工程制图之投影变换

1、第六章 投影变换6-1 概述 6-2 变换投影面法 6-3 旋转法16-1 概 述 当空间几何元素对投影面处于特殊位置时，则其投影或反映其真实形状，或具有积聚性 。本章引入投影变换的方法来达到上述目的。 当我们图示、图解一般位置的空间几何元素及其相互间的定位和度量问题时，如能把它改变成特殊位置，则问题就可能比较容易地获得解决 。2投影变换的方法 1 正投影变换 用改变几何元素与投影面体系的相对位置来达到投影变换的目的。 1）变换投影面法(换面法)保持几何元素的位置不动，而建立新的直角投影面体系 。2）旋转法 保持原直角投影面体系不动，将空间几何元素绕某个选定的轴旋转 。3斜投影变换 保持投影面

2、和空间几何元素的位置不动，改变投射方向(即采用斜投影)，使空间几何元素在投影面上的新投影有利于解题 。本章主要介绍正投影变换 46-2 变换投影面法(换面法)6.2.1 换面法的基本概念 新投影面的选择应符合下列两个条件： 1)新投影面必须垂直一个原有的投影面。 2)新投影面对空间几何元素应处于有利于解题的位置。 56.2.2 点的投影变换 2.2.1 点的一次变换 1换V面 VHXV1HX1aaaxax1a1 旧投影体系 XVH 新投影体系V1HX1A点的两个投影：a,aA点的两个投影：a,a16XVHaaaxa1ax1.X1H1VO1O2换H面 点的换面规律： 1)点的新投影和保留投影的连

3、线垂直于新投影轴； 2)点的新投影到新投影轴的距离等于被替换的投影到旧投影轴的距离 。7先把V面换成平面V1， V1H，得到中间新投影体系:V1HX1 再把H面换成平面H2， H2 V1，得到新投影体系: X2 V1 H 2 新投影体系的建立AaVH aaxXX1V1a1ax1H2X2ax2a2按次序更换6.2.2.2 点的二次换面 8ax2 aaXVH 求新投影的作图方法a2X1HV1X2V1H2 作图规律：a2a1 X2 轴； a2ax2 = aax1a1axax1#*.二次换面作图步骤： 1）定出新投影轴11；2）根据点的换面规律，求出新投影1；3）作新投影轴22；4）根据点的换面规律，

4、求出新投影2，5）2即为变换后的新投影。 96.2.3 直线的换面 2.3.1 直线一次换面的两个基本作图问题 1把一般位置直线变换为投影面平行线 反映直线的实长和对投影面的倾角。 10例1已知：直线AB的两投影、， 试求：直线AB的实长和角 。分析： 直线AB为一般位置直线，欲求直线AB的实长和角，应建立新的投影面体系1/，使直线AB成为新投影面1的平行线 (1)。 V1X1HVAB a baba1b1X11 1）作11； 2）按点的换面规律，求出新投影1、1； a babXVHX1HV1a1.b1作图步骤： 3）求实长：11即为直线的实长 ； 4）求角：11与11轴的夹角 即为直线AB与H

5、面的夹角。 12用换面法求直线AB的实长和对V面的夹角。 132把投影面平行线变换为投影面垂直线 把投影面平行线变换为投影面垂直线，是为了使直线投影成为一个点，从而解决与直线有关的度量问题(如求两直线间的距离)和定位问题(如求线面交点)。 14例2已知正平线AB的两投影， 试把它变为投影面垂直线。 分析：直线AB为正平线，应将AB变换为新投影面1的垂直线 ,因，而新投影面要垂直AB又必须垂直一个投影面，所以只能设置新投影面1，且1，即建立新投影体系/1。 15作图步骤：1）作11；2）按点的换面规律，求出新投影1、1（1与1重合）。 16 把一般位置直线变换为投影面垂直线，只经过一次换面是不能

6、实现的，因为垂直于一般位置直线的平面是一般位置平面，它与原有的两个投影面均不垂直，不能构成正投影体系，所以需要经过两次换面。第一次： 将一般位置直线变为新投影体系中的投影面平行线。第二次： 将投影面平行线变为另一投影体系中的投影面垂直线。 6.2.3.2 直线两次换面的基本作图问题 17a1b1a babXVHX1HV1V1H2X2作图步骤： a2 (b2 ).先变换V面然后再换H面VH aaXB bbAX1V1a1b1X2V2A2(b2 )ax2例3已知一般位置直线AB的两投影，试将其变换为新投影面的垂直线 分析：要把一般位置直线变换为投影面垂直线，须经过两次换面 3）作2211；1）作11

7、；2）求出新投影1、1；4）求出2、2（2与2重合）。 182.4.1 把一般位置平面变换成投影面垂直面 如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。空间分析： 在平面内取一条投影面平行线，经一次换面后变换成新投影面的垂直线，则该平面变成新投影面的垂直面。作图方法：6.2.4 平面的换面19例1已知一般位置平面ABC的两投影， 试求该平面对H面的倾角。 分析：欲求一般位置平面对H面的倾角，应当保留H面，用1面替换V面，建立1/新投影体系，使平面成为新投影面1的垂直面。 X cbcdHBCD a baVA dV1X1c1b1a1（d1）20例1已知一般位置平

8、面ABC的两投影， 试求该平面对H面的倾角。 HV1X1dd1a1（d1）c1.a a ccbXVHd bX cbcdHBCD a baVA dV1X1c1b1a1（d1）21例求平面ABC的角作图过程： 在平面内取一条正平线AD。 将AD变换成新投影面的垂直线。226.2.4.2 把投影面垂直面变换为投影面平行面例3试求铅垂面的实形 分析：欲求铅垂面的实形， 应建立1/新投影体系， 并使1， 即把变换为 1/体系中1的平行面。 23作图步骤：1）作11；2）求出新投影 111；3）求实形：111即反映的实形。 24 右图表示了把正垂面变换成/1体系中1的平行面的作图方法。注意：新投影轴11

9、bac。 256.2.5 换面法的应用 应用换面法解题时，首先分析已知条件和待求问题之间的相互关系，再分析空间几何元素与投影面处于何种相对位置时，解题最为简便，进而确定需几次换面及换面顺序。 26例1:试求平面ABC的实形和角 必须经过两次换面，先将它变换为新投影体系中的投影面垂直面，再将它变换为另一投影体系中的投影面平行面。 换面顺序 /12/1 27例2 已知直线AB与平面CDE平行，试求它们之间的距离。 将平面CDE变换为投影面垂直面，则BK变换为投影面平行线。 空间及投影分析： 1）把CDE平面变换为H/V1体系中的投影面垂直面，求得d1c1e1（积聚为直线）； 2）求出a1b1； 3

10、）求距离（）：作1k1 c1d1e1则1k1反映实长。 4）求BK的原投影、。 28例3 求两相错直线间的最短距离。 欲求两相错直线间公垂线MN的实长，应将MN变换为新投影体系中的投影面平行线。有两种解题方法： 空间及投影分析：1包含两相错直线之一作另一直线的平行平面 ，则线面间的距离即为两直线之间的距离（如右图）。292将直线AB或CD变换为新投影体系中的投影面垂直线 ：1）直线AB经过两次投影变换，变成1/2体系中的投影面垂直线2、2。2）求距离MN的实长。由点2（2）向22作垂线22，22反映AB、CD两直线间距离的实长，1122。3）求MN的原投影和。30例4：求平面ABC和ABD的夹

11、角。31分析：两平面的夹角以其二面角度量，而二面角所在平面与该两平面垂直，亦即与该两平面的交线垂直。为求出该二面角，需将两平面变换成投影面垂直面，即把两平面的交线变换成投影面垂直线。 作图步骤：1）把两平面的交线AB经两次变换成1/2体系中的垂直线，求得2（2），随之求得2、2。2）求夹角：22（）2。 326- 旋转法 空间点A绕直线OO旋转，点A称为旋转点，直线OO称为旋转轴。 自A点向OO轴引垂线，其垂足O称旋转中心，AO称旋转半径，A点的旋转轨迹是以O为圆心，以AO为半径的圆周，称为轨迹圆，轨迹圆所在的平面与旋转轴垂直。 33 按旋转轴与投影面的相对位置不同，旋转法分为：1)绕垂直于投

12、影面的轴线旋转，简称绕垂直轴旋转。2)绕平行于投影面的轴线旋转，简称绕平行轴旋转。3)绕一般位置的轴线旋转。346.3.1 点的旋转 如图所示，点A绕垂直于V面的OO轴(正垂轴)旋转，其V投影反映轨迹圆实形，而H投影为过A点且平行于X轴的直线段，其长度等于轨迹圆的直径。 35 如图所示，点A绕铅垂轴旋转，其H投影反映轨迹圆实形，即H投影沿圆周旋转角到1，其V投影沿投影轴的平行线移动至1 ，1 。 由上可知点的旋转规律：当点绕垂直轴旋转时，点在与旋转轴垂直的那个投影面上的投影作圆周运动，而另一投影则沿与旋转轴垂直的直线移动。 366.3.2 直线的旋转 直线的旋转，仅需使属于该直线的任意两点遵循

13、绕同一轴、沿相同方向、转同一角度的规则作旋转，然后，把旋转后的两个点连接起来。 37 1)直线绕垂直轴旋转时，直线在旋转轴所垂直的投影面上的投影长度不变。 2)直线对旋转轴所垂直的那个投影面的倾角不变。 3)直线在旋转轴所平行的投影面上的投影长度及对该投影面的倾角都改变。直线旋转的基本性质 386.3.2.1 把一般位置直线旋转成投影面平行线 直线绕垂直轴旋转一次，就能改变直线对一个投影面的倾角，因此，用绕垂直轴旋转的方法，求一般位置直线的实长及对投影面的倾角时，只要旋转一次即可实现。 39分析：欲求一般位置直线AB的实长和角，需把直线AB绕铅垂轴旋转成正平线。为了作图简便，使该轴过直线的一个

14、端点，如A点，那么，只旋转B点即可。 例1已知一般位置直线AB的两投影， 试求直线AB的实长和角。 40例2已知一般位置直线AB的两投影， 试求直线AB的角。 分析：欲求一般位置直线的角，需把直线AB绕正垂轴旋转成水平线。 416.3.2.2 把投影面平行线旋转成投影面垂直线 某投影面的平行线绕该投影面的垂直轴旋转时，始终保持与该投影面平行，而能改变对另一投影面的倾角。所以投影面平行线可经一次旋转为投影面垂直线。 42 分析：正平线和铅垂线都平行于V面，因此，在旋转过程中，直线对V面的倾角应保持不变，只改变它对H面的倾角，所以应取正垂线为旋转轴。 例3试将正平线AB旋转成为铅垂线 436.3.

15、3 平面的旋转 平面的旋转是通过旋转该平面所含不共直线的三个点来实现的，旋转时，必须遵循同轴、同方向、同角度的规则。 44平面的旋转性质：1)平面绕垂直轴旋转时，平面在旋转轴所垂直的投影面上的投影，其形状和大小都不变。2)平面对旋转轴所垂直的那个投影面的倾角不变。3)平面的另一个投影，其形状和大小发生改变，并且，该平面对旋转轴所不垂直的那个投影面的倾角也改变。456.3.3.1 把一般位置平面旋转成投影面垂直面 只要将平面内的一条投影面平行线旋转成垂直于某投影面，则平面就垂直于该投影面。 46 分析：欲求一般位置平面ABC对V面的倾角，须将平面ABC旋转成为铅垂面。 只要将平面内的一条正平线CD绕正垂轴(含C点)旋转成为铅垂线即可。例1试求一般位置平面ABC对V面的倾角。 47例2试求一般位置平面ABC对H面的倾角。 分析：把平面ABC旋转成为正垂面。 只要将平面内的一条水平线CD绕铅垂轴（含C点）旋转成为正垂线即可。 486.3.3.2 把投影面垂直面旋转成为投影面平行面 投影面垂直面绕同一投影面的垂直轴旋