电磁场课件4 边值问题、分离变量法、有限差分法

1、电磁场欢迎(hunyng)学习共四十四页电介质在外电场作用下发生极化(j hu)，形成有向排列的电偶极子， 并在电介质内部和表面形成极化电荷。式中， 为体积元 内电偶极矩的矢量和，P 的方向从负极化电荷指向正极化电荷。无极性分子有极性分子电介质的极化用极化强度 P 表示电介质的极化程度，即C/m2电偶极矩体密度1.2.2 静电场中的电介质共四十四页1.2.3 电介质中的静电场电介质中的高斯定理应写为：自由电荷极化电荷真空(zhnkng)中的高斯定理为：当有电介质存在(cnzi)时，电场可看成是自由电荷和极化电荷共同在真空中引起的。+SEqqP共四十四页自由电荷(z yu din h)：极化电荷

2、：代入，得引入：定义(dngy) D 为电通量密度，或电位移矢量，则高斯定律一般式为 电介质中的高斯定律整理，得共四十四页1.3 静电场的基本方程(fngchng)分界面上的衔接条件1.3.1 静电场的基本(jbn)方程静电场是一个无旋、有源场，静止电荷就是静电场的源。数学模型为：环路定理高斯定律积分形式微分形式引出计算量电场强度 E 的环路线积分恒等于零。电通量密度D的闭合面积分等于该面内所包围自由电荷的总电量。无旋场有源场共四十四页包围点 P 作高斯面 ( )。1.3.2 分界面上(min shn)的衔接条件（边界条件)1. D 的衔接(xinji)条件则有根据媒质分界面分界面两侧的电通量

3、密度 D 的法向分量不连续，其不连续量就等于分界面上的自由电荷密度。当 时， 电通量密度 D 的法向分量连续。共四十四页2. E 的衔接(xinji)条件围绕点 P 作一矩形回路( )。 E 的切向分量连续。根据则有媒质分界面分界面(jimin)两侧电场强度 E 的切向分量连续，即两媒质相交面切向方向电场强度 E 相等。共四十四页3. 折射(zhsh)定理折射定律分界面上 E 线的折射在媒质交界面上，若 则，它适用于无自由电荷分布(fnb)的两种电介质分界面。共四十四页4、 的衔接条件设 P1 与 P2 位于分界面两侧， 因此分界面电位(din wi)连续得 电位的法向导数不连续又由于 ，电位

4、的衔接条件即共四十四页说明 （1）导体表面是等位(dn wi)面，E 线与导体表面垂直；导体与电介质分界面例1 试写出导体与电介质分界面上的衔接(xinji)条件。 解: 分界面衔接条件导体中 E0 ，分界面侧（2）导体表面上任一点的 D 等于该点的 。共四十四页解：忽略(hl)边缘效应图(a)图(b) 例2 试求两个(lin )平行板电容器的电场强度。平行板电容器共四十四页实际电工中经常遇到的问题： 给定空间某一区域内的电荷分布（或无电荷），同时给定该区域边界上的电位(din wi)或电场（边值，或称边界条件），在这种条件下求该区域内的电位或电场强度分布。1.4 边值问题、惟一(wiy)性定

5、理接地金属槽的截面y例：试求长直接地金属槽内电位的分布。 静电场的边值问题 共四十四页1.4.1 泊松方程(fngchng)与拉普拉斯方程(fngchng)泊松方程拉普拉斯算子拉普拉斯方程当r =0时所有静电场问题(wnt)的求解都可归结为在一定条件下寻求泊松方程或拉普拉斯方程的解的过程。共四十四页1.4.2 边值问题（Boundary Problem)边值问题微分方程(wi fn fn chn)边界条件初始条件场域边界条件分界面(jimin)衔 接条件 强制边界条件 有限值自然边界条件 有限值泊松方程拉普拉斯方程共四十四页场域边界条件1）第一类边界条件(tiojin)（狄里赫利条件(tioj

6、in)，Dirichlet)2）第二类边界条件(tiojin)（诺依曼条件(tiojin) Neumann)3）第三类边界条件已知边界上电位及电位法向导数的线性组合已知边界上导体的电位已知边界上电位的法向导数(即电荷面密度 或电力线)共四十四页例1 试写出长直同轴电缆(tn zhu din ln)中静电场的边值问题。 解：根据(gnj)场分布的对称性确定计算场域，边值问题（阴影区域）缆心为正方形的同轴电缆共四十四页通解例2 求带电球体产生的电位(din wi)及电场。解：采用球坐标系,分区域建立(jinl)方程边界条件参考电位体电荷分布的球体 共四十四页电场强度（球坐标(zubio)梯度公式）

7、：得到(d do)共四十四页泊松方程(fngchng)所有(suyu)静电场问题的求解都可归结为在一定条件下寻求泊松方程或拉普拉斯方程的解的过程。(解二阶偏微分方程)微分方程边界条件外边界条件内分界条件 环路定律高斯定律静电场定解问题小结：静电场定解问题（边值问题）静电场定解问题静电场定解问题共四十四页答案(d n):（C ）反证法1.4.3 惟一(wiy)性定理（Uniqueness Theorem)例1.4.3 图示平板电容器的电位，哪一个解答正确？惟一性定理 ： 在静电场中，满足给定边界条件的电位微分方程的解是惟一的。平板电容器外加电源U0共四十四页电磁场问题(wnt)求解电磁场问题可以

8、分为电磁场分析(fnx)（正问题）、逆问题（含优化设计问题）和电磁场工程三个部分。求解电磁场问题的方法，归纳起来可分为三大类，分别是解析法、数值法和半解析数值法。 数值计算方法包括有限元法（FEM）、时域有限差分法（FDTD）、矩量法（MOM）和边界元法等 ；解析法包括积分法、分量变量法、镜像法、电轴法等 ；半解析数值法是解析法和数值法的综合。共四十四页1.5 分离(fnl)变量法 分离变量法采用正交坐标系，将变量分离后得到微分方程的通解(tngji)， 当场域边界与正交坐标面重合或平行时，才可确定积分常数，得到边值问题的解。1.5.1 解题的一般步骤：2）分离变量，将偏微分方程分离成几个常微

9、分方程；3）解常微分方程，并叠加得到通解；1）写出边值问题（微分方程和边界条件）；4）利用边界条件确定积分常数，最终得到电位的特解。 只含有一个变量的微分方程，采用积分法求解。含有两个变量的微分方程，可以采用分量变量法求解。共四十四页例1.5.1 试求长直接地金属(jnsh)槽内电位的分布。 解: 1）确定(qudng)边值问题1.5.2 应用实例1. 直角坐标系中的分离变量法（二维场）（D 域内）图1.5.1 接地金属槽的截面y共四十四页2）分离变量(binling)试探解则-分离常数,设代入微分方程得电位(din wi)方程为二阶常系数齐次方程拉普拉斯方程共四十四页双曲函数即 kn 为实数

10、(shsh)时，若 ，若 ，若 ，共四十四页3）解常微分方程(wi fn fn chn)，将各特解线性叠加得通解。4）利用给定边界条件确定积分常数，最终(zu zhn)得到电位函数的解。 图1.5.1 接地金属槽的截面y通解 沿 x方向作正弦变化，知题设共四十四页比较系数(xsh)求常数当 时，当 时，等式无法(wf)成立！共四十四页若金属槽盖电位 ，再求槽内电位分布？通解等式两端同乘以 ，然后从 积分左式当 时，共四十四页右式 代入式（1）代入通解(tngji)n奇数(j sh)图1.5.3 接地金属槽内的等位线分布共四十四页 解：1）取圆柱(yunzh)坐标系，边值问题根据对称性 例1.5

11、.2 垂直于均匀电场 E 放置一根无限长均匀介质圆柱棒 ， 试求圆柱内外 和 E 的分布。 均匀电场中的介质圆柱棒自然(zrn)边界条件共四十四页当 时，当 时， 代入方程(fngchng)整理 分离变量,设 3）通解(tngji)拆分为两个方程2）共四十四页根据 （自然边界条件），得当 时，根据 4）利用给定(i dn)边界条件确定积分常数当 时，通解根据得到共四十四页比较(bjio)系数当n=1时，当 时，An=Bn= 0， 则最终解由分界面 的衔接条件，得共四十四页介质圆柱内外的电场 求电场(din chng)强度E共四十四页1.6 有限(yuxin)差分法1.6.1 二维泊松方程(fn

12、gchng)的差分格式（1）二维静电场边值问题 基本思想：将场域离散为许多网格 ，应用差分原理，将求解连续函数 的微分方程问题转换为求解网格节点上 的代数方程组的问题。（2）1.6.1 有限差分的网格分割通常将场域分成足够小的正方形网格,网格线之间的距离为 h ,节点0,1,2,3,4上的电位分别用 表示。 共四十四页令 h = x - x0，将 x = x1 和 x3 分别(fnbi)代入式 ( 3 )（4）（5）（3）由式（4）+（5）（6）（7）同理,沿 x方向在 x0 处的泰勒公式展开为共四十四页当场域中 若场域离散为矩形网格, 宽h1高h2，差分(ch fn)格式为1.6.2 矩形网

13、格剖分五点差分(ch fn)格式将式(6)、式(7)代入式 ，得到即共四十四页应用(yngyng)五点差分格式构建方程组右图，对该区域(qy)划定 4 4 方格，内点为 1-9，边界为 f1-f16，对待求的 9 个点，逐点列差分方程在场域内每一节点都有一个差分方程，再结合边界上的电位关系，构成方程组，联立求解可得各个节点的电位值。共四十四页1.6.2 边界条件离散(lsn)化（Discrete Boundary Condition)第二类边界条件 第一类边界条件 分界面衔接(xinji)条件 对称边界条件 其中图1.6.5 介质分界面图1.6.3 对称边界图1.6.4 对称分界共四十四页1.

14、6.3 差分方程组的求解(qi ji)方法 ( Solution Method )2、高斯(o s)赛德尔迭代法 迭代过程直到节点电位满足 为止。3、超松弛迭代法式中：a 加速收敛因子（1 a 2） 网格编号1、基本迭代法共四十四页边界节点赋已知电位值赋内节点电位初始值累计迭代次数 N=0N=N+1按超松弛法进行一次迭代，求 打印 NY程序框图共四十四页作 业分量(fn ling)变量法：P35: 1-5-1有限(yuxin)差分法：P40: 1-6-3 镜像法：P46: 1-7-2 共四十四页 Thanks！共四十四页内容摘要电磁场。1.3 静电场的基本方程分界面上的衔接条件。静电场是一个无旋、有源场，静止电荷就是静电场的源。电通量密度D的闭合面积分等于该面内所包围自由电荷(z yu din h)的总电量。1.