非线性规划模型

1、第二节 非线性规划模型 在数学规划问题中，当目标函数或约束函数中至少有一个是非线性函数时称这类问题为非线性规划。 一、非线性规划的一般（标准）形式 设 均为 上的实值函数，我们称1为非线性规划的标准（一般）形式。 当目标函数及约束函数是线性函数时，（NLP）就变成（LP）。 如果令 称为可行域，则可（NLP）写成简单形式当 时称为无约束问题，否则称为约束问题。2无约束优化问题的Matlab解法求函数 的极小值。Matlab程序如下：function f=fun(x)f=100*(x(2)-x(1)2+(1-x(1)2;函数名Rosenbroken.m x0=-1.9,2; opt(6)=1;

2、x,opt=fminu(fun,x0,opt); f=opt(8)运行结果 x(1)=0.9999 x(2)= 0.9999 F(x)= 7.7199e-0163 某装饰材料公司欲以每桶2元的价钱购进一批彩漆 一般来说随着彩漆售价的提高，预期销售量将减少，并对此进行了估算，见表1。为了尽快收回资金并获得较多的赢利，装饰材料公司打算做广告，投入一定的广告费后，销售量将有一个增长，可由销售增长因子来表示。根据经验，广告费与销售增长因子关系见 表2。现在的问题是装饰材料公司采取怎样的营销 战略预期的利润最大？广告的费用及其效应4表1 表25 符号说明及问题的分析 设x表示售价（单位：元），y表示预期

3、销售量(单位：万桶），z表示广告费（单位：万元），k表示销售增长因子。投入广告费后，实际销售量记为s 获得的利润记为P（单位：元）。由表1易见预期 销售量 y 随着售价x 的增加而单调下降，而销售增长因子k在开始时随着广告费z的增加而增加，在广告费z等于50000元时达到最大值，然后在广告费增加时反而有所回落，为此可用Matlab画出散点图. 6文件名：graph1.mx=(2.0:0.5:6.0); y=4.1,3.8,3.4,3.2,2.9,2.8,2.5,2.2,2.0; plot(x,y,r*) title(售价和预期销售量关系图) xlabel(售价（元）) ylabel(预期销售量

4、（万桶）)文件名：graph2.m x=(0:1:7); y=1.0,1.4,1.7,1.85,1.95,2.0,1.95,1.80; plot(x,y,rp) title(广告费和销售增长因子关系图) xlabel(广告费（万元）) ylabel(销售增长因子) 7运行之后，可显示图-1，图-2 8图-9从图1和图2易见，售价x与预期销售量y近似于一条直线，广告费 z 与销售增长因子k近似于一条二次曲线。为此可令： y=a+bx k=c+dz+ez2 系数a，b，c，d，e是待定参数。模型的建立 投入广告费后，实际销售量s等于预期销售量y乘以销售增长因子k，即s=ky。所获得的利润：10我们

5、期望利润P达到最大，即11 由于目标函数不是线性函数，因此这一问题的数学模型为有约束条件的非线性规划模型。在日常生活中非线性规划问题要比线性规划问题普遍。模型求解 首先利用Matlab计算（1）（2）中的参数a，b，c，d，e，并画出散点图和拟合曲线。12文件名：yihe1.m x=(2.0:0.5:6.0); y=4.1,3.8,3.4,3.2,2.9,2.8,2.5,2.2,2.0; p,s=polyfit(x,y,1) plot(x,y,k*,x,polyval(p,x),k-) title(售价和预期销售量拟合图) xlabel(售价（元）) ylabel(预期销售量（万桶）)运行后得

6、结果：b=-0.5133, a=5.0422 (即直线方程为y=-5133x+50242)13图-3 14文件名：yihe1.m x=(0:1:7); y=1.0,1.4,1.7,1.85,1.95,2.0,1.95,1.80; p,s=polyfit(x,y,2) plot(x,y,kp,x,polyval(p,x),k-) title(广告费和销售增长因子关系图) xlabel(广告费（万元）) ylabel(销售增长因子)运行后得结果： e=-0.0426 d=0.4092 c=1.0188 即抛物线方程为 y=-0.0426*10(-10)x2+0.4092*10(-5)x+1.018

7、815 图-416 即： 其次用MATLAB求解优化模型，因MATLAB中仅能求极小值，为此将优化模型转化为且x=5.9113，z=33116，函数P达到最大值116655。 17Matlab程序如下：子函数nch221：function f=nch221(x) a=50422.2; b=-5133.33; c=1.01875; d=4.09226*10(-5); e=-4.25595*10(-10); f=x(2)-(c+d*x(2)+e*x(2)2)*(a+b*x(1)*(x(1)-2);子函数nch222：function c,cep=nch222(x) c=-x; cep=;文件名nc

8、h22.m x0=1,1;options = optimset(LargeScale,off);format long x,fval=fmincon(nch221,x0, , , , , , ,nch222,options)18第三节多目标规划模型在工程技术、生产管理以及国防建设等部门中，所遇到的问题往往需要同时考虑多个目标在某种意义下的最优问题 一、引例例2.9 投资问题。假设在一段时间内，有数量为B亿元的资金可用于投资，并由m个项目 可供选择。如果对第 个项目投资的话，需用资金 亿元，并可获得收益 亿元，试确定最佳投资方案。19解：所谓最佳投资方案是指：投资最少；收益最大。若令目标函数为求

9、：投资最少：收益最大：约束函数为：20二、多目标规划模型 多目标规划模型的一般形式为称之为多目标规划问题的数学模型。21若记 则上述模型可简记为22应当注意，在实际问题中，除所有目标函数都求最小值之外，还有其他情形存在，只要通过适当的变换，就可转化为上述情形，例如：（1）当所有目标函数都求最大值时，只须注意，求一个函数 的最大值可以转化为求这个函数的负函数 的最小值，便知这时的数学模型可以转化为 这还是（VP）的形式 （2）当对一部分目标函数求最小值，即其余目标求最大值时，不妨假定前 r个目标函数 都是求最小值；其余p-r个目标函数 都是求最大值； 23而约束集合都是R，于是这时的数学模型便可

10、转化为 这也是（VP）的形式。（3）当对一部分目标函数求最小值，对另一部分目标求最大值时，而其余目标函数则要求限制在一定范围即可时，我们可以假定 都求最小值； 都为求最大值；其余 的限制为 ，其中诸 及 均为常数；而约束集合仍是R。这时只要我们令24 便知这种情形的数学模型可以转化为 不难看出，这仍是（VP）的形式。此外还要注意，由 于 ，总可以写成 及 ， 因此为简单起见，有时也将（VP）干脆写成 其中25三、建模举例 例2.10 投资收益和风险问题（这是1998全国大学生数学建模竞赛的A题）。市场上有 种资产（股票、债券、） 供投资者选择，某公司有数额为 的一笔相当大的资金可用作一个时间的

11、投资。公司财务分析人员对 种资产进行评估，估算在这一时期内购买 的平均收益率为 ，并预测出购买 的损失率为 。考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的 中的最大一个风险来度量。26购买Si要付交易费，费率为pi，并且当购买额不超过给定值ui时，交易费按购买ui计算（不买当然无须付费）。另外，假定同期银行存款利率是r0，且既无交易费又无风险（r0=5%）。 （1）已知n=4时的相关数据如下：27试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金M，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。281、 模型的假设及符号说

12、明（1）模型的假设 在一个时期内所给出的 保持不变。 在一个时间内所购买的各种资产（如股票、证券等）不进行买卖交易，即在买入后不再卖出。 每种投资是否收益是相互独立的。 在投资过程中，无论盈利与否必须先付交易费。29（2）符号说明M（元）：公司现有投资总金额；Si（i=0n）：欲购买的第i种资产种类（其中i=0表示存入银行）；xi（i=0n）：公司购买Si金额； ri（i=0n）：公司购买Si的平均收益率；qi（i=0n）：公司购买Si的平均损失率；pi（i=0n）：公司购买Si超过ui时所付交易费率。30 2、 问题的分析 设购买Si的金额为xi，所付的交易费ci（xi）令c0（x0）=0

13、（1） 投资额M相当大，所以总可以假定对每个Si的投资 xi ui，这时（1）式可简化为 （2）31对Si投资的净收益 （3）对Si投资的风险 （4） 对Si投资所需资金（投资金额xi与所需的手续费ci（xi）之和）即 （5）32当购买Si的金额为xi（i=0n），投资组合x=（x0，x1，xn）的净收益总额 （6）整体风险： （7）资金约束： （8）333、多目标规划数学模型 我们的想法是净收益总额R（x）尽可能大，而整体风险Q（x）又尽可能小，则该问题的数学模型可归为多目标规划模型，即 （9）34模型（9）属于多目标规划模型，为了对其求解，可把多目标规划转化为单目标规划。 假定投资的平均风

14、险水平 ，则投资M的风险 ，若要求整体风险Q（x）限制在风险k以内，即Q（x）k，则模型（9）可转化为 （10） 35假定投资的平均收益率为 ，则投资M的收益 ，若要求总的收益R（x）大于等于h，即R（x）h，则模型（9）可转化为 （11）36假定投资者对风险收益的相对偏好参数为，则模型（9）可转化为： （12）将总收益R（x）与整体风险Q（x）相比，则模型（9）可化为： （13）37讨论题1、某工厂需采购某种生产原料，该原料市场上有A和B两种，单价分别是2元/kg和1.5元/kg，现需求所花的总费用不超过300元，购得原料总重量不少于120kg，其中A原料不得少于60kg。问如何确定最佳采购

15、方案，花最少的钱，采购最多数量的原料，试建立这个问题的模型。382、 选课策略某学校规定，运筹学专业的学生毕业时至少学习过两门数学课，三门运筹学课和两门计算机课，这些课程的编号、名称、学分、所属类别和先修课要求如下表所示，那么毕业时学生最少可以学习这些课程中的哪些课程？如果某个学生既希望选修课程的数量少，又希望所获得的学分多，他可以选修哪些课程？398预测理论2运筹学59数学实验3运筹学,计算机1,240模型建立设 表示选修课表中按编号顺序的9门课程（ 表示不选这门课程, ） 则问题的目标为选修课程为最少, 即 约束条件有1.至少选修两门数学课, 三门运筹学课和两门计算机课, 即41此外, 某些课程有先选的要求, 例如对最优