高中物理恒定电流中几个结论的证明及分析

1、高中物理恒定电流中几个结论的证明及分析王借(四川省万源中学，四川，万源， 636350)内容提要：本文对高中物理恒定电流中：电压的变化量 AU ,电流的变化量 AI ,电压的变化量与电流的变 化量的比值 AU的一类问题，作了一个相关证明与总结分析。：I一、问题的来源：在高中物理选修3-1的恒定电流一章中，有这样一类问题，那就是关于分析电压的变化量AU,电流的变化量AI ,电压的变化量与电流的变化量的比值丝的一类问题。笔者认真分析了该类问题，拟对I该类问题作一个相关证明与总结分析以期和广大同行共享。二、问题的分析与证明：电压的变化量 AU的相关基本电路及证明：(1)、基本电路：如图1所示：设n个

2、电阻串联在电路中，R1两端电压为 U1, R2两端电压为 U2, Rn两端电压为Un,且n个电阻的总电压为 U总。(2),证明：根据电路原理，总电压 U总和各个电阻上的电压的关系为：U总=U1+U2+*+U那么，各个电阻上的电压的变化量又是什么关系呢？首先求变化量的本质其实是求电压的微分，根据微分的运算发则有：U 总，=. +纯l2+“,+AUn(2)上式表明：总电压的变化量等于各个电阻的电压的变化量之和。下面对上式作一点讨论：如果认为，总电压 U总保持不变的话，那么根据微分法则，常数的微分为 0, TOC o 1-5 h z 即AU总=0如此就会得到：, U + . U/ + ：Un =/U

3、总=0(4)即n个电阻的电压变化量之和为0。特别的，如果只有两个电阻的话，上式变为：U1+AU2 =&U 总=0(5)上式表明：如果两个串联的电阻总电压不变的话，两个电阻电压的变化量之和等于0,进一步变形可得：.U1 - - U2(6)上式表明：如果两个串联的电阻总电压不变的话，两个电阻电压的变化量互为相反数。即两个电阻的电压的变化量大小相等，且变化趋势相反，如果其中一个电阻的电压增大，则另外一个电阻 的电压必定减小，且变化量的绝对值相等。假设电路中只有两个电阻且总电压并非恒定即：AU总#0可得： TOC o 1-5 h z +5 =AU 总假如电阻R2的电压增大即AU20,则有：Ui =AU

4、总-皿2 AU总(8)即电阻R1的电压的变化量小于总电压的变化量。假如电阻R2的电压减小即 U2&U 总(9)即电阻R1的电压的变化量大于总电压的变化量。电流的变化量值的相关基本电路及证明：(1)基本电路：如图2所示：设n个电阻并联在电路中，流过R1的电流为I1 ,流过R2的电流为I2 ,流过Rn的电流为In ,且n条支路的总电流为I总。R一(2),证明：根据电路原理，总电流I总和各个电阻上的电流的关系为： TOC o 1-5 h z I 总=Il + l2+ +In( 10)根据变化量的运算法则即微分的运算法则可得：I 总=*1+2+ ,+%(11)上式表明：总电流的变化量等于各个电阻的电流

5、的变化量之和。下面对上式作一点讨论：假设只有两个电阻，则有：%=M + 4(12)进一步假设电阻 R2的电流增大，即有 川2 A 0,则有：L =*总川2父四总(13)即电阻R1的电流的变化量小于总电流的变化量。假如电阻R2的电流减小即 820,则有：31 =3 总2 =总+ &2 四总（14）即电阻R1的电流的变化量大于总电流的变化量。电压的变化量 AU与电流变化量 AI比值的相关基本电路及证明：.I(1-1)、基本电路一：如图3所示：设两个个电阻串联在电路中，其中 R1为定值电阻，R2为可变电阻，R1两端电压为U1, R2两端电压为U2,且两个电阻白总电压为 U总，电源电动势为 E,电源内

6、阻为r o(1-2),证明一：本小节主要讨论电阻 R1上的电压的变化量 AU与电流变化量 AI比值&U。I在图3所示的电路中，电阻R2变化导致电路中的总电阻变化从而导致电路中的电流变化进一步导 致电阻R1上的电压变化。其中由于电阻R1是定值电阻，阻值保持不变，所以根据部分电路欧姆定律可得：(15)R= U=常数 I那么，电阻R1上的电压的变化量 AU与电流变化量 也比值也有什么特点呢?IU 一，事实上，求电压的变化量 AU与电流变化量AI比值一？本质上是求电压 U对电流I的函数的导数,I由于电阻R1是定值电阻，阻值保持不变，即 R1上的电压U与R1上的电流I是一个正比例函数的 关系，即有：U

7、1(I)=R-I(16)且其中R1为常量，所以根据求导法则可得，正比例函数的导数就是其斜率:uau/i)5R1，i)二R 1(17)上式表明，在本问题中，电阻R1上的电压的变化量 AU与电流变化量AI比值*U是一个常数保.I持不变。(2-1 )、基本电路二：如图4所示：设闭合电路外电阻为 R,且R为可变电阻，电源电动势为E,电源内阻为r。E产图4(2-2),证明二：在图4所示的电路中，外电阻 R变化导致电路中的总电阻变化从而导致电路中的电流变化 进一步导致外电阻 R上的电压变化。那么，这次可不可以根据电阻 R满足欧姆定律也就是 R=U，从而得到电压的变化量 AU与电流变IU化量AI比值一U依然

8、为R呢？这种想法其实是错误的， 前文说过，本质上讲，求电压的变化量 AU与电流变化量 AI比值&U本质上是求电压 U对电流I的函数的导数，这次的情况中电阻R已经是I变化的了，即是说：在本次的情况中：电压 U随电流I的函数中R也是电流的函数了而不再是一个常数。即电压 U随 电流I的函数U (I)=R *I=R (I),I不再是一个正比例函数。从而根据求导法则，U 不再等于R了，即：IU AU(I) h 门一=#R(18)IJJ那么，本次情况中，电压的变化量AU与电流变化量 &比值AU应该等于多少呢？I事实上，根据闭合电路欧姆定律有：外电阻R上的外电压为：U=U (I) =E -I *r= (-r

9、) I+E容易看出，在本次的情况中，虽然外电阻 R是变化的，但是电源内阻却是不变的，即内电阻 r是 一个常量，这样外电压 U就成了电流I的一次函数，根据求导法则有路端电压 U对干路电流I的 导数等于这个一次函数的斜率，即有：(19)UAU K-r) I+E =-rI II(3-1 )、基本电路三：R1为定值电阻，R2为可变电阻，U总，电源电动势为 E,电源内阻为如图5所示：设两个个电阻串联在电路中，其中 R1两端电压为 U1, R2两端电压为 U2,且两个电阻的总电压为 r 。图5(1-2),证明三：本小节主要讨论电阻 R2上的电压的变化量 AU与电流变化量 AI比值留。I在图5所示的电路中，电阻R2变化导致电路中的总电阻变化从而导致电路中的电流变化进一步导致电阻R2上的电压变化。仿照处理前一个问题的方法：由于电阻R1保持不变，分析R2上的电压的变化量 AU与电流变化量AI比值也 时可以把电阻 R1 I视作电源内阻的一部分，即可以把电阻R1与电源内阻r合并。有闭合电路欧姆定律可得：U2=U2(I) =E (U内+U1 户E I ,(r +R尸-(叶已)I+E(20)容易看出，电压U2关于电流I的函数依然是一个一次函数， 只不过本次的斜率变成了： -(r+R1rI,所以，根据求导法则可得:：U2_ U 2 I -I 一 I 一(r+R1) *