高中数学平面向量1平面向量基本定理导4-0

1、眼皮蹦跳跳专业文档 眼皮蹦跳跳专业文档2.3.1 平面向量基本定理【学习目标】1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量 .3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向 量的综合问题.f问题导学知识点一平面向量基本定理思考1如果ei, e2是两个不共线的确定向量，那么与ei, e2在同一平面内白任一向量 a能否用ei, e表示？依据是什么？答案能.依据是数乘向量和平行四边形法则.思考2如果ei, e2是共线向量，那么向量 a能否用ei, e2表示？为什么？答案 不一定，当a与ei共线时可以表示，否则不能表示 .梳理（i）平面

2、向量基本定理： 如果ei, e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a,有且只有一对实数 入i,入2,使a=入。+入2e2.（2）基底：不共线的向量 ei, e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底知识点二两向量的夹角与垂直思考i平面中的任意两个向量都可以平移至起点，它们存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？答案 存在夹角，不一样.思考2 AB8正三角形，设 AB= a, BC b,则向量a与b的夹角是多少？答案 如图，延长 AB至点D,使AB= BQ则芯a,ABC等边三角形，ABG= 60 ,则/ CBD= i20 ,故向量 a与b的夹角为i20 .梳理

3、（i）夹角：已知两个非零向量 a和b,作OA= a, OB= b,则/ AOB 0 （0 0 i80 ） 叫做向量a与b的夹角（如图所示）.眼皮蹦跳跳专业文档 眼皮蹦跳跳专业文档眼皮蹦跳跳专业文档 眼皮蹦跳跳专业文档o b R当0 =0时，a与b同向;当0 =180时，a与b反向.(2)垂直：如果a与b的夹角是90 ,则称a与b垂直，记作ab.题型探究类型一对基底概念的理解例1如果ei, e2是平面a内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是()入ei +科e2(入， F)可以表不平面 a内的所有向量；对于平面“内任一向量a,使a=入ei+科e2的实数对(入，科)有无穷多个；若向量 入e+

4、与 入2ei+科共线，则有且只有一个实数入，使得 入科 =入(入 2eH- 12e2)；若存在实数 入，使得 入ei+e2= 0,则 入= 0.A.B.C.D.答案 B解析 由平面向量基本定理可知，是正确的；对于，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；对于，当两向量的系数均为零，即入1=入2=科1=科2=0时，这样的 入有无数个，故选B.反思与感悟 考查两个向量是否能构成基底， 主要看两向量是否非零且不共线 .此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来跟踪训练1若ei, e是平面内的一组基底，则下列

5、四组向量能作为平面向量的基底的是()A. e1 e2, e2 e11B.2 e1 - e2, e产C.2&3e1, 6e1 4e2D.e1 + e2, e1 e2答案 D解析 选项A中，两个向量为相反向量，即e1-e2= - (e2-e1),则e1-e2, e2e1为共线向，一 一 1 .重；选项 B 中，2e1 e2= 2(e1 ？e2),也为共线向重；选项 C中，6e1 4e2= - 2(2 e2 3e1),为共线向量.根据不共线的向量可以作为基底，只有选项D符合.眼皮蹦跳跳专业文档 眼皮蹦跳跳专业文楮眼皮蹦跳跳专业文档 眼皮蹦跳跳专业文档类型二_向量的夹角例2 已知|a|=|b|=2,且

6、a与b的夹角为60 ,设a+ b与a的夹角为a , a b与a的 夹角是3 ,求a + 3 -解 如图，作 OA= a, Ob= b,且/ AOB= 60 ,以OA OB为邻边作？OACB则Og= a+b, BA=OA-Ob= a- b,BC=Oa= a.因为| a| = | b| =2,所以 OA斯正三角形，所以/ OAB= 60 =Z ABC即a b与a的夹角3 =60 .因为| a| = | b| ,所以平行四边形 OAC的菱形，所以 OCL AB 所以/ COA90 -60 = 30 ,即a+b与a的夹角a =30 ,所以 a + 3 = 90 .反思与感悟 （1）求两个向量夹角的关键

7、是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出.（2）特别地，a与b的夹角为0 ,入ia与入2b（入1、入2是非零常数）的夹角为。0,当入i入20 时，0 0= 0 .跟踪训练2 已知a, b, c为圆o上的三点，若Ab= / AlAC ,则ABrAb勺夹角为.答案 907 1 解析 由AO= 2（AB+AQ知，Q B, C三点共线，且 。是线段BC的中点，故线段 BC是圆O的直径，从而/ BAC= 90。，因此ABiAC勺夹角为90 .类型三平面向量基本定理的应用例3如图所示，在？ABC由，E F分别是BC DC边上的中点，若 AB= a, Ab= b,

8、试以a,眼皮蹦跳跳专业文档 眼皮蹦跳跳专业文档眼皮蹦跳跳专业文档 眼皮蹦跳跳专业文档b为基底表示DE BF解 二.四边形ABCD1平行四边形，E, F分别是BC DC边上的中点, -AD= BC= 2BE, BA= CD= 2CF 11 111BE=二AD= -b, CF= -B/A= -AEJ= -a.22222DE= DA+ AB+ BE= AN A母 BE.1.1.=b + a + 2。= a 2b1BF= BO C曰 AA C鼻 b- 2a.引申探究 若本例中其他条件不变，设 DE= a, BF= b,试以a, b为基底表示Ab At)解取CF的中点G,连接EG. B G分别为BC C

9、F的中点,1 - 1,-EG= BF= -b, 22 1DG= DE+ EG= a +2b.3+_ 3T_又 1 OP= ONF nNA= 2。跳 n( OA- ON1 . ,1,、1=,b+ n( a- gb) =5(1 n) b + na. a, b不共线,L3(1 m尸 n,1以1 nrm,即15,2 m=二.5一 12OP= 5a+5b.当堂训练.下列关于基底的说法正确的是 （）平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底；基底中的向量可以是零向量；平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的A.B.C.D.答案 C解析 零向量与任意向量共线，故零向量不能作为

10、基底中的向量，故错，正确.在直角三角形 ABC43, / BAG= 30 ,则ACfBA勺夹角等于（）眼皮蹦跳跳专业文档 眼皮蹦跳跳专业文档眼皮蹦跳跳专业文档眼皮蹦跳跳专业文档B.60D.150A.30 0.120答案 D解析 由向量夹角定义知，ACfB的夹角为150 .已知向量 ei, e2不共线，实数 x, y 满足(2x3y) ed (3x 4y)& = 6ei+3e2,则 x = y=答案 15 12解析 :向量es e2不共线,2x-3y=6,x=- 15,x-4y=3,解得 12.如图所示，在正方形 ABCD,设AB= a, AD= b, Bb= c,则当以a, b为基底时，AC可

11、表示为,当以a, c为基底时，ACT表示为1答案 a+b 2a+ c解析 由平行四边形法则可知,A0=XB+XD= a+b,以a, c为基底时将 由笄移，使点 B与点A重合，再由三角形法则和平行四边形法则即可得到5.已知在梯形 ABCD3, AB/ DC且AB= 2CD E, F分别是DC AB的中点，设 At a, AB= b,试用a、b为基底表示DC BC EF解 连接FD, . DC/ AB AB= 2CD E, F分别是 DC AB的中点,D微 FB四边形DCB两平行四边形.依题意，DC=FBBC= FD= AD- AF11=AD- 2AB= a-2b,眼皮蹦跳跳专业文档眼皮蹋跳跳专业

12、文档眼皮蹦跳跳专业文档 眼皮蹦跳跳专业文档1ZEf= DJ DE= - FD- DE= - BG-gDC TOC o 1-5 h z 11 11=2b 1 2X2b=4b-a.L规律与方法1.对基底的理解(i)基底的特征基底具备两个主要特征：基底是两个不共线向量；基底的选择是不唯一的.平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底.准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的.(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用

13、向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决课时作业一、选择题.设e, e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是()A. e + e2和 61-02B.3e 4e2和 6e1-8e2Ce+ 2e2 和 2e + &D.e1 和 e1 + e2答案 B解析 B 中，e1 8e2=2(3a 4e2),.,.(6e1-8e2)/ (3 e4e2), 3 e 4e2和6e1-8e2不能作为基底.若向量a与b的夹角为60 ,则向量一a与一b的夹角是()A.60B.120C.30 D.150答案 A.如图所示，用向量 e1, e2表示向

14、量a b为()眼皮蹦跳跳专业文档 眼皮蹦跳跳专业文楮眼皮蹦跳跳专业文档 眼皮蹦跳跳专业文档A. 4ei 202C.ei 3e2答案 CB. 2ei 402D.3ei -e2a b= AB由向量的加法得 AB= ei 3e2.4.设向量ei和e2是某一平面内所有向量的一组基底，若 则实数y的值为()A.3 B.4 C. -! D. -3 44答案 B解析 因为 3xei+(i0 y)e2= (4 y 7)ei +2xe2,所以(3x 4y+ 7)ei + (i0 -y-2x) e2=0,又因为ei和e2是某一平面内所有向量的一组基底，所以故选B.3xei+ （i0 - y） e2= （4 y 7

15、） ei + 2xe2,3x-4y+7=0,i0-y- 2x= 0,x= 3,解得ly=4,解析如图，由向量的减法得5.若Op= a, Op= b, pip=入 Pp（入 W i）,则 O由于（）A. a + 入 bC.入 a + bB.入 a + （i 入）bD.i+ 入入 b答案 D解析 而=入Ph,OF3-OP=X（OP OP,（i + 入）OP= OP+ 入 OP,眼皮蹦跳跳专业文档 眼皮蹦跳跳专业文楮眼皮蹦跳跳专业文档眼皮蹦跳跳专业文档弧三包士心 士 b.6.若D点在三角形 ABC勺边BC上，且CD- 4DB= rAB+sAC则3r+s的值为（）16a.t1284B. T C. 5

16、D. 5答案解析, CD= 4DB= rAB+sAC 4 4 - - .CD= -CEB- -（A5 AC 55=rAB+ sAC,44.15, s于3r + s=8. 5 5 57.在平行四边形 ABC珅，AC与BD交于点O, E是线段OD勺中点，AE的延长线与 C改于点 TOC o 1-5 h z F.若AC= a, BD- b,则刖于（）11B.，+4b12D-a+-b2311ANa+2b21C. 3a+ 3b答案 C解析如图，设是入Cd AE=科靠,贝 uCD-OaOc 2ba,1 1故AF= AC+ CQ （1 5 入）a + 2 入 b.112 a+4 b,眼皮蹦跳跳专业文档 眼皮

17、蹦跳跳专业文楮眼皮蹦跳跳专业文档眼皮蹦跳跳专业文档i i1一5 入=5)22 a，由平面向量基本定理，得彳i i12 入=4-7， XF= 3a+b,故选 C.二、填空题8.已知ei,e2不共线，a=ei +2e2,b= 2ei+入e2,要使a, b能作为平面内的一组基底，则实的取值范围为答案（一00, 4）U（4, 十0）解析若能作为平面内的一组基底，则a 与 b 不共线.a=ei + 2e2, b=2ei+ 入 由 aw kb,即得入W4.9.若 | a| = | b| = | a- b| = r（ r0）,则a与b的夹角为答案 60解析作OA= a, OB= b,则BA= a-b,Z A

18、OB a 与 b 的夹角，由 |a| = |b| =|a b| 知AOB为等边三角形，所以/ AOB= 60 .10.如图，在平行四边形 ABCDK虱AF苴中入，,it-i,a+b, AF= a + -b, 2答案解析设AB= a, Ab= b,贝UAfe=12又AO a+b,AC= （AE+AR，即 X =X + =.333三、解答题眼皮蹦跳跳专业文档眼皮蹦跳跳专业文档眼皮蹦跳跳专业文档 眼皮蹦跳跳专业文档11.判断下列命题的正误，并说明理由:（1）若 aei + be2= cei + de2（ a、b、c、dCR）,贝 U a=c, b=d；（2）若ei和e2是表示平面内所有向量的一组基底

19、，那么该平面内的任一向量可以用ei + e2、ei e2表不出来.解（i）错，当ei与e2共线时，结论不一定成立.（2）正确，假设 ei+e2与eie2共线，则存在实数入，使ei + e2=入（ei e2）,即（i 入）ei=一（i + 入）e2.因为i入与i+入不同日为0,所以ei与e2共线，这与ei, e2不共线矛盾.所以ei + &与ei-e2不共线，即它们可以作为基底，该平面内的任一向量可以用ei + e2、eie2表不出来.i2.如图，平面内有三个向量 OA OB Oc其中OA旨O的夹角为i20 , O陌O的夹角为30 ,且|04=|OB = i, |Oq = 2巾，若OC= x O

20、af科0艮入，We R）,求入十科的值.R解 如图，以OA OB所在射线为邻边， Og对角线作平行四边形 ODCe则Oc=OdfOe在 RtAOCDfr, ,. I Oc=2后 /CO930 , / OCR90 , ，iOd=4, |CD = 2,故 OD= 40AOe= 2OB 即入=4,科=2, .入 + 科=6.1,1 _ , 一 DC 、I_i3.在梯形 ABC阴,AB/ CD M N 分别是 DA BC 的中点，目=k.设AD= eb AB= e2,以Bei, e2为基底表示向量 DC BQ MtN解方法一如图所示，DC .- AB= e2,且后 k,眼皮蹦跳跳专业文档 眼皮蹦跳跳专

21、业文楮眼皮蹦跳跳专业文档 眼皮蹦跳跳专业文档，Db= kAEJ= ke2.一 _X / AB+ BOCDF DA= 0,. BC= AB- CD- DA= AB+ DC- AD=ei+ ( k- 1) e2.- - 又. MNF NBB/V AM= 0,且幅-2配am= 2疝一 Y ， T_ 1 T_ 1_ 1，一，MN= AM- BA- NB= 一 -A AB+ 二BC 22k+ 1=2 e2.方法二 如图所示，过 C作CEE/ DA交AB于点E,交MNT点F.同方法一可得DC= ke2.则Bb= be+ EC= - (Ab-DC+Ab= ed(k 1)金,Mn= Mf* FN=DC2eB=DC1( AB-DCk+1= -Fe2.方法三 如图所示，连接 MB MC同方法一可得 DC= ke2, Bb= ed(k1)e2.由Mn= /而母而值 得Mn= 1(MafAB+ M