间连续分布

6、，场强大的地方能量也大；（4） 中的 是由电荷分布 激发的电势；（5）在静电场中，电场决定于电荷分布。在场内没有独立的运动。因而场的能量就由电荷分布所决定。（6）若全空间充满了介电常数为的介质，可得到电荷分布所激发的电场总能量式中r为 与 点的距离。总电荷荷自由电荷荷例1 P56 求带电量Q、半径为a的导体球的静电场总能量。例1 P56 求带电量Q、半径为a的导体球的静电场总能量。整个导体为等势体, 导体球的电荷分布于球面上因此静电场总能量为解方法之一: 按电荷分布方法之二: 按电场分布因为球内电场为零，故只须对球外积分例2 P55 求均匀电场 的电势。yoxp例2 P55 求均匀电场 的电势

7、。Solution: 因为均匀电场中每一点强度 相同，其电力线为平行直线，选空间任一点为原点，并设原点的电势为 。根据 ，得到如果， 例3 P56均匀带电的无限长直导线的电荷线密度的，求空间的电势。 例3 P56均匀带电的无限长直导线的电荷线密度的，求空间的电势。场点pRozz电荷源Solution: 选取柱坐标：源点的坐标为（0,0, z),场点的坐标为（R, 0, 0)，电荷 元 到P点的距离无穷大的积分结果与电荷不是有限区域内分布有关。 计算两点P和P0的电势差可以不出现无穷大。设P0点与导线的垂直距离为R0，则有限长直导线在P点和P0点相对的电势为无限长直导线在P点相对P0点的电势差若选P0为参考点，则选取柱坐标：源点的坐标为（0, z），场点的坐标为（R, 0），考虑到导线是无限长，电场强度显然与z无关。 这里，先求场强 ，后求电势 。场点pRozz电荷源解2： 由于电荷元为 ，因此令且而故设p0点与导线的垂直距离为R0，则p点到p0点的电势差为若选p0为参考点（即 ），则例题4 电偶极子产生的电势例题4 电偶极子产生的电势-QQzxyP解：系统偶极矩 求近似值：同理 平面为等势面（Z = 0的平面）。若电偶极子放在均匀介质中（无限大介质）：注意：考虑