数学物理方法概论之-（微分几何）

1、2022/7/291数学物理方法概论主讲教师：白璐之（微分几何）2022/7/292 课程特点： 数学物理方法是物理学类、电子信息科学类和通信科学类的重要公共基础课和工具。 主要特色在于数学和物理的紧密结合，将数学用于实际的物理和交叉科学的实际问题的分析中，通过物理过程建立数学模型，通过求解和分析模型，对具体物理过程的深入理解。提高分析解决实际问题的能力。2022/7/293 课程内容：第一章：微分几何（4）第二章：线性空间（4）第三章：渐近方法（5）第四章：格林函数法（5）第五章：积分方程的解法（5）2022/7/294 课程学习目标：1、掌握微分几何、线性空间的相关定义和本征函数集的应用；

2、2、掌握数学物理方程常规解法的技巧，以及特殊函数的应用；3、掌握格林函数在数学物理方法求解中的应用，掌握积分方程的数值求解方法，学习数值渐近方法。4、学习和提高编程分析实际问题的能力。 2022/7/295 学习要求：按时到课，完成作业，及时复习。考核方法：30%平时+70%期末（闭卷）推荐用书：数学物理方法王一平主编，电子工业出版社微分几何的理论和习题利普舒茨著，上海科学技术出版社微分几何梅向明 黄敬之 编，高等教育出版社物理学中的数学方法拜伦著，1982年，科学出版社2022/7/296第一章 微分几何 微分几何的产生和发展是与数学分析密切相连的， 在这方面做出突出贡献的有瑞士数学家欧拉，

3、法国的蒙日，德国的高斯、克莱因等。 在波的辐射、传播、散射、反射等应用领域常遇到对物体几何形状的分析，而微分几何所阐明的概念和方法，在这一方面成为有力的工具。 经近300年的发展，已逐渐成为数学上独具特色，应用广泛的学科。2022/7/297第一章 微分几何 微分几何是采用微积分的方法研究几何图形 的学科。本章重点讨论曲面理论的基本原理。 微分几何中，由于运用数学分析的理论，就可以在无限小的范围内略去高阶无穷小，一些复杂的依赖关系可以变成线性的，不均匀的过程也可以变成均匀的，这些都是微分几何特有的研究方法。 学习本章的重点是掌握微分几何基本概念理解空间曲面的定义、定理及重要几何量的计算方法。2

4、022/7/29第一章 微分几何 微分几何涉及用微积分方法了解空间形状及其性质。 微分几何解决问题的一般思路是： 参数方程定义几何体求导 从微积分导出能说明几何学某些性质的几何量给定某些微分量求解 确定几何体几何量满足的条件（微分方程）微分方程的解集即几何体82022/7/299第一章 微分几何 1、三维空间中的曲线；2、三维空间中的曲面；3、曲面的第一、二基本形式；4、曲面的曲率；5、测地线；6、张量简述。2022/7/2910：推荐用书：数学物理方法王一平主编，电子工业出版社微分几何的理论和习题利普舒茨著，上海科学技术出版社微分几何讲义陈省身 陈维恒著，北京大学出版社微分几何梅向明 黄敬之

5、编，高等教育出版社第一章 微分几何 2022/7/2911 1.1 三维空间中的曲线 在 E3 中Descartes直角坐标系 O-xyz 下运动质点的位置为其中 为单位正交基向量空间曲线定义： 区间(a, b)上点t 在映射：t (x(t), y(t), z(t) 下像的集合曲线C的表示： 1.1.1 曲线的表示 式中t 称为 C 的参数 C 可用向量形式的参数方程表示为或写为分量形式的参数方程 一、曲线的表示 2022/7/2912 1.1 三维空间中的曲线 假定所研究的曲线 至少是t 的一阶连续可微函数。 1.1.1 曲线的表示 二、正则 定义 ：如果给定参数曲线 C: , t(a, b

6、) 若 ，则称 t t0 的对应点 为 C 的一个正则点若 ，则称 t t0 的对应点 为 C 的一个奇点； 若曲线上所有点正则，则称 C 为正则曲线，并称参数 t 为正则参数几何意义：视参数曲线为动点轨迹，正则点的几何意义则是当参数在该点处作微小变动时动点的位置同时作真正的变动2022/7/2913 1.1 三维空间中的曲线 1.1.1 曲线的表示 例1若参数曲线 C: , tR ，则其几何图形仅仅表示一点，而不是正常的曲线，此时所有的参数值对应于图形实体的同一点这是非正则曲线的极端例子例2半径为a，螺距为2v的圆柱螺线，如视为动点的轨迹，表示为 (t) (a cos (w t) , a s

7、in (w t) , v t ) , tR ， 其中三个常数 a 0 , w 0 和 v 0 分别为动点运动的圆周半径、角速率和向上速率此时(t) (aw sin(wt) , aw cos(wt) , v) 0 ， 说明该参数化使之成为正则曲线。 或者称该曲线是（, ）上的正则曲线。2022/7/2914 1.1 三维空间中的曲线 1.1.1 曲线的表示 例3半立方抛物线光滑曲线(t) (t3 , t2 , 0) , tR ， 则 (t) (3t2 , 2t , 0) ， 故此时其奇点有且仅有一个：r(0) 该曲线是（, 0）和（0, ）上的正则曲线。同一条曲线可有不同的参数表示。如果曲线C为

8、 (t)，用tt (t1)引入新参量t1，则 (t) (t (t1) 1 (t1)，为保障t, t1一一对应且为使t, t1增加的方向均相应于曲线正向，要求 三、同一曲线的不同参数表示 曲线C上一点如取参数t 时为正则点，则在取t1表示时也为正则点2022/7/2915 1.1 三维空间中的曲线 1.1.1 曲线的表示 可以选取弧长作为曲线的参数并能够方便地确定曲线的切线是曲线切矢量的长度。注意：弧长是代数量；弧长只依赖于曲线上所选取的始末点，而与参数的选择无关；对正则曲线可选取弧长s作为表示曲线的新参数，这时切矢量 为一单位矢量。四、正则曲线的意义 设曲线 C: (t) , t(a, b)

9、正则，则曲线从参数t0到t处的弧长为其中2022/7/2916 1.1 三维空间中的曲线 1.1.1 曲线的表示 选取弧长作为参数的曲线称为单位速率曲线。单位速率曲线的意义 类比：空间曲线质点在空间的运动轨迹参数t 时间 质点的运动速度 质点经历的路程选取弧长作为曲线的参数的好处是曲线上每一点的切向量都是单位向量。2022/7/2917 1.1 三维空间中的曲线 1.1.1 曲线的表示 t 为正则参数，且有 ds = |r(t)| dt = a2w2 + v2 dt s(t) - s(t0) = tt0 |r(u)| du = tt0 a2w2 + v2du = a2w2 + v2 (t -

10、t0) 点(a, 0, 0)对应于参数t0，故从点(a, 0, 0)计起的弧长参数 s(t) s(0) = t sqrt (a2w2+v2) 故一个螺纹对应于参数t取值区间为t0， t0+|2/|的长度为 s(2/) s(0) = |2/| sqrt (a2w2+v2) 例4圆柱螺线参数化为 (t) (a cos(wt) , a sin(wt) , vt) , tR ，其中三个常数 a 0 , w 0 和 v 0 试求其从点 (a, 0, 0) 计起的弧长参数，并确定其一个螺纹的长度解：因2022/7/2918 1.1 三维空间中的曲线 1.1.2 空间曲线的重要几何量 一、曲线的曲率 考虑单

11、位切向及其方向相对于弧长的变化率定义：曲率曲率和曲率矢量的定义不依赖于正则参数的选取曲率的意义表征了曲线的切向量相对于弧长的转动速度。其值的大小代表了曲线的弯曲程度。2022/7/2919 1.1 三维空间中的曲线 1.1.2 空间曲线的重要几何量 定义曲率半径；曲率矢量其中， 是与 正交的单位矢。且指向曲线的凹向。 曲率曲率半径曲率矢量2022/7/2920 1.1 三维空间中的曲线 1.1.2 空间曲线的重要几何量 一、曲线的曲率 密切面方程 如果密切面上的点用 定义密切平面曲线 (s)在s点的 所构成的平面 表示，则 位于密切面内，即 命 为曲线在s处的从法向单位矢，它是密切面的法线。

12、2022/7/2921 1.1 三维空间中的曲线 1.1.2 空间曲线的重要几何量 从切面 曲线 (s)在s点的 描述曲线密切面方向变化引入挠率 密切面 所构成的平面 法平面 二、曲线的挠率 由上式所确定的函数 称为曲线在s点的挠率 挠率的绝对值表示了曲线的密切面（或从法矢量）随s的旋转速率 2022/7/2922 1.1 三维空间中的曲线 1.1.2 空间曲线的重要几何量 1）当曲线以弧长为参数表示时，即 三、曲线的曲率挠率的计算公式 曲率挠率2）当曲线以一般参数 t 表示 曲率挠率2022/7/2923 1.1 三维空间中的曲线 1.1.2 空间曲线的重要几何量 例5 对曲率非零的曲线 C

13、 而言，C 为平面曲线的充要条件是其挠率函数恒等于零证明：只要证明“从法向量恒等于常向量”等价于“挠率函数恒等于零”， 而这由 (s) ，即可得证 如果曲线的挠率恒为零，则 (s) 常矢量。于是 由此得设s0是曲线上任一点，则由上式得可见 (s)位于通过s0，法线为 的平面上，即其是一平面曲线。 还可类似证明曲率恒为零的曲线为直线。 2022/7/2924 1.1 三维空间中的曲线 1.1.2 空间曲线的重要几何量 物理意义： 挠率是刻划曲线弯曲状况的又一个重要的几何量，因而又可称之为曲线的第二曲率； 由于挠率体现了密切平面的扭转状况，通常说它表示了曲线的扭曲程度当挠率非零时，称其倒数为挠率半

14、径2022/7/2925 1.1 三维空间中的曲线 1.1.2 空间曲线的重要几何量 曲率、挠率的意义：沿曲线的变化告诉我们曲线自身在空间中是如何旋转弯曲的的变化又由微分 决定。由 的定义所以曲率描述了 方向的变化。因为 是三维空间R3中三个相互垂直的单位向量。故R3中任一向量都是它们的线性组合，如果 ，如能确定a,b,c 则也就确定了2022/7/2926 1.1 三维空间中的曲线 1.1.2 空间曲线的重要几何量 同理的表达式中仅剩一个非零系数，既然不能用已知量刻画它，就把它定义为挠率。因为所以由为零因为所以定义为曲线的挠率，则27 1.1 三维空间中的曲线 1.1.2 空间曲线的重要几何

15、量 的曲率和挠率例：求圆柱螺线解：由28 1.1 三维空间中的曲线 1.1.2 空间曲线的重要几何量 的曲率和挠率例：求圆柱螺线解：由曲率及饶率的定义，可得曲率挠率29 1.1 三维空间中的曲线 1.1.2 空间曲线的重要几何量 的曲率和挠率例：求圆柱螺线解：由挠率的定义，可得挠率故2022/7/2930 1.1 三维空间中的曲线 1.1.3 曲线在一点邻近的性质 一、Frenet标架在曲线上与自身几何属性密切相关的标架场Frenet标架 按照标架运动的一般规律，对于无逗留点的曲线 r ，其Frenet标架关于曲线弧长 s 的运动公式（作微小位移时的变换公式）为这组公式称为Frenet 公式（

16、曲线论基本方程），它包含了曲线几何的最基本信息：弧长，曲率，挠率2022/7/2931 1.1 三维空间中的曲线 二、曲线在一点邻近的性质在明确了Frenet公式之后，Frenet标架关于弧长的各阶导向量在Frenet标架下的分量就都可以用曲率、挠率以及它们的各阶导数等几何量具体表示出来。一阶近似二阶近似三阶近似( Frenet 近似)意义：如果挠率正，随s的增加曲线沿法线的正方向穿过密切面，反之则反向穿过；该曲线段近似于一段圆柱螺线，挠率正，右螺旋，负，左螺旋 1.1.3 曲线在一点邻近的性质 2022/7/2932 1.2 三维空间中的曲面 一、曲面参数u,v在二维区域D内变化时，依赖于两

17、个参数的矢量设端点的轨迹确定出的曲面可表为是D中任一固定点 1.2 三维空间中的曲面 固定让在D中变动得 曲线曲线参数曲线网如果即点 处u曲线的切向量与v曲线的切向量不平行，则称该点为曲面上的正则点。反之为奇点。由正则点所构成的曲面称为正则曲面。2022/7/2933二、正则坐标网对正则曲面，在点(u0,v0)处若 根据ru和rv 的连续性，则存在该点的一个邻域，使得在此邻域内 1.2 三维空间中的曲面 于是在这块曲面上每一点有惟一的一条u曲线和一条v曲线，且这两条曲线不相切。这样的两族曲线构成正则坐标网。例6 球面方程可表示为因为故当且仅当 时为零。即除球面上南北极外，球面上的经线( 等于常

18、数)和纬线( 等于常数) 构成正则曲线网。 1.2 三维空间中的曲面 2022/7/2934一、切平面曲面在某点处 所构成的平面为曲面在该点的切平面的切平面上的点，则如果用 1.2.1曲面的切平面与法向量 上式即切平面方程。表示曲面 1.2 三维空间中的曲面 2022/7/2935二、法向量曲面的切平面的法线称为曲面在切点处的法线。曲面的单位法向量为 1.2.1曲面的切平面与法向量 正负号取决于法线正方向的选取。在电磁理论与天线工程中研究反射面或波面时，总取其正向指向波源。曲面法向量也满足参数变换下的不变性。如果在一种参数描述下某点为正则点，则在另一种参数描述下一定也是正则的。 1.2 三维空

19、间中的曲面 2022/7/2936一、一些常见的曲面1)椭圆锥面 1.2.2曲面举例 2)椭圆抛物面 3)椭球面 4)双曲抛物面 5)单叶双曲面 6)双叶双曲面 1.2 三维空间中的曲面 2022/7/29371)椭圆锥面 1.2.2曲面举例 1.2 三维空间中的曲面 program tuo_yuan_zhui use msimsl integer i,j real*8 x,y,z,theta1,theta2,f open(10,file=1椭圆锥面.txt) write(10,*) x , y , z write(*,*)请输入两个张角(用角度表示)： read(*,*)theta1,the

20、ta2 theta1=theta1*3.1415926535897932384626433832795/180. theta2=theta2*3.1415926535897932384626433832795/180. do i=0,50 do j=0,360,5 f=j*3.1415926535897932384626433832795/180. z=i*(5./50.) x=z*dcos(f)*dtan(theta1) y=z*dsin(f)*dtan(theta2) write(10,11)x,y,z end do end do11 format(1x,3(f9.5,5x) end202

21、2/7/2938 1.2.2曲面举例 2)椭圆抛物面 1.2 三维空间中的曲面 a=2, b=3x= -15:0.1:15;y= -20:0.1:20;X,Y = meshgrid(x,y);Z=(X./2).2 + (Y./3).2;surfc(X, Y, Z);shading interp;%hidden onxlabel(x); ylabel(y);zlabel(z);colormap default;title(椭圆抛物面);axis equal;2022/7/2939 1.2.2曲面举例 3)椭球面 1.2 三维空间中的曲面 xc=0;yc=0;zc=0;xr=5;yr=4;zr=3

22、;X,Y,Z=ellipsoid(xc,yc,zc,xr,yr,zr,100);surf(X, Y, Z);shading interp;colormap copper;title(椭球面);axis equal;2022/7/2940 1.2.2曲面举例 1.2 三维空间中的曲面 4)双曲抛物面 X=-10:0.1:10;Y=-15:0.1:15;x,y=meshgrid(x,y);Z=(x./2).2-(y./3).2;Surfc(x,y,z);Shading interp;Xlabel(X);ylabel (y);ylabel(z);Colormap jet;a=2,b=32022/7/

23、2941 1.2.2曲面举例 5)单叶双曲面 1.2 三维空间中的曲面 program dan_ye_shuang_qu_mian use msimsl integer i,j real x,y,z,theta,fai,a,b,u open(10,file=5单叶双曲面.txt) write(10,*) x , y , z write(*,*)请输入三个参量：(a,b,c) read(*,*)a,b,c !a=2.d0 !b=2.d0 !c=2.0 do u=-2,2,0.1 do j=1,360,5 fai=j*3.1415926535897932384626433832795/180. x

24、=a*cosh(u)*cos(fai) y=b*cosh(u)*sin(fai) z=c*sinh(u) write(10,11)x,y,z end do end do11 format(1x,3(f9.5,5x) End2022/7/2942 1.2.2曲面举例 6)双叶双曲面 1.2 三维空间中的曲面 这里取 program shuang_ye_shuang_qu_mian use msimsl integer i,j real x,y,z,theta,fai,a,b,u open(10,file=6双叶双曲面.txt) write(10,*) x , y , z !write(*,*)请

25、输入二个参量：(a,b,c) !read(*,*)a,b,c a=2.d0 b=2.d0 c=2.0 do u=1,3,0.1 do j=1,360,5 fai=j*3.1415926535897932384626433832795/180. x=a*sinh(u)*cos(fai) y=b*sinh(u)*sin(fai) z=c*cosh(u) write(10,11)x,y,z end do end do c=-2 do u=1,3,0.1 do j=1,360,5 fai=j*3.1415926535897932384626433832795/180. x=a*sinh(u)*cos(

26、fai) y=b*sinh(u)*sin(fai) z=c*cosh(u) write(10,11)x,y,z end do end do11 format(1x,3(f9.5,5x) End2022/7/2943二、旋转曲面将xoz平面上的曲线 1.2.2曲面举例 绕z轴旋转一周，该曲线扫过的轨迹为旋转曲面 其参数方程为 因为 1.2 三维空间中的曲面 2022/7/2944一、曲面第一基本形式 设C： 1.3 曲面的第一二基本形式 为曲面上一条曲线 ，即 若用s表示C的弧长，则 则曲面第一基本形式 它们是曲面上点的函数对给定点为常数。但与曲面参数选取有关。第一基本量 1.3 曲面的基本形式

27、 2022/7/29451)计算弧长 1.3 曲面的第一二基本形式 P为曲面上任一点，2)确定曲面上两曲线的夹角 PC2C1二、曲面第一基本形式的应用 曲面上相交于P的两条曲线切向量分别为则C1,C2在P点处的夹角为 1.3 曲面的基本形式 2022/7/2946 1.3 曲面的第一二基本形式 二、曲面第一基本形式的应用 曲线C1,C2在P点处正交的充要条件为如果曲线C1,C2分别为曲面上的u曲线和v曲线，则为两参数曲线夹角的公式。3)确定曲面块的面积 设给定曲面曲面块的面积为 1.3 曲面的基本形式 2022/7/2947 1.3 曲面的第一二基本形式 例7 写出平面、旋转曲面的第一基本形式

28、。解：对平面第一基本形式为 对旋转面 第一基本形式为 1.3 曲面的基本形式 2022/7/2948 1.3 曲面的第一二基本形式 曲面的第二基本形式L,M,N 是曲面上点的函数。在给定点是常数。但与参数的选取有关。三、曲面第二基本形式 1.3 曲面的基本形式 2022/7/2949 1.3 曲面的第一二基本形式 例8 求旋转曲面的第二基本量。解：故第二基本量为 对旋转面 因为 1.3 曲面的基本形式 2022/7/2950 1.4 曲面的曲率 1.4 曲面的曲率 对给定点， 、为已知。曲线的曲率k仅取决于它在P点的切线方向（du：dv）及曲线的主法线与曲面法线的夹角。设P(u,v)是曲面上一

29、给定点。C是该曲面上过P点的任一曲线。C在P点的切矢量和曲率矢量为一、曲面上曲线的曲率设 是曲面在P点的法向量，则 在 方向上的投影为2022/7/2951 1.4 曲面的曲率 考虑曲面经过P点沿某固定切线方向的曲线的曲率。把曲面上曲线在某点的曲率矢在曲面法向量上的投影称为曲线在该点的法曲率若用曲线C的密切面去截曲面，则截线是一平面曲线，由于曲面上过给定点的任意两条曲线只要在该点具有相同的切线方向和主法线方向，则曲率相同，因此该曲线与曲线C曲率相同，即研究曲面上的曲率可转化为研究平面曲线的曲率。二、曲面的法曲率也称为曲面沿方向du：dv的法曲率 1.4 曲面的曲率 2022/7/2952 1.

30、4 曲面的曲率 曲面上给定点处的法曲率一般与du：dv有关。定义：如果曲面上某点沿各个方向的法曲率均相等，则称此点为脐点。三、主曲率和主方向曲面上某点为脐点的充要条件是曲面在该点处的第一、二基本量成比例。定义：对于曲面上的非脐点，称法曲率的极值为曲面在该点的主曲率。是法曲率取极值的方向称为主方向。对于脐点，一切方向共同的法曲率可以称为主曲率，任一方向可视为主方向。 1.4 曲面的曲率 2022/7/2953 1.4 曲面的曲率 定理2：曲面上两个非脐点的主方向是正交的。 定理1：对于曲面上的非脐点，有两个主曲率，两个主方向。如果曲面上某条曲线，它的每一点的切线方向都是曲面在该点的一个主方向，则

31、称这条曲线为曲率线。证明：F=M=0 是参数曲线为曲率线的充分必要条件。若参数曲线是曲率线，则四、曲率线应满足曲率线方程由于曲率线正交，而参数曲线又是曲率线，故F=0,从而M=0反之亦可得证。 1.4 曲面的曲率 2022/7/2954 1.4 曲面的曲率 解：例 9 求曲面 上的曲率线。所以 1.4 曲面的曲率 2022/7/2955 1.4 曲面的曲率 将EFGLMN代入曲率线方程再用去除等式两边，得由此得或其解 代表一族同心圆。代表过原点的直线族。uv平面上的这两族曲线在所讨论曲面上的像就是曲面上的曲率线原点处为脐点。 1.4 曲面的曲率 2022/7/2956 1.4 曲面的曲率 如果

32、选择曲面上的曲率线网作为新参数的参数曲线网。则F=M=0,u 曲线和v曲线均为曲率线。曲面上任一点的法曲率设k1，k2分别对应于主方向dv0和du0的主曲率，则k1L/Ek2=N/Gdu:dv方向上的法曲率写为矢量形式即五、法曲率随方向的变换规律 设此方向与u曲线切线方向的夹角为 1.4 曲面的曲率 2022/7/2957 1.4 曲面的曲率 于是由法曲率的表达式可得上式为法曲率随方向变化的公式，如果k10, 椭圆点 两个主曲率同号。法截线朝同向弯曲，即曲面在该点邻近的点位于切平面同侧。 2) kG0, 双曲点 两个主曲率异号。两条法截线中一条朝法向量方向弯曲，另一条朝法向量反方向弯曲。即曲面

33、在该点附近曲面处于切平面的两侧。 3) kG=0 抛物点 两主曲率中至少有一个为零。如果另一主曲率也为零，这样的点为平点。 如果另一主曲率大于零，则除一个方向外，一切法截线都朝切平面同侧弯曲。 1.4 曲面的曲率 2022/7/2960 1.4 曲面的曲率 1.4 曲面的曲率 例 求旋转曲面 的高斯曲率和平均曲率。解：2022/7/2961 1.4 曲面的曲率 1.4 曲面的曲率 若取xoz平面上最初的曲线为 ,即取坐标z作为最初的曲线的参数，则有于是2022/7/2962 1.4 曲面的曲率 1.4 曲面的曲率 由于F=M=0，所以旋转面的坐标曲线是曲率线，并且主曲率为平均曲率为故高斯曲率为曲面的参数表示为 ,在点(u,v)处曲面的法向量记为 曲面上该点处的两个主曲率分别用k1 (u,v)和k2 (u,v)表示，则点2022/7/2963 1.4 曲面的曲率 称为曲面在点(u,v)处的主曲率中心。当点(u,v)沿曲面变化时，曲面的曲