2020江苏高考数学模拟卷含答案

1、 2020届高三模拟考试试卷(满分160分，考试时间120分钟)S2=2(Tf一疋几苴中3C=2T参考公式：样本数据x1，x2,，x”的方差一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1.2.3.4.已知集合A=0,1,2,3,B=x|0 xW2，则AHB=已知复数z=(2i)2(i是虚数单位)，则z的模为W.已知一组样本数据5,4,x,3,6的平均数为5,则该组数据的方差为.运行如图所示的伪代码，则输出的结果S为W.W.W.I1WhileI0)的焦点与双曲线x2号=1的右焦点重合，则实数p的值为.W.7.在等差数列/中，若5=|,8a6+2a4=a2，贝的前6项和S6的值为已知正四棱

2、锥的底面边长为2；3高为1,则该正四棱锥的侧面积为W.已知a,bWR，函数fx)=(x2)(ax+b)为偶函数，且在(0,+)上是减函数，则关于x的W.W.8.9.不等式夬2x)0的解集为.W.10.已知a0,b0,且a+3b=*，则b的最大值为.nW.11.将函数y(x)=sin2x的图象向右平移石个单位长度得到函数g(x)的图象，贝y以函数fx)与g(x)的图象的相邻三个交点为顶点的三角形的面积为在厶ABC中，AB=2,AC=3,ZBAC=60,P为ABC所在平面内一点，满足CP=|pB+2芬，则占繭的值为W.在平面直角坐标系xOy中，已知圆q：x2+y2+2mx(4m+6)y4=0(mW

3、R)与以C2(2,TOC o 1-5 h z3)为圆心的圆相交于A(x,yl),B(x2,y2)两点，且满足x#x2=y2y?，贝V实数m的值为W.已知x0,y0,z0,且x+“J3v+z=6,则x3+y2+3z的最小值为W.二、解答题：本大题共6小题，共90分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.(本小题满分14分)2n在ABC中，sinA=3，AC,n).求sin2A的值；若sinB=|,求cosC的值.(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D,E,F分别是BC,AB,AA】的中点.求证：EF平面A1BD；.41若A1B1=A1C1，求证：平面ABD丄平面BB

4、1C1C.(本小题满分14分)如图，某公园内有两条道路AB,AP,现计划在AP上选择一点C,新建道路BC,并把AABCn所在的区域改造成绿化区域已知ZBAC=6,AB=2km.若绿化区域ABC的面积为1km2,求道路BC的长度；若绿化区域ABC改造成本为10万元/km2,新建道路BC成本为10万元/km.设ZABC=0(O0)的离心率为，且右焦点到右准线l的距离为1过x轴上一点M(m,0)(m为常数，且m(0,2)的直线与椭圆C交于A,B两点，与l交于点P,D是弦AB的中点，直线OD与l交于点Q.求椭圆C的标准方程；试判断以PQ为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由11

5、Ak(本小题满分16分)已知函数fx)=(xa)lnx(aR).(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线的方程;若对于任意的正数x,fx)20恒成立，求实数a的值;若函数fx)存在两个极值点，求实数a的取值范围.（本小题满分16分）已知数列an满足对任意的“WN*，都有a“（qa“一l）+2qa/n十严”+1（1_勺叱”+J,且a”+严a“工0,其中=2,qMO.记T”=01+002+0203+q”Ta”.（1）若q=1,求T2019的值；（2）设数列bn满足九=（1+0）丁厂0叫求数列b”的通项公式；若数列c满足c1=1,且当心2时，c=2bn_1,是否存在正整数k,/,

6、使q,ckc1，ctck成等比数列？若存在，求出所有k,t的值；若不存在，请说明理由.2020届高三模拟考试试卷数学附加题（满分40分，考试时间30分钟）【选做题】在A,B,C三小题中只能选做2题，每小题10分，共20分若多做，则按作答的前两题计分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步9聚A.（选修42：矩阵与变换）01I20已知矩阵A=。，B=丨q，求AB.-23L18-B.（选修44：坐标系与参数方程）在极坐标系中，曲线C：p=2cos0以极点为坐标原点，极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系xO”设过点A（3,0）的直线l与曲线C有且只有一个公共点，求直线l的斜率.C.(选修45：不

7、等式选讲)已知函数夬X)=|x1|.解不等式fx1)+fx+3)26；b若|41，|b|af(a).【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.如图，在三棱锥DABC中，DA丄平面ABC,/CAB=90，且AC=AD=1,AB=2,E为BD的中点.求异面直线AE与BC所成角的余弦值；求二面角ACEB的余弦值.E已知数列an满足。=3，0旳卅=一20秩+20旳，nN*.用数学归纳法证明：an(0，舟)；2020届高三模拟考试试卷数学参考答案及评分标准1.1，22.53.24.215.47.号8.839.(0,4)10.3ii.12.37113

8、.614.42n15.解：(1)由sinA=3,AWCp)，则cosA=sin2A=_1(2)2=_g,(2分)所以sin2A=2sinAcosA=2x|x(35)=4_95-(6分)JIJIn由ACy，n）,则B为锐角.又sinB=|,所以cosB=p1sin2B=：1（3）2=3,（8分）所以cosC=cos（AB）=（cosAcosBsinAsinB）（12分）=-（-x呼-3站）=（14分）证明：（1）因为E,F分别是AB,AA1的中点，所以EFAB.（3分）因为EF平面ABD,ABu平面ABD,所以EF平面A1BD.（6分）（2）在直三棱柱ABCABC中，BB丄平面AC因为ADu平面

9、A1B1C1，所以BB丄AD.（8分）因为A1B1=A1C1，且D是B1C1的中点，所以AD丄BC.（10分）因为BB1HB1C1=B1，B1C1，BB1u平面BBCC,所以AD丄平面BB1C1C.（12分）因为ADu平面A1BD,所以平面ABD丄平面BB1C1C.（14分）n解：（1）在厶ABC中，已知ZBAC=6，AB=2km,1n所以ABC的面积S=2XABXACXsin石=1,解得AC=2.（2分）在ABC中，由余弦定理得BC2=AB2+AC22XABXACXcos=22+222X2X2Xcos*=843,(4分)所以BC=j84占=廳一V2(km).(5分)(2)由/ABC=e,则Z

10、ACB=n(6+n)，2n3.亠*tn十r、feACBCAB在ABC中，ZBAC=$,AB=2km,由正弦定理得而=-A=C，12sin0所以BC=,AC=.(7分)nnsin(0+w)sin(0+66记该计划所需费用为F(0),12sin01110(sin0+1)一2n则f(0)=2xnX2X2X10+nx1o=n(oow-y).(1o分)sin(0+卡)sin(0+卡)sin(0+三)666n1人sin0+1“si亍+2令f(0)=31，则f(0)=31-(11分)2sin0+cos0(芳sin0+cos0)2n由f(0)=O,得0=石.n所以当0丘(0,石)时，f(0)O,f0)单调递增

11、-(12分)n所以当0=&时，该计划所需费用最小.n答：当0=6时，该计划所需总费用最小.(14分)18-解：(1)设椭圆的右焦点为(c,0)，由题意，a2得a2cc=1，a=、Q,解得lc=1.所以a2=2,b2=1,所以椭圆C的标准方程为2+y2=1-(4分)(2)由题意，当直线AB的斜率不存在或为零时显然不符合题意.设AB的斜率为乩则直线AB的方程为y=k(x-m).又准线方程为x=2，所以点P的坐标为P(2,k(2-m).(6分)y=k(xm),由得x2+2k2(xm)2=2,x2+2y2=2,即(1+2k2)x24k2mx+2k2m22=0，14k2m2km,2kmkm八所以Xd=2

12、2k2+1=2k2+1，yD=k(2k2+1m)=2k2+1，(8刀)所以kD=2k，从而直线od的方程为y=所以点Q的坐标为Q(2,+),(10分)所以以PQ为直径的圆的方程为(x2)2+yk(2加打+土尸。,解得Jx=22m,ly=O.即x24x+2+m+y2k(2m)kly=0-(14分)因为该式对E恒成立，所以,X24x+2+m+y2=0,所以以PQ为直径的圆经过定点(2：厂万，0).(16分)19.解：(1)因为fx)=(xa)lnx(aR)，所以当a=1时，fx)=(xl)lnx,则f(x)=lnx+1X.(1分)x当x=1时，f(1)=0,f(1)=0，所以曲线fx)在点(1,f

13、(1)处的切线的方程为y=0.(3分)因为对于任意的正数x，fx)20恒成立，所以当lnx=0，即x=1时，fx)=O,aR；(5分)当lnx0,即x1时，xAa恒成立，所以aW1；(6分)当lnx0,即x0,所以g(x)单调递增，至多一个零点.(9分)当a0时，xW(0,a)时，g(x)0,g(x)单调递增，所以x=a时，g(x)min=g(a)=ln(a)+2.(11分)因为g(x)存在两个不相等的零点，所以ln(a)+20,解得一e-2a0.因为一e2ae2a.因为g(a)=ln(a)+a2+10,所以g(x)在(一a,+s)上存在一个零点.(13分)因为一e2a0,所以a2a.又g(a

14、2)=ln。2丄+1=2ln(a)+1,aa设t=a,则y=2lnt+*+1(0/右).因为y=SF0，所以y=2lnt+*+1(0t2ln1+e2+1=e230,e2所以g(a2)=lna2a+10,所以在(0,a)上存在一个零点.20.解：(1)当q=1时,得(an+1+an)2=an综上可知，一e-2a|af(a)，只要证|ab1|ba|，只需证(ab1)2(ba)2.而(ab1)2(ba)2=a2b2a2b2+1=(a21)(b21)0,从而原不等式成立.(10分)22.解：因为DA丄平面ABC,ZCAB=90,所以以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.因为AC=AD=

15、1,AB=2,所以A(0,0,0),C(1,0,0),B(0,2,0),D(0,0,1).因为点E为线段BD的中点，所以E(0,1,J).BC=(1,2,0)，(1)AE=(o,1,2),所以cosAE,BC)AEBC245,aebC討后4所以异面直线AE与BC所成角的余弦值为5.(5分)1,设平面ACE的法向量为n1=(x,y,z),因为AC=(1,0,0),AE=(0,1,5),所以n1AC=0,n1AE=0,即x=0且y+2=0,取y=1,得x=0,z=2,所以n1=(0,1,2)是平面ACE的一个法向量.设平面BCE的法向量为n2=(x,y,z),因为BC=(1,2,0),BE=(0,

16、1,J),所以n2BC=0,n2BE=0,即x2y=0且一尹十土二。，取y=1,得x=2,z=2,所以n=(2,1,2)是平面BCE的一个法向量.所以cos“1,2=蔽=9=罟.(8分)所以二面角ACEB的余弦值为一*5(10分)23证明：(1)当n=l时，=3丘(0,*),结论显然成立；假设当n=k(kl,kN*)时，ak(0,|),则当n=k+l时，ak+1=2a2+2ak=2(ak1)2+2e(0,*)综上，an丘(0,|).(4分)(2)由(1)知，an(0,扌)，所以bn=2-a店(0,|).因为勺+1=_2%+2碣，所以*an+=2_(2a2+2a“)=2a2_2an+*=2(an_*)2，即=2宓.于是10g2bn+1=210g2bn+1，所以(呃齢1+1)=2(10g2bn+1)，故1og2bn+l构成以2为公比的等比数列，其首项为1og2b1+1=1og2!+1=1og2|.于是1og2bn