第七章玻耳兹曼统计教案分析

1、热力学与统计物理课程教案授课内容（教学章节）： 第七章玻耳兹曼统计 主讲教师：授课地点授课班级教材分析：本章根据玻耳兹曼分布讨论了玻色系统和费米系统的热力学性质。用统计物理学的方法研究 TWS斯韦速度分布律和能量均分定理，理想气体的内能和热容量，理想气体的嫡等。并且展示 了热力学与统计物理的一些应用，如顺磁性固体；和前沿问题如负温度状态的实现等等。因此， 本章在阐述基本理论的同时，有意识的培养学生的科研探究能力，激发他们对前沿领域的兴趣， 为将来的学习和工作奠定基础。教学目标：知道热力学量的统计表达式，能应用玻耳兹曼统计讨论理想气体的物态方程，理解麦克斯韦 速度分布律和能量均分定理，知道理想气

2、体的内能和热容量以及理想气体的嫡，知道固体热容量 的爱因斯坦理论、负温度状态等前沿科学。教学重点与教学难点：教学重点：热力学量的统计表达式，麦克斯韦速度分布律，能量均分定理的统计意义，固体 热容量的爱因斯坦理论，负温度状态。教学难点：理热力学量的统计表达式，想气体的内能和热容量，负温度状态。教学内容热力学量的统计表达式7.2理想气体的物态方程麦克斯韦速度分布律7.4能量均分定理理想气体的内能和热容量7.6理想气体的嫡固体热容量的爱因斯坦理论7.8顺磁性固体负温度状态教学方法与手段以讲授为主，结合多媒体教学，其中麦克斯韦速度分布律和能量均分定理采用热学和统计方 法对比的方法进行教学，负温度状态采

3、用讨论法展开教学。课后作业：P2867.1 7.2 7.4 7.5 7.8 7.9 7.11 7.12 7.13 7.14 7.16 7.20小论文1、负温度的物理意义以及如何实现负温度状态的？2、根据经典统计的能量均分定理讨论理想气体的热容量，所得结果与实验结果/、符合的几个问题如何解释？教材与参考资料教材：热力学与统计物理汪志诚高等教育出版社第七章玻耳兹曼统计7.1热力学量的统计表达式一、定域系统的内能、广义力和嫡统计表达式在 6.8说过,定域系统和满足经典极限条件的玻色系统都遵从玻耳兹曼分 布。本章根据玻耳兹曼分布讨论这两类系统的热力学性质。本节首先推导热力学 量的统计表达式。内能是系统

4、中粒子无规则运动总能量的统计平均值.所以Ual $3 2e l， TOC o 1-5 h z ll引入函数Zi： Zi qe豚l名为粒子配分函数。由式Nsle ，得：N e le l, e Z ll上式给出参量 与N和Zi的关系，可以利用它消去式中的。经过简单的运算，可得：U e cole e cole lnZ1 lBlZib式是内能的统计表达式。在热力学中讲过，系统在程中可以通过功和热量两种方法与外界交换能量。在无穷小过程中，系统在过程前后内能的变化 dU等于在过程中外界对系统所作 的功dW及系统从外界吸收的热量dQ之和：dU dW dQ 。如果过程是准静态的，dW可以表达为Ydy的形式，其

5、中dy是外参量的改变 量，Y是外参量y相应的外界对系统的广义作用力粒子的能量是外参量的函数。由于外参量的改变 ，外界施于处于能级的一个粒子的力为 y因此，外界对系统的广义作用力Y为:q-al yiq a一col eyBl &col e l e1_ ZZ1B y式是广义作用力的统计表达式。它的一个重要例子是：P NlnZiB V在无穷小的准静态过程中，当外参量有dy的改变时，外界对系统所作的功th: Ydy dy ala1d qi y 1将内能U a 求全微分，有：dU a1dqda1111上式指出，内能的改变可以分成两项，第一项是粒子分布不变时由于能级改 变而引起的内能变化，第二项是粒子能级不

6、变时由于粒子分布改变所引起的内能 变化。在热力学中讲过，系统在过程中从外界吸收的热量与过程有关，因此dQ不是 全微分而只是一个无穷小量。根据热力学第二定律可以证明，dQ有积分因子,T111用一乘dQ后得到完整微分dS:-dQ-dUYdy dSTTT代入热力学基本方程，可得：dQdUYdy N dNnZ1dyy因为配分函数 乙是3 y的函数，1nZi的全微分为：1n Zi 1n Zi .d 1n Z1d 0 dyB y因止匕，得：0dU Ydy Nd 1nZ-B1nZi既然B和-都是dQ的积分因子，可以令：B TkT根据微分方程关于积分因子的理论，当微分方程有一个积分因子时，它就有 无穷多个积分

7、因子，任意两个积分因子之比是S的函数。由 dS Nkd 1n Z11nzi 积分可得：S Nk 1nZ11nziBB讨论嫡的统计意义。将式取对数，得：1nZi 1n N a代入可得：S k N1n N N 即 k N1nN a 仇到而由玻耳兹曼分布aie ”如可得：aInaial in all所以S可以表为：S k N in Nal in的i比较可得：S kin上式称为玻耳兹曼关系。玻耳兹曼关系给嫡函数以明确的统计意义。 某个宏 观状态的嫡等于玻尔兹曼常量k乘以相应微观状态数的对数。在热力学部分曾经 说过，嫡是混乱程度的量度，就是指上式而言的。某个宏观状态对应的微观状态 数越多，它的混乱程度就

8、愈大，嫡也愈大。二、满足经典极限条件的玻色（费米）系统热力学量的统计表达式上述嫡的表达式适用于粒子可分辨的系统（定域系统）。对于满足经典极限 条件的玻色（费米）系统，由玻耳兹曼分布直接导出的内能和广义力的统计表达 式仍适用。由于这些系统的微观状态数为m.b./N!,如果要求玻耳兹曼关系仍成立，嫡的表达式应改为：S kinM-B- oN!综上所述可以知道，如果求得配分函数Zi,就可以求得基本热力学函数内能、 物态方程和嫡，从而确定系统的全部平衡性质。因此 inZ1是以0、y为变量的特 性函数。在热力学部分讲过，以T、V为变量的特性函数是自由能F U TS。 代入可得：FN inZ1 NkT in

9、 Z1 pinZ1NkTinZ1 或BBF NkTinZi kT in N!两式分别适用于定域系统和满足经典极限条件的玻色（费米）系统。讨论经典统计理论中热力学函数的表达式。配分函数为：乙 e雅Tiho取 足够小，上式的求和可化为积分：hp,q dqdq2 dqdpidp2 dPrh0h；只要将配分函数改为上式，内能、物态方程和嫡的统计表达式将保持不变理想气体的物态方程一、用玻耳兹曼分布推导理想气体的物态方程作为玻耳兹曼统计最简单的应用，本节讨论理想气体的物态方程。在 6.8 说过，一般气体满足经典极限条件，遵从玻耳兹曼分布，我们将本节结束前对此 详细加以分析。为明确起见，考虑单原子分子理想气

10、体。后面将说明，所得结果对双原子分 子或多原子分子理想气体是同样适用的。 在一定近似下，可以把单原子分子看作 没有外场时，可以把单原子分子理想气体中分子的运动看作粒子在容器内的自由 运动。其能量表达式为 P： Py P2 。2m其中Px、Py、Pz的可能值由式给出。不过在宏观大小的容器内，动量值和能量值实际上是连续的。在dxdydzdPxdPydPz范围内，分子可能的微观状态数为: dxdydzdPxdPydPzh3配分函数为：乙B -2-px e 2mPy pzdxdydzdPxdPydPz 3/2积分可得：乙 V2 Tm h2 S其中V dxdydz是气体的体积可求理想气体的压强为：P N

11、 lnZ1 NTB VV上式是理想气体的物态方程。玻耳兹曼常量的数值就是将上式与实验测得的 物态方程相比较而求得的。对于双原子或多原子分子，分子的能量除式给出的平动能量外， 还包括转 动、振动等能量。由于计及转动、振动能量后不改变分函数乙对V的依赖关系， 根据式求物态方程仍将得到式。如果应用经典统计理论求理想气体的物态方程，应将分子平动能量的经典表达式代入配分函数式，积分后得到的配分函数与式相同，只有的h0 h的差别，由此得到的物态方程与式完全相同。 所以在这问题上，由量子统计理论和 由经典统计理论得到的结果是相同的。 值得注意，在这问题上，除了玻耳兹曼分 布适用外，能量E是准连续的变量。二、

12、经典极限条件最后作一简略的估计，说明一般气体满足经典极限条件ea 1。由于 ea Zi/N 。将式的乙代入，可将经典极限条件表为:3/2V 2：mkTNh2由上式可知，如果（1） N/V愈小，即气体愈稀薄；（2）温度愈高；（3）分 子的质量m愈大，经典极限条件愈易得到满足。经典极限条件ea 1也往往采用另一方式表述。将上改写为:1 /2h2 7mkT分子的德布罗意波长为 入-P-=0如果将e理解为分子热运动的平均能量, .2m e估计为水T ,则上式右方可以理解为德布罗意波的平均热波长。左方是气体中分 子的平均距离，所以经典极限条件也往往表述为气体中分子间的平均距离远大于 德布罗意波的热波长。

13、以n N表分子的数密度，则上式也可表达为：n, 1V麦克斯韦速度分布律一、推导麦克斯韦速度分布律本节根据玻耳兹曼分布研究气体分子质心的平移运动，导出气体分子的速度分布律。设气体含有N个分子，体积为V。在 7.2已经说明，气体满足经典极限条件，遵从玻耳兹曼分布，而且在宏观大小的容器内，分子的平动能可以看作准连续的变量。因此在这问题上，量子统计理论和经典统计理论给出相同的结果 （h0 的数值对结果没有影响）。为明确起见，在本节中我们用经典统计理论进行讨论。玻耳兹曼分布的经典表达式是：ai e T ho在没有外场时，分子质心运动能量的经典表达式为1222 - Px Py Pz2m在体积V内，在dpx

14、dpydpz的动量范围内，分子质心平动的状态数为:Vdpxdpydpzh?因此，在体积V内，质心平动动量在dpxdpydpz范围内的分子数为V a pX py pz2 TOC o 1-5 h z e 2mdpxdpydpzh3参数 由总分子数为N的条件定出：_ _B 222V3 Pxp y pz e 2mdpxdpydpz N h323/2将积分求出，整理后可得：e a N hV 2 jmkT将式代入式，即可得质心动量在dpxdpydpz范围内的分子数为：13/2，px2 p2 p：a N e 2mkT * 丫 dpxdpydpz 2 7mkT这结果与ho数值的大小无关。如果用速度作变量，以V

15、x、xy、Vz代表速度的三个分量：px mVx, py mVy, pz mVz代入式便可得在dVxdxydVz范围内的分子数为：m 3/ 2 m v2 v2 vZa N e 2kTdvxdvydvz 2 kT以n N表单位体积内的分子数，则在单位体积内，速度在dvxdxydvz内的分子 TOC o 1-5 h z vy数为：3/2 m 22m_ 2kT vx vy vzf vx, vy,vz dvxdvydvz n edvxdvydvz2#T函数f YxNyNz满足条件：f vx,vy,vz dvxdvydvz n 式就是熟知的麦克斯韦速度分布律0引入速度空间中的球极坐标 v, 2 3以球极坐

16、标的体积元v2 sin 0dvd的小代替直角坐标的体积元dvxdvydvz,对以小积分后可得，在单位体积内，速率在 dv范3/2 m 2围内的分子数为：4 m m-e 2TV v2dv2#T式称为气体分子的速率分布。速率分布函数满足：23/ 2mv24 71n m e 2kT v2dv n 2*T0二、最概然速率，平均速率，方均根速率速率分布函数有一极大值，使速率分布函数取极大值的速率称为最概然速率，以vm表示。如果把速率分为相等的间隔，vm所在的间隔分子数最多。vm由 下式确定：mv2e 2kT v20dv由此得：vm、T:m利用式还可以求出分子的平均速v率和方均根速率vs。平均速率v是速率

17、v的平均值：主讲教师：823/2mv2m2kT 2 .v vf v dv 4冗 ve v dv2#T 08kT7m方均根速率Vs是V2的平均值的平方根:222.vs v v f v dv23/2mv2m22kT 2 .4 冗 v e v dv2水T03kT5m因此：vs3kTm由此可知，vm、v、Vs都与百成正比，与jm成反比。它们之比为:vs : v： vm323 : 2 :1 1.225:1.128:12以m 表示摩尔质量：m N0m故k/m R/m o因此vs也可以表为:3RTm由上式可以计算vs ,例如氮气在0c的vs为493m.s 1三、麦克斯韦速度分布率的应用麦克斯韦速度分布率为近

18、代许多实验（例如热电子发射实验和分子射线实验）所直接证实。麦克斯韦速度分布律有广泛的应用。 作为一个例子，计算在单位时间内碰到 单位面积器壁上的分子数，称为碰壁数。如图7.1所示，dA是器壁上的一个面积元，其法线方向沿x轴。以d dAdt 表小在dt时间内，碰到dA面积上，速率在dvxdxydvz范围内的分子数。这分子数 就是位于以dA为底，以vvx、xy、vz为轴线，以vxdt为高的柱体内，速度在dvxdxydvz在范围内的分子数。柱体的体积是 vxdAdt ,所以d dAdtfdvxdvydvzdAdt即：dfvYdvYdxvdv7x x y z对速度积分，Vx从0到，Vy和Vz从 到 ，

19、即可求得在单位时间内碰到单位面积的器壁上的分子数 为：dVydVz 0 VxfdVx将麦氏分布代入，求积分得:n(m2 kT)1/2VxvxedVx1 -上式也可表为：-nV41 _由式 nV可以求得，在1pn和0c下氮分子的每秒碰壁数为3 10234假设器壁有小孔，分子可以通过小孔逸出。如果小孔足够小，对容器内分子 平衡分布的影响几乎可以忽略，则单位时间内逸出的分子数就等于碰到小孔面积 上的分子数相同。分子从小孔逸出的过程称为泻流7.4能量均分定理一、能量均分定理的证明本节根据经典玻耳兹曼分布导出一个重要的定理 -能量均分定理，并应用能 量均分定理讨论一些物质系统的热容量。能量均分定理：对于

20、处在温度为 T的平衡状态的经典系统，粒子能量中每1一个平方项的平均值等于1kT 02由经典力学知道粒子的能量是动能 s和势能华之和。动能可以表示为动量的一、一、一1r C 一平方项之和： 小一 ai pi其中系数ai都是正数，有可能是%后的平均值为:2 i 1q1,q2, ,qr的函数，但与 P1,P2, ,Pr无关,1.2 a B d。， ，dqdp1, ,dpr2 iPih0r112a1 p1 eZ 2edq， ，dqrdp1, dpho由分部积分，可得:2ai Pi1 1Bed。， ，dqrdpi, ,dpe r2 B Z1ho2kT假如势能中有一部分可表示为平方项:1rh 2q 彳 b

21、iqi2 i 1q (qr 1,.，qr )其中bi都是正数，有可能是qr 1, ,qr的函数r r ,且式中的系数ai也只是 TOC o 1-5 h z qr 1, ,qr的函数，与q1, ,q无关，则可同样证明（qi的积分限是到 ）21b1 q1kT1kT 22这样就证明了，能量&中每一个平方项的平均值等于二、能量均分定理的应用应用能量均分定理，可以方便得求得一些物质系统的内能和热容量。下面举几个例子。单分子只有平动，其能量 （p2 py p2）有三个平方项。2m1、单原子分子理想气体3根据能量均分定理，在温度为T时，单原子分子的平均能量为：8 -kT2单原子分子理想气体的内能为：U 3N

22、kT2定容热容量Cv为Cv 3Nk25由热力学公式Cp Cv Nk,可以求得定压热容量Cp为：Cp -Nk2因此定压热容量与定容热容量之比 丫为：丫 CP 5Cv 3由实验数据可以看出，理论与实验符合得很好，但没有考虑原子内电子的运 动，原子内的电子对热容量没有贡献是经典理论不能解释的。2、双原子分子理想气体如果不考虑相对运动，根据能量均分定理，在温度为 T时，双原子分子的平5均能量为：& 5kT2双原子分子气体的内能和热容量为5 _ _57U -NkT, CV -Nk , CP - Nk222因此定压热容量与定容热容量之比 丫为：丫虫7 1.40CV 5由实验数据可以看出，除了在低温下的氢气

23、之外，理论与实验符合得很好。 氢气在低温下的性质经典理论不能解释。3、固体的性质根据能量均分定理，在温度为T时，一个原子的平均能量为% 3kT,以N表示固体中的原子数，固体的内能为： U 3NkT定容热容量为：CV 3Nk ,这个结果与杜隆、珀蒂在1818年由实验发现的结果相符。要使理论结果与实验结果能更好的比较，需要应用热力学公式：c T TVa2Cp CVKT4、辐射场的性质根据能量均分定理，温度为T时，每一振动自由度的平均能量为- kT。所以在体积V内，在dco范围内平衡辐射的内能为：V 2U d D（ ）kTddc这结果是瑞利（1900年）和金斯（1905年）得到的，称为瑞利-金斯公式

24、。根据瑞利-金斯公式，在有限温度下平衡辐射的总能量是发散的：V 2U U Wdwc/kTd0九c 0在热力学部分讲过，平衡辐射的能量与温度的四次方成正比，是一个有限值；UH4V因此上式与实验结果不符。平衡辐射的定容热容量也是发散的，这与常识不 符。导致这个荒谬结论的根本原因是，根据经典电动力学辐射场具有无穷多个振 动自由度，而根据经典统计的能量均分定理每个振动自由度在温度为 T时的平均 能量为kT。由此可见，经典物理存在根本性的原则困难。又有许综上所述，经典统计的能量均分定理既得到一些与实验相符的结果，多结论与实验不符。这些问题在量子理论中得到解决。 我们今后将逐个地讨论这 些问题。在历史上，

25、普朗克就是在解决平衡辐射的紫外困难时首先提出量子概念 的。7.5理想气体的内能和热容量一、用经典统计得到的能量均分定理与实验存在的矛盾上节根据经典统计的能量均分定理讨论了理想气体的内能和热容量，所得结果与实验结果大体相符，但是有几个问题没有得到合理的解释。 第一，原子内的 电子对气体的热容量为什么没有贡献； 第二，双原子分子的振动在常温范围内为 什么对热容量没贡献；第三，低温下氢的热容量所得结果与实验不符。这些问题 都要用量子理论才能解释。本节以双原子分子理想气体为例讲述理想气体内能和 热容量的量子统计理论。如果暂不考虑原子内电子的运动， 在一定近似下双原子分子的能量可以表为 平动能et、振动

26、能v ,转动能9之和:以3t、6、/分别表示平动、振动、转动能级的简并度，则配分函数Zi可表为:Z geltB ta et这就是说，总的配分函数t v r 氏 d q 3 3 3 et,v,rvBvrBrgt v ra e 出 e z z zvr乙可以写成平动配分函数Zit ,振动配分函数Ziv和转动配分函数Z；之积。二、用量子统计理论讨论双原子分子理想气体的内能和热容量双原子分子理想气体的内能为：lnZ_ t _ v _ r t v r(ln Z In Z lnZ U U U定容热容量为：eV （苫儿eV cj cr即内能和热容量可以表为平动、转动和振动等项之和首先考虑平动对内能和热容量的贡

27、献。平动配分函数 Z： : Z； V322 mlh2因此：Ut NlnZt - NkT CVt - Nk S 22上式与由经典统计的能量均分定理得到的结果一致。nw(n2)n Q1,2,振动配分函数为:nv B vB co/2B coa e e en 0利用公式：xnn 0 xn , x 11 x将上式中的因子ea看作x,可以将振动配分函数Ziv表达为:Z1ve 2/1因此振动对内能的贡献为：U v-In ZvN 3e3 1式中第一项是N个振子的零点能量,与温度无关；第二项是温度为T时N个振子的热激发能量。振动对定容热容量的贡献为:Cvv ANkWkT3/kT e3/kT . 21引入振动特征

28、温度, k(V0)可以上面二式表为：UvN -InZNk%VeT 1在一定的近似下双原子分子中两原子的相对振动可以看成线性谐振子 表示振子的圆频率，振子的能级为:0Ve一cVvNkT色 2eT 1理想气体的嫡一、用经典统计和量子统计得到的嫡为了简单起见，我们只讨论单原子理想气体的嫡。1、经典统计方法根据经典统计理论，可得单原子理想气体的嫡为：S Nk ln Z 0ln Z 3 NkT In T NklnV 3 Nk 1 In 2 -k B 22ho而且显然上式给出的不是绝对嫡，相应于ho的不同选择，嫡有不同的相加常数， 不符合广延量的要求。这是经典统计理论的又一个原则性困难。2、量子统计方法根

29、据量子统计理论，理想气体嫡函数的统计表达式为：S Nk lnZ BlnZ klnN!将Zi代入，并应用ln N! N In N 1的近似，可得单原子理想气体的嫡为:o 3 KII 丁 1 丁 K.1 V 3 . 5 . 2 TmkSNkT lnT Nkln Nk ln 一 TOC o 1-5 h z 2N 23 h2上式符合广延量的要求，而且是绝对嫡，其中不含任意常数。二、比较两种方法得到的嫡1、量子统计得到的嫡满足广延量的性质，而经典理论得到的嫡不满足:nSQm_3V 352 7mkSQ-NkTlnT Nkln-Nk -ln -mQ2N23 h2SC 3 NkT lnT2NklnV 1k 1

30、1n 鬻nSC,m2、量子统计得到的嫡为绝对嫡，而经典理论得到的嫡有不同的相加常数:3、若经典理论得到的结果中选择h0 h,同时计及粒子全同性的影响，则:SC33一 NkT lnT Nk lnV - Nk 122ln2 Tmkh2kln N!SQ3V35-NkTlnT Nkln - -Nk - In2 7mkh2三、单原子理想气体的化学势最后讨论单原子理想气体的化学势。以个分子的化学势:NkTlnZ kTlnN!NkT ln NkTNdFSdT PdV pdNFN T,VkTln N3/2T代入可得: 肝满足经典极限条件:对于理想气体有-VkTlnZ NkTln NV2m水丁h23/2h23/

31、22：imkT93/2h22：mkT1,所以理想气体的化学势是负的。固体热容量的爱因斯坦理论一、固体热容量前面讨论的理想气体是非定域系统， 在满足经典极限条件下遵循玻耳兹曼分 布。下面讨论定域系统，首先讲述固体热容量的爱因斯坦理论。能量均分定理给出固体的热容量为常数 3Nk ,所得结果在高温和室温范围与 实验符合。但在低温范围与实验不符，这是经典理论所不能解释的。爱因斯坦首 先利用量子理论分析固体热容量问题，成功地解释了固体的热容量随着温度下降 的实验事实。如前所述，固体中原子的热运动可以看成 3N个振子的振动。爱因斯坦假设 这3N个振子的频率都相同。以 表示振子的圆频率，振子的能量级为,1、

32、nw（n 一）n 0,1,2,2由于每一个振子都定域在其平衡位置附近作振动，振子是可以分辨的，遵从玻耳兹曼分布，配分函数为:_储&6co/2,/ B coZwle e /1 ei因此，固体的内能为:U 3Nin Zi 3N2 e 1上式的第一项是3N个振子的零点能量，第二项是温度为T时3N个振子的热激发 能量。定容热容量CV为：CV2C4ii 3w/kT / w/kT3Nk e / ekT引入爱因斯坦特征温度GE , k 0EWA 2 空eE可将热容量表为：Cv 3Nk : eT / eT 1因此根据爱因斯坦的理论，Cv随温度降低而减少，并且Cv作为里的函数是T个普适函数。二、讨论现在讨论式在

33、高温T a和低温T9e范围的极限结果。当T 生时，可以取近似e 1 /。由式得：T 生时，能级间距Cv 3Nk (2式和能量均分定理的结果一致。这个结果的解释是，当 远小于kT,能量量子化的效应可以忽略，因此经典统计是适用的。JE当T 生时，可以取近似eT 1 eT。由式得：n 2 eE/TA 2 CV 3Nk -2 3Nk - e ET e-T 12T当温度趋于零时，上式给出的Cv趋于零。这个结论与实验结果定性符合。但在定量上与实验符合得不好。7. 8顺磁性固体一、顺磁性固体的理论模型假设磁性离子定域在晶体的特定格点上， 密度比较低，彼此相距足够远，其 相互作用可以忽略。在这情形下顺磁性固体

34、可以看作是由定域近独立的磁性离子 组成的系统，遵从玻耳兹曼分布。我们只讨论最简单的情形，假定磁性离子的总角动量量子数为-,离子磁矩2在外磁场中能量的可能值为B （磁矩沿外磁场方向）和 B （磁矩逆外磁场方向）：因此，配分函数为：Zi eB e * 顺磁性固体的磁化强度可通过配分函数求出：M -lnZiB B式中n表示单位体积中的磁性离子数，B为H。将式代入式得：n iitanh kT-B B - B B eeM n m_TBFbee上式给出磁化强度M随磁场B和温度T的关系。、在弱场或高温极限下：在弱场或高温极限下 m / kT i ,e T 1然0kT ,式可简化为:2nB kT2对，就是熟知的居里定律，磁化率xaA三、在强场或低温极限下:在强场或低