-基础知识课件

1、现代数字信号处理第1页，共28页。 本科时开出的数字信号处理课程，主要讲授的有：离散时间信号和系统的基本理论，离散付里叶变换及快速算法（DFT、FFT）等，这称为所谓“经典”理论。 为研究生开设的这门学位课，主要内容为：最佳线性滤波（维纳滤波和卡尔曼滤波），自适应信号处理，现代谱估计理论，同态信号处理，阵列信号处理，人工神经网络和小波变换在信号处理中的应用，以及数字信号处理的硬件实现等。它们大多是近十多年来发展迅速和应用广泛的前沿学科领域，其中不少属交叉学科领域。因此，取名为“现代数字信号处理”。 但“经典”与“现代”没有严格的界线，因为许多“经典”内容，也曾一度作为新兴前沿学科，而今正在发展

2、的“现代”理论和方法，终有成为“经典”的一天。 本课程总学时数有限，许多内容还要同学们自学，不然的话，在这有限的学时中，很难完成我们的教学内容和学习目的。绪论第2页，共28页。第一章 基础知识1.1 随机矢量1.2 相关抵消1.3 Gram-Schmidt正交化1.4 偏相关系数1.5 功率谱和周期图1.6 谱分解1.7 信号的参数模型第3页，共28页。1.1 离散随机信号及其数字特征 一、随机信号 指不能用确定性的时间函数来描述，只能用统计方法研究的信号。 统计特性 ：概率分布函数、概率密度函数 统计平均：均值、方差、相关 在时域离散情况下的随机过程离散随机信号第4页，共28页。二、离散随机

3、信号 视为 随机矢量 常用的数字特征是各种平均特性及相关函数等。 说明： 我们考虑的是：各态历经信号指无限个样本在某时刻所历经的状态，等同于某个样本在无限时间里所经历的状态的信号。 所以只需测量一次样本就是以描述所有样本的随机特性。 还有：我们研究的多是：平稳随机信号其均值和相关不随时间变化。 注意：各态历经信号一定是平稳随机信号，反之不然。 第5页，共28页。定义： 均值： 方差:我们讨论的是 零均值的随机信号，即可重新定义，让 零均值。Note： 也为该信号的交流功率（平均功率）。第6页，共28页。 相关函数：即在时刻n、m的相关性。 自相关函数（一个随机信号） 互相关函数（两随机信号）自

4、相关函数： 白噪声信号互相关函数： 自协方差函数:第7页，共28页。三、N 维随机矢量 是由N个不同随机变量为分量构成： N维随机矢量X的均值也是一个N 维矢量： X的自相关函数：是一 维的正半定对称矩： 也称平均互功率矩阵。用它来描述N 维矢量中任两个元素间的相关程度，X 的自协 方差函数也是个 的正半定对称矩阵：且： ，类似于 （零均值）时，第8页，共28页。1.2 相关抵消如果X、Y分别是N维和M维零均值随机矢量，且它们相关： 现对Y进行线性变换（让变换后的矢量与X不相关），得：（H是 维）构造： ，使e与Y不相关：即此式具有三个功能，即： 最佳线性估计 相关抵消 最佳信号分离由此构成相

5、关抵消器原理图：Hxy-+第9页，共28页。1.3 Gram-Schmidt正交化 一、基本定义 内积的定义：设u、v为线性空间的任二矢量由前面分析可知：任一矢量X 相对于Y可分为两部分：一部分为：另一部分为：e与Y不相关两部分的相关函数：并且，可以证明 相互正交。 其内积为： 两矢量正交：第10页，共28页。二、正交投影定理 定理：矢量X在线性空间Y上的正交投影 是 Y 中与 x 距离最近的一个矢量。定理说明： 可见，说明用Y中随机变量的线性组合来逼近x时，在最小二乘方的意义上， 是最佳的。这是因为：由内积空间中两矢量U、V 的距离公式： 就可得前面的结论。第11页，共28页。三、Gram-

6、Schmidt正交化 这是一个递归处理过程：其目的是由非正交基底 ,求出一组正交基底 。 处理过程为： 这样构造出的基底 是Y 的正交基底。 设第12页，共28页。1.4 偏相关系数偏相关是一个与Gram-Schmidt 正交化紧密相关的概念，它在线性预测和现代谱估计中起着重要的作用。根据正交分解定理，有：第13页，共28页。上式写成矩阵形式：可得：第14页，共28页。1.5 功率谱和周期图一、定义：功率谱又称功率谱密度定义为自相关函数的付里叶变换。 对于离散时间实平稳随机信号 的功率谱 定义为： 的双边正变换：第15页，共28页。二、说明 若 是稳定的，则 的收效域包括 ， 令 ，便为功率谱

7、： 不相关随机信号（白噪声），其自相关函数 ：其功率谱 ： 两实平稳随机信号 根据定义，互功率谱 且有： 第16页，共28页。三、周期图 说明： 在实际应用中，通常观测到的是信号的有限个（N个）取样值，用 表示，可以认为它是分段平稳随机信号中的一段，也可以看成是从平稳随机信号中截取出来的一段数据。 我们知道，平稳随机信号，无论从何时开始取其中任何一段长为N 的数据，所计算出来的均值或自相关值都是相同的。第17页，共28页。 信号 可以看成是用宽为N 的数据窗W(n)从平稳随机信号y(n)中截取出来的，即： 则自相关函数： 可看成： 定义： 由此得周期图的定义：取样自相关函数的双边Z变换：第18

8、页，共28页。考虑到：时域卷积 对应频域相乘 上式很适合FFT计算。 第19页，共28页。 讨论 长为N 的数据来计算周期图，能达到的频率分辩率为：数学频率与物理频率f，有 （物理）频率分辨率： 其中， 是数据段的持续时间，单位秒。 第20页，共28页。1.6 谱分解 零点的位置不影响系统的幅频特性，只影响相频特性（亦不影响因果性和稳定性）。 即： 是最小相位序列，则其Z变换： 式中：零点 为最小延时多项式。 一、最小相位序列Z变换的所有零点都在Z平面单位圆内的序列最小相位序列，第21页，共28页。当把 共轭倒序为 时，相应的零点就从 。 若 在单位圆内，则 就在单位圆外。 当将这M个零点都移

9、至单位园外时，它对应的序列就是最大相位序列或最大延时序列。即全部零点在单位圆外。 二、最大延时序列三、部分能量和最小延时 序列 的总能量由帕斯瓦尔Parseval恒等式： 可以证明：最小相位序列的能量主要集中在初始阶段。（具有最小延时）而最大相位序列的能量主要集中在尾部。（具有最大延时） 第22页，共28页。四、谱分解定理 定理：任何实平稳随机信号 的有理功率谱， 都可唯一地表示成最小相位形式： 式中 为常系数， 为有理函数， 可调整 ，使 、 为首1多项式，则分解唯一。 第23页，共28页。 意义：首先是保证了平稳随机信号模型的存在。 任何一个平稳随机信号 都可看作是：白噪声 激励一个LTI

10、因果系统 产生输出的。 白噪声序列 B(z)因果、稳定、LTI 平稳随机信号模型第24页，共28页。谱分解定理的证明很简单。 是实平稳随机信号 的功率谱密度函数： 满足对称条件： 如果 是它的实数零点， 则 也是实数零点； 如果 是复数零点，则 的实数性质可以判定 也将是一个复数零点； 说明 的分子多项式可以写成最小相位多项式之积 ； 对于 的分母多项式也有类似的情况，即 ； 可调整 ，使 、 为首1多项式，则分解唯一。 为使 是因果和稳定的，它的全部极点，即 的全部零点都应在单位圆内，而为了使它的滤波器 是因果和稳定的， 的全部极点即 的全部零点也应在单位圆内，因此 、 都应是最小相位的，该

11、模型的输出功率正好为：“谱分解” 定理，也保证了 的成立。 第25页，共28页。例：用谱分解定理对有理功率谱 进行分解 解： 由上式分解为： 其中： 大家下去完成 的谱分解。Note: 分母多项式不需分解，只对分子多项式分解 。Let：再比较两边系数 解得：故：即：第26页，共28页。进一步说明：谱分解定理对于实平稳随机信号有理功率谱 这里： 最小相位 是两个最小相位Z变换之比。 合成系统 分析系统 若系统 为因果稳定，由 可知， 的极点与 的零点都必须在单位圆内，因此 是最小相位序列。 若 系统亦为因果稳定，同理可知， 亦为最小相位序列，因此 、 均为最小相位序列。 第27页，共28页。1.7 信号的参数模型 信号的参数模型应用很广，多种多样，但其思想是共同的，即将具有许多变量的复杂过程用包含少量参数的简单模型来表示，用简单模型表示复杂过程就会有近似误差，但是，如果模型参数具有物理意义，就可研究模型参数产生的影响，从而更深入地认识原来的过程。 本书研究的对象主要是离散时间信号或序列，因此，将特别关心离散时间信号的参数模型的建模方法。 很