工程流体力学5

1、工程流体力学 主讲: 冯 进 15 粘性流体动力学 流体作为特定形态的物质，其流动过程必然遵循物质运动的基本原理，包括质量守恒、动量守恒、能量守恒原理等。本章将以控制体系统分析方法，建立流体流动系统质量守恒、动量守恒和能量守恒的微分方程和积分方程。 25.1 基本概念 与研究流体质点运动的拉格朗日方法和欧拉方法相对应，在研究流体运动的宏观行为时，既可在流场中选定部分流体即系统为对象，也可选择确定的流场空间即控制体为对象。为此，有必要首先说明系统与控制体这两个概念之间的区别与联系。 3一、系统 1.系统定义 系统就是确定不变的物质集合。系统以外的物质称为外界，系统与外界的分界面称为边界。系统可通

2、过边界与外界发生力的作用和能量交换，但不发生质量交换，即系统的质量是不变的。 2.特点 1).系统的质量不变,通过边界与外界发生力的作用和能量交换。 2).对于流动过程，系统边界形状也会不断发生变化。4二、控制体 1.控制体的定义 控制体就是根据需要所选择的具有确定位置和体积形状的流场空间。控制体的表面称为控制面。在控制面上不仅可以有力的作用和能量交换，而且还可以有质量的交换。 2.特点 1).具有确定位置和体积形状的流场空间； 2).在控制面上有力的作用和能量、质量的交换。5三、输运公式 基于“系统”的基本原理之所以要转换成适用于“控制体”的表达形式，是因为控制体的质量是变化的，因此这种转换

3、只涉及与质量成正比的量，即系统质量、动量和能量，它们以时间变化率的形式出现在基本原理表达式中 。 为直观起见，以系统的质量变化率为例来导出输运公式。 6即：关于质量的输运方程为：7 上式中，等式左端表示系统的质量变化率，等式右端第一项表示控制体内质量对时间的变化率，等式右端第二项表示净流出控制体的质量流量，净流出控制体的质量流量等于流出控制体的质量流量-流入控制体的质量流量。 85.2 质量守恒方程（连续性方程） 一、质量守恒方程的微分形式 9 如上图所示，在直角坐标下建立质量守恒方程。首先考察x方向的净质量流量: 10同理在y和z方向的净质量流量有: 控制体内的质量对时间的变化率：11因此，

4、根据输运方程，有:这就是质量守恒方程的微分形式。 12二、质量守恒方程的积分形式 在时刻t,控制体内流体有一定质量，若在dt时间内流出控制体的质量,大于流入的质量，则控制体内的质量减少，反之则增加。因此质量守恒定律可表述为：（单位时间内流出控制体的质量）(单位时间内流入控制体的质量)+单位时间内控制体质量的变化率=0。13 流出和流入控制体的质量的代数和称为净流出控制体的质量： 控制体内的质量对时间变化率： 14 故： 这就是流体力学质量守恒方程的积分表达形式。根据面积积分与体积积分的关系，有： 15 要满足上式积分等于零，必有： 这就是质量守恒方程的微分形式。当稳态流动时，流体参数与流动参数

5、均与时间无关，这时质量守恒方程为: 16 当流体为不可压缩均质流体时，连续性方程为: 例：试证下列不可缩流体运动存在的可能性。 17三、质量守恒方程的特殊形式 对于流管（如图示），我们研究过流截面S1和过流截面S2之间的控制体系统的质量。通过过流截面S1单位时间流入控制体系统的质量m1，即： 18 通过过流截面S2单位时间流入控制体系统的质量m2，即： 则控制体系统的质量对时间的变化率为： 19 根据输运方程和质量守恒方程，有： 稳态流动时，质量守恒方程简化为： 20 当过流截面S1和过流截面S2上各点的速度方向与法线相重合且流速相等和密度不变时，稳态流动的质量守恒方程简化为： 当过流截面S1

6、和过流截面S2上各点的速度方向与法线相重合且流速相等时，不可压缩均值流体的质量守恒方程简化为： 21 例1：如图所示的一不可压缩流体通过圆管的流动，体积流量为Q，流动是定常的。 (1) 体积流量为Q=0.4m3/s，假定截面l，2和 3上的速度是均匀分布的，在三个截面处圆管的直径分别为D1=0.4m 、D2=0.2m 和D3=0.6m，求三个截面上的速度。 (2)若截面1处的流量为Q=0.4m3/s，但密度按以下规律变化： 20.61， 31.21 求三个截面上的速度值。 22 例2：已知粘性流体的动力粘度为，在圆管中作层流流动时的速度分布为： 求： (1)过流截面上的流量； (2)单位长度圆

7、管对流体的阻力； (3)在管内rr0/2处沿圆管每单位长流体的内摩擦力。 234.3 运动方程 一、运动方程的微分形式 1.流体中的应力24 流体力学表示应力的方法与固体力学相同，用表示正应力，表示切应力。用第一 个下标表示应力承受面的外法线方向，第二个下标表示应力方向。应力分量的正负按下述规则确定：在外法线方向与某一坐标轴正向相同的承受面上，方向与坐标轴正向相同的应力分量为正，与坐标轴正向相反的应力分量为负。在外法线方向与某坐标轴正向相反的承受面上情况相反。 252.运动方程 首先研究X方向的动量变化情况，在X方向上受到的应力如图示：26同理在Y和Z方向有： 将运动方程的三个分量方程用矢量方

8、程表示： 27将运动方程的三个分量方程用矢量方程表示：式中P为二阶应力张量，其具体形式为： 28二、运动方程的积分形式 任取一体积为V、边界面积为S的控制体系统。根据动量原理，动量的变化率等于作用于该体积上的质量力和表面力之和。以 表示作用在单位质量上的质量力分布函数，以 表示作用在单位面积上的面力分布函数(如图示)， 。29则作用在V上的总质量力为：S上的总面力为： 30控制体系统内的动量是：于是，动量定理可以写成下列表达式： 31其中： 32因此：这就是运动方程的积分形式。又因：33故：这就是运动方程的微分形式。 34三、本构方程 1.剪应力互等定理 35 1.剪应力互等定理 考虑流场中的

9、微元流体，其瞬时转动中心为C，微元体所受到的力有质量力，切向粘性应力和正应力，质量力和正应力线通过瞬时转动中心，对合力矩的贡献为零，只有切向粘性力能产生使微元体旋转的力矩。首先考查对过转动中心并平行于Z轴的转动轴的力矩，即：3637 而MZ=ICZZ， ICZ绕过中心并平行于Z轴的转动轴的转动惯量，Z Z方向的角加速度。ICZ为长度尺寸的五次方，当x0, y0, z0时, ICZ0。故有 ，也就是剪应力互等。同理有： 382.剪应力的大小 根据材料力学知识，剪应力等于剪切模量剪应变,仿照此方法,根据stokes假设：牛顿流体弹性固体对应关系: 牛顿流体 弹性固体 正应力 正应力 剪应力 剪应力

10、 线应变率 线应变 角应变率 角应变 粘度 剪切模量39流体的剪应力=粘度剪应变率，即： 40 3.正应力 根据广义虎克定律，对于各向同性的弹性固体，其应力与应变存在如下关系： （1） （2） （3）41泊松比。三式相加，整理得：弹性固体的G、E、有如下关系：42对于式 43 对牛顿流体有： 由于流体静止时，压强各个方向相等，应变率为零，故设： 4445式中：46四、运动微分方程几种形式 1.运动微分方程的一般形式 472. 常粘度的运动微分方程483. 不可压缩流体的运动微分方程49当不可压缩流体的粘度不变时 50 例：设某一流体流动为: ux=2y十3z，uy3z十x，uz=2x十4y 该

11、流体的粘性系数0.008Nsm2，求其切应力。515.4 能量方程 任取一界面为S的流体团，其体积为V，设 为界面的外法线单位矢量。根据能量守恒定律，体积V内流体的动能和内能对时间改变率等于单位时间内质量力和面力所作的功加上单位时间内给予体积V的热量。因此，体积V的动能和内能总和是： 52 其中U是单位质量的内能。单位时间质量力和面力所作的功则是： 53 现在来研究体积V热量的增加，传热方式主要有热传导和热辐射两种，根据富利叶公式，单位时间内由于热传导通过表面ds传给V的热量是: f是热流矢量，它是温度梯度的线性函数，即： K热传导系数，一般为二阶张量。对于空气和水这类各向同性流体， ，k为热

12、传导系数。54 单位时间内由于热传导通过表面S传给V的热量为： 设q为由于热辐射或其它原因在单位时间内传给单位质量流体的热量分布函数，则单位时间内由于热辐射或其它原因传给V的热量为： 55能量守恒定律可以写为： 这就是能量方程的积分形式。在上式中：56能量守恒定律又可以写为： 由于V是任意的，故： 这就是能量方程的微分形式。 57对N-S方程两端点乘矢量 ，得: 将上式代入微分形式能量方程，得：58称耗散函数 微分形式能量方程变为： 根据连续性方程， ，因此有59根据热力学理论 S称为熵，i称为焓。微分形式能量方程变为：60 等容过程时 ，CV为等容比热，这时能量方程为： 等压过程时 ，Cp为等压比热，这时能量方程为：615.5 状态方程 由前面建立的连续性方程、运动方程和能量方程可以看出，当流体为不可压缩流体时变量