工程计算2插值和拟合

1、Summer Grass FadeArial Font Family2022/7/2912 插值和拟合2.1 引言2.2 插值2.3 分段低次插值2.4 三次样条插值2.6 离散数据的曲线拟合2022/7/2922.1 引言2.1.1 函数的插值2.1.2 离散数据的拟合插值和拟合都是在给定点列xi ，yi0n的条件下，按照某些原则，确定一个近似函数。二者的区别在于，插值要求给定点列必须在近似函数中，拟合则无此要求。 2022/7/2932.1 引言2.1.1 函数的插值 区间a，b上的连续函数的全体记为Ca，b 定义 2.1 设y=f(x) Ca，b ，已知f在Ca，b 上n+1个互异点ax

2、0, x1 , , xn-1, xn b xi xj （i j ）的值 yi=f(xi) （i =0，1，2， ，n ）如果有不超过n次的多项式 Ln(x)= c0+c1x +c2x2 +cnxn2022/7/2942.1 引言满足 Ln(xi) = yi （i =0，1，2， ，n ） (2.1)称Ln(x)为f(x)在区间a，b上通过点列xi , yi0n的插值多项式。其中， a，b称为插值区间， xi , yi0n称为插值节点， xi称为插值点， f(xi)称为插值函数 ， (2.1)称为插值条件。2022/7/2952.1 引言定理4.1 由式(4.1)确定的插值多项式Ln(x)存在唯

3、一。插值的工程背景 函数插值的基本问题： 存在性、 唯一性、 构造方法、 截断误差、 收敛性、 数值稳定性2022/7/2962.1 引言2.1.2 离散数据的拟合如果离散数据本身有误差。则不必强调近似函数一定通过所给定的序列。为此需要增加条件以确定近似函数y=(x ) (x)的选择，由此决定建立的是线性还是非线性数学模型。 如何确定数学模型中的参数拟合的基本问题：存在性、唯一性、构造方法、截断误差、收敛性、数值稳定性。 2022/7/2972.2 插值 2.2.1 拉格朗日插值法 2.2.2 插值的余项2.2.3 均差和牛顿插值 2022/7/2982.2 插值2.2.1 拉格朗日插值法 已

4、知点列xi ，yi0n，确定插值多项式 n=1时，点列包含2个点，x0，y0和x1，y1， 则只能做一条直线。 2022/7/2992.2 插值n=2时，点列包含3个点，x0，y0、x1，y1、x2，y2 可做不超过2次的多项式 2022/7/29102.2 插值推广到一般情况， 定义n+1个n次多项式 称为拉格朗日插值基函数。 2022/7/29112.2 插值插值基函数满足 (k，i=0，1，2， ，n) 插值函数为 如果取函数为f(x) =1，yk=1(k = 0,1,2, ,n)，则有 Ln(x) 1 拉格朗日插值导数连续，但在节点上的导数一般不等于原函数的导数 2022/7/2912

5、2.2 插值2.2.2 插值的余项 令 如果f(x)C2a，b，令 Rn(x) = f(x) Ln(x) 则则2022/7/29132.2 插值2.2.3 均差和牛顿插值 定义一阶差商 如果取点斜式，则得到另一种形式的插值公式。如n=1时 N1(x) = y0+ fx0，x1(xx0) 2022/7/29142.2 插值当n=2时，再定义一阶差商和二阶差商 并有 N2(x) = f(x0)+ fx0，x1(xx0) + fx0，x1，x2 (xx0) (xx1) 2022/7/29152.2 插值对一般情况，定义各阶差商 2022/7/29162.2 插值插值函数为 Nn(x) = f(x0)

6、 + fx0，x1(xx0) + fx0,x1,x2 (xx0) (xx1)+ + fx0,x1,xn (xx0) (xx1)(xxn) = f(x0) + fx0，x10(x) + fx0,x1,x21(x)+ + fx0,x1,xnn+1(x) 2022/7/29172.3 分段插值 2.3.1 龙格现象和分段线性插值 2.3.2 分段埃尔米特三次插值 2022/7/29182.3 分段插值 2.3.1 龙格现象和分段线性插值采用分段低次插值是消除龙格现象的有效方法，通常采用线性插值，三次插值等高阶插值可能出现龙格现象2022/7/29192.3 分段插值 定义2.2 函数f(x) Ca,

7、b，n+1个有序节点xi0n满足 称为区间a，b的一个划分。： a = x0 x1xn1xn= b x0和xn称为边界点，x1，xn1称为内点 中的相邻两点xi，xi+1构成区间a,b的子区间xi,xi+1 记子区间的最大长度 2022/7/29202.3 分段插值 则称分段线性函数 为f(x)在区间a,b上关于划分的分段线性插值多项式 其中插值基函数 当i=0时没有第1式，当i=n时没有第2式 。2022/7/29212.3 分段插值 在子区间xi，xi+1上，Ih(x)的表达式为 可以证明，只要h充分小，因而n充分大，就可在插值区间a，b上满足精度要求。即分段线性插值是一致收敛的。 分段线

8、性插值的一阶导数不连续。这点不如高阶插值 2022/7/29222.3 分段插值 2.3.2 分段埃尔米特三次插值 为保证导数连续，增加对导数的要求。当只有两个插值点，x0 x1，且 yk = f(xk)，mk = f (xk) k = 0，1 在区间x0，x1上求多项式H(x)，使得满足插值条件 H(xk) = yk，H (xk) = mk k = 0，1 因为有4个插值条件，因此插值函数H(x)为次数不超过3次的多项式，称为埃尔米特三次插值。 2022/7/29232.3 分段插值 定理 设f(x)C1x0，x1，则在区间x0，x1上满足插值条件的不超过3次的多项式H(x)存在唯一。并有H

9、(xk) = yk，H (xk) = mk k = 0，1 H(x) = 0(x) y0+ 1(x) y1+0(x) m0+1(x) m1 2022/7/29242.3 分段插值 其中插值基函数 2022/7/29252.3 分段插值 如果f(x)C4a，b，插值余项为 Rn(x) = f(x) Ln(x)= (xx0)2(xx1)2xx0，x1 这里：x=(x) (x0，x1) 2022/7/29262.3 分段插值 插值基函数满足的条件为 0(x0) =1，0(x1) =0，0 (x0) =0，0(x1) = 0 1(x0) =0，1(x1) =1，1 (x0) =0，1(x1) = 0

10、0(x0) =0，0(x1) =0，0 (x0) =1，0(x1) = 0 1(x0) =0，1(x1) =0，1 (x0) =0，1(x1) = 0 2022/7/29272.3 分段插值 定义2.3 设f(x)C1a，b，对于划分 记子区间的最大长度 ： a = x0 x1xn1xn= b yi = f(xi)，mi = f (xi) i=0，1，2， ，n 则称分段三次线性函数 Hh(x) = i(x) yi+ i+1(x) yi+1+i(x) mi+i+1(x) mi+1 x xi，xi+1，i=0，1，2，n1 为f(x)在区间a，b上关于划分的分段埃尔米特三次插值多项式。 2022

11、/7/29282.3 分段插值 其中插值基函数为2022/7/29292.3 分段插值 Hh(x) 满足边界条件 Hh(x0) = y0，Hh(x0) = m0Hh(xn) = yn，Hh(xn) = mn 和内节点处的衔接条件 Hh(xi0) = Hh(xi+0) = yi，Hh(xi0) = Hh(xi+0) = mi i=0，1，2，n1 2022/7/29302.3 分段插值 可以证明，如果f(x)C1a，b，则Hh(x)一致收敛到f(x)，且Hh(x)一致收敛到f (x)。 埃尔米特三次插值需要知道函数在插值节点处的函数值和导数值 2022/7/29312.4 三次样条插值 2.4.

12、1样条插值的背景和定义 2.4.2 三次样条插值的定解条件 2.4.3 三弯矩方程 2022/7/29322.4 三次样条插值 2.4.1样条插值的背景和定义 埃尔米特三次插值需要知道函数在插值节点处的函数值和导数值，而且二阶导数不连续。 定义2.4： 对于区间a，b， 给定一个划分 ： a = x0 x1xn1 0， i 0 ，i + i = 1，因此，系数矩阵A是三对角或仅比三对角多两个元素的严格对角占优矩阵，解存在其数值稳定。 2022/7/29462.4 三次样条插值 三弯矩方程算法 输入参数：区间a，b划分 函数在节点处的函数值 ： a = x0 x1xn1xn= b yi = f(

13、xi) i=0，1，2， ，n 边界条件类型 2022/7/29472.4 三次样条插值 计算参数 hi= xi+1 xi fxi，xi+1 = (xi+1 xi)/ hi i=0，1，2， ，n1 2022/7/29482.4 三次样条插值 根据边界条件类型计算 M0 = f (x0) Mn = f (xn) 2022/7/29492.4 三次样条插值 求解与边界条件对应的三弯矩方程把求得的弯矩值代入，即得到三次样条插值多项式。而且还可得到它的导数s(x)和s(x)。 2022/7/29502.6 离散数据的曲线拟合 2.6.1 线性模型与最小二乘法 2.6.2 正规方程和解的存在唯一性20

14、22/7/29512.6 离散数据的曲线拟合在生产与科研中，常给出一组离散数据 (x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)要确定变量x与y的函数关系y = f(x) 近似方法一： 构造插值多项式Pn(x)，使Pn(xi)=yi (i =0，1，n)特点是构造的函数必须满足给定数对的关系。从几何上看，构造的曲线必须通过给定的n+1个点。2022/7/29522.6 离散数据的曲线拟合近似方法二：曲线拟合。已知n个观测数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)求一个多项式P(x)能最好地反映这些点的总趋势。 不要求构造的曲线必须通过给定的n个点2022/7/29532.6 离散数据的曲

15、线拟合例 假设数据点(xi，yi)( i =1，2,，n)大致成一条直线，此时拟合曲线为一直线，它从这些点附近通过，设此拟合直线为 y* = a + bx 显然，一般有 y* (xi) = a + bxi yi 记 ei = yi y* (xi) i =1，2,，n e = e1，e2，enT称为残差向量。 2022/7/29542.6 离散数据的曲线拟合欲使拟合效果最好，应该使残差e按照某种标准达到最小。常用的标准有 常用的标准有 | e|1 = | e|2 = 1范数 2范数 | e| = 范数 2022/7/29552.6 离散数据的曲线拟合通常用2范数，作为残差度量的标准。 称使|e|

16、2 达到最小的曲线拟合方法为曲线拟合的最小二乘法求一条直线y=a + bx ，即求a、b，使 Q(a，b) = 2022/7/29562.6 离散数据的曲线拟合最小值时的a、b满足得到 2022/7/29572.6 离散数据的曲线拟合令 由于 X=x1，x2，xnT，Y=y1，y2，ynT 2022/7/29582.6 离散数据的曲线拟合有 解得 a = y xb 2022/7/29592.6 离散数据的曲线拟合定义 已知m+1对离散数据 xi，yi 0m,和权数 wi 0m，记 在Ca，b中选定n+1个线性无关的基函数k(x)0m，由它们张成的子空间为 = span0(x)，1(x)，n(x

17、) 2022/7/29602.6 离散数据的曲线拟合如果有 使得 则称* (x)为离散数据 xi，yi 0m在子空间中带权 wi 0m的最小二乘拟合。 由于* (x)是基函数的线性组合，称为线性最小二乘问题。 2022/7/29612.6 离散数据的曲线拟合令 问题转为求多元函数I(0，1，n)的极小点(0*，1*，n*)，使得 2022/7/29622.6 离散数据的曲线拟合 2.6.2 正规方程和解的存在唯一性上式有解的必要条件是 l =0，1，2， ，n 即2022/7/29632.6 离散数据的曲线拟合 令m+1维向量 并令 2022/7/29642.6 离散数据的曲线拟合 即 称为正

18、规方程(法方程)。记系数矩阵为G，n+1维向量 d=(y,0)，(y,1)，(y,n)T，= 0,1，nT 正规方程可写为 G = d。 2022/7/29652.6 离散数据的曲线拟合 因此最小二乘法存在唯一解的必要条件是正规方程的系数矩阵G非奇异。 定理：格兰姆(Gram)矩阵非奇异的充分必要条件是向量组k0n线性无关。 注意：k(x)0n在Ca，b上线性无关，不能保证向量组k0n线性无关。 实际中总取nm。因此，向量组k0n中的向量个数远远小于向量的维数 系数矩阵G称为格兰姆(Gram)矩阵，它是对称矩阵。 一般 k0n总是线性无关，格兰姆矩阵是非奇异的。 2022/7/29662.6 离散数据的曲线拟合 设k0n线性无关，它的生成空间为 V=span0，1，n函数I(0,1,n) 用向量的2-范数(欧氏范数)表示为 I(0，1，n) = | y | 22， V 2022/7/29672.6 离散数据的曲线拟合 因此极值问题 使得 等价于在向量空间V中求 2022/7/29682.6 离散数据的曲线拟合 定理 设向量组k0n线性无关，(0*，1*，n*)是正规方程的解，则 满足 并有 e2=|y*|22为曲线拟合的平方误差。 2022/7