追及类问题的追问

1、“追及”类问题的追问南京市中华中学（210006） 王高“追及”类问题是运动学中典型的问题，以其复杂的物理情景，综合的知识内涵及广阔的思维空间，能充分体现出学生的理解能力、分析综合能力、推理能力、空间想象能力及理论联系实际的创新能力，是学习中的重点和难点。如何在这类问题的学习中提升问题学习的有效性与针对性,充分挖掘问题的思维训练价值，提高学生的思维品质。笔者以为还有许多问题值得进一步探究。AB图1例题：如图1所示，在倾角为的光滑斜面顶端有一质点A由静止开始自由下滑，同时另一质点B由静止开始从斜面底端向左以恒定加速度a沿光滑水平面运动，A滑下后能沿斜面底部的光滑小圆弧平稳地朝B追去，为使A能追上

2、B，B的加速度最大值是多少？解析：这是一道典型的追及问题，我们讨论追及、相遇的问题，其实质就是分析讨论两物体能否同时到达相同的空间位置问题.一直强调要抓住两个关系：即时间关系和位移关系；一个条件：即两者速度相等，这往往是物体间能否追上、追不上或（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点.质点A 先在斜面上由静止开始做匀加速运动,到B点后在水平面上做匀速直线运动;质点B由静止开始从斜面底端向左以恒定加速度a沿光滑水平面运动,运动时间相同.解法一(解析法)：设经过时间 t质点A在某点追上质点B,则有: (1) (2)质点A在斜面上运动的加速度,设到B点的速度大小为,运动时间(1)(2)

3、就可改写为: (3) (4)联立(3)(4)得: 追问1：追及问题中建立的关系式是位移关系还是路程关系？ 把上述(1)式可以变换为:,显然这个式子表明的是在相同时间内质点A、B所通过的路程之间关系，而不是位移之间的关系，可见，我们应该把位移关系理解为：在往返的直线运动中表示的是位移关系；如两个竖直上抛的小球在空中追及相遇的问题。在单向直线运动中既可表示位移关系又可表示路程关系，这是我们经常遇到的问题。而非同一直线上运动的追及相遇问题中寻找的应是路程关系。 图2 体验 如图2所示，AB、CO为互相垂直的丁字形公路，CB为一斜直小路，CB与CO成600角，CO间距300m，一逃犯骑着摩托车以54k

4、m/h的速度正沿AB公路逃窜。当逃犯途径路口O处时，守侯在C处的公安干警立即以1.2m/s2的加速度启动警车，警车所能达到的最大速度为108km/h。公安干警沿COB路径追捕逃犯，则经过多长时间在何处能将逃犯截获？公安干警抄CB近路到达B处时，逃犯又以原速率掉头向相反方向逃窜，公安干警则继续沿BA方向追捕，则经过多长时间在何处能将逃犯截获？（不考虑摩托车和警车转向的时间） 解析: 逃犯的速度v1=54km/h=15m/s, 警车的最大速度为v2m=108km/h=30m/s. 干警沿COB路径追到逃犯时,路程差为CO间距,即 解得t=45s干警抄CB近路到B的时间为t1 ,则解得t1=32.5

5、s 在这个时间内逃犯运动的距离为m此时逃犯距B点的距离为m追上逃犯还需sAvttB0vAt1图3一共需要时间为s解法二（图象法）：根据质点A、质点B的运动情况画出vt图象如图3所示，从图象可知，式可以表示为即 （5）vABv1v2l1l1l2l2图4式可以表示为即 （6）联立（5）(6) 解得: 追问2：能否在同一个vt图象上画出质点A和B的运动图象？vt图象中的面积表示的是位移还是路程？ 我们知道，vt图象不仅描述物体运动速度大小的变化规律,而且描述了物体运动的方向.在直线运动中,物体的运动方向要么与正方向相同,要么与正方向相反.但质点A先后的运动方向不在同一直线上,那么在斜面和水平面上的运

6、动方向是否需要表示出来呢?事实上,非直线运动的 vt图象描述的是速度大小(即v是速率)随时间变化的规律, vt图象与横轴包围的“面积”大小表示对应的路程. vt图象在非直线运动中可以用来描述速率随时间变化的关系，对应的“面积”表示通过的路程大小。体验 两支完全相同的光滑直角弯管(如图4所示)现有两只相同小球A和B 同时从管口由静止滑下，问谁先从下端的出口掉出？(假设通过拐角处时无机械能损失) Avt1t2tovm图5B解析：首先由机械能守恒可以确定拐角处v1 v2，而两小球到达出口时的速率v相等。又由题意可知两球经历的总路程s相等。由牛顿第二定律，小球的加速度大小a=gsin，小球A第一阶段的

7、加速度跟小球B第二阶段的加速度大小相同（设为a1）；小球A第二阶段的加速度跟小球B第一阶段的加速度大小相同（设为a2），根据图中管的倾斜程度，显然有a1 a2。根据这些物理量大小的分析，在同一个v-t图象中两球速度曲线下所围的面积应该相同，且末状态速度大小也相同（纵坐标相同）。开始时A球曲线的斜率大。由于两球两阶段加速度对应相等，如果同时到达（经历时间为t1）则必然有s1s2，显然不合理。考虑到两球末速度大小相等（图中v），球A、球B的速度图象如图5所示。因此有t1 t2，即A球先到.解法三（巧选参考系法）：选A为参考系，则B的运动可分为先以加速度做初速度为0的匀加速直线运动，运动时间为t1,

8、后做初速度为、加速度为a的匀减速运动，运动时间为,直至速度为0。当A追及B时有： 即 即解得：追问3：追及类问题该选择何种解题方法？ 解决追及与相遇问题的方法有很多种，根据“两个关系一个条件”，可以用物理方法(如巧选参考系法)，也可以用数学方法（如解析法、图象法）等建立方程，这给求解带来了多条途径，同时，也给学生带来了方法选择的困难。需要在解题中引导学生进行一题多解的专门训练，通过体验比较，选择出简洁方便的方法。建议大家优先考虑物理方法，即利用物体间的相对运动，选择合适的参考系，这尤其对于在同一直线上的追及问题会更方便一些。体验 从离地面高度为h处有自由下落的甲物体，同时在它正下方的地面上有乙

9、物体以初速度v0竖直上抛，要使两物体在空中相碰，则做竖直上抛运动物体的初速度v0应满足什么条件？（不计空气阻力，两物体均看作质点）.若要乙物体在下落过程中与甲物体相碰，则v0应满足什么条件？解析：选择乙物体为参考系，则甲物体相对乙物体的初速度:v甲乙=0-v0=-v0甲物体相对乙物体的加速度：a甲乙=-g-（-g）=0由此可知甲物体相对乙物体做竖直向下、速度大小为v0的匀速直线运动.所以，相遇时间为：t=乙物体做竖直上抛运动，在空中的时间为：0t即:0 所以当v0,两物体在空中相碰.乙物体做竖直上抛运动，下落过程中的时间为：t 即.所以当 v0时,乙物体在下落过程中与甲物体相碰.追问4：对于典

10、型物理问题的学习我们应该追求什么?很多老师喜欢将知识设计成习题，通过解题训练来提高能力、掌握方法，这无疑有助于学生在解题训练中实现对学科基本概念、基本知识的理解、记忆，促进学生对基本方法的掌握，笔者以为，仅仅如此是不够的。 （1）加深对概念、规律的理解 典型物理问题（模型）的学习不仅是要熟练应用相关的知识，更需要把知识的来龙去脉搞清楚，如物理模型建立的条件？物理模型遵循的物理规律是什么？那么该物理规律的适用条件又是什么？知识可以进行怎样的拓展？如：追及问题从直线运动拓展到非同一直线上运动，速度图象从直线运动到非直线运动，图象中的“面积”从位移到路程，等等。（2）反思、总结和归纳出一些解题的思路、方法 对于过去做过的、典型的“熟题”，重新复习可以一方面“温故而知新”加深理解正确把握；另一方面，是寻求对本题的