高中数学知识点总结最全版

1、学习必备欢迎下载高中数学知识点总结（最全版）数学知识点总结引言1.课程内容：必修课程由5个模块组成：必修1 ：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、哥函数）必修2:立体几何初步、平面解析几何初步。必修3:算法初步、统计、概率。必修4:基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。必修5:解三角形、数列、不等式。以上是每一个高中学生所必须学习的。上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主 要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何 初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一 步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度 上做过高

2、的要求。止匕外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。选修课程有4个系列：系列1:由2个模块组成。选修1 1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。选修12:统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图学习必备欢迎下载系列2:由3个模块组成。选修21:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。选修22:导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数选修23:计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。系列3:由6个专题组成。选修3-1:数学史选讲。选修32:信息安全与密码。选修33:球面上的几何。选修34:对称与群。选修35:欧拉公式与闭曲面分类。选修36:三等分角与数域扩充。系

3、列4:由10个专题组成。选修41:几何证明选讲。选修42:矩阵与变换。选修43:数列与差分。选修44:坐标系与参数方程。选修45:不等式选讲。选修46:初等数论初步。选修47:优选法与试验设计初步。选修48:统筹法与图论初步。选修49:风险与决策学习必备欢迎下载选修410:开关电路与布尔代数。2.重难点及考点：重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何, 导数共104页难点：函数、圆锥曲线高考相关考点：集合与简易逻辑：集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用数列：数

4、列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的 应用三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、 直线与圆的位置关系学习必备欢迎下载圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、平面与平面、 棱柱、棱锥、球、空间向量排列、组合和概率：排列、

5、组合应用题、 二项式定理及其应用(11)概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布(12)导数：导数的概念、求导、导数的应用(13)复数：复数的概念与运算高中数学第一章必修1知识点集合与函数概念K1.O集合1.1.11集合的含义与表示(1)集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性(2)常用数集及其记法.N表示自然数集，N或N表示正整数集，Z表示整数集，Q表示 有理数集，R表示实数集.M ,两者必居其一.(3)集合与元素间的关系对象a与集合M的关系是aM,或者a (4)集合的表示法自然语言法：用文字叙述的形式来描述集学习必备欢迎下载合描述法：列举法：把集合中的元素一一列举出来，

6、写在大括号 内表示集合x|x具有的性质,其中x为集合的代表元素.共104页图示法：用数轴或韦恩图来表示集合(5)集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集空集().含有无限个元素的集合叫做无限集【1.1.2】集合间的基本关 系.不含有任何元素的集合叫做(6)子集、真子集、集合相等名称记号意义(1)AA中的任一元素都属于B(3)若A(4)若AA性质不意图学习必备欢迎下载子集B(或AB且BB且BC,则AA,则ACA(B)BABA真子集BA)BB或AAB,且B中至(1)若A (A为非空子集)AB且BC,则AC学习必备欢迎下载A(或A)少有一元素不属于 集合相等A中的任一元素都AB属于B, B中的任一元

7、素都属于A n (1)A(2)BB AA(B)(7)已知集合非空真子集.A 有 n(n1)个元素，则它有2个子集，它有2 n1个真子集，它有2 n1个非空子集，它有2 n【1.1.3】集合的基本运算学习必备欢迎下载(8)交集、并集、补集名称记号意义性质(1) A A (3) A不意图交集ABx|xxx|xxA,且 BA或 BABBABB(AABAAABA(eUA)A)A)(B)B)ABA学习必备欢迎下载并集ABA (1) A A(3) AA补集eUAx|xU,且 xA疹U(A疹U(AB)B)UUUU2A(eUUA)【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法(1)含绝对值的不等式的解法不

8、等式解集|x|a(a|x|a(a0)0)共104页x|ax|xxa或x学习必备欢迎下载aa把axb看成一个整体，化成|x|a ,0)型不等式来求解|axb|c,|axb|c(c0)|x|a(a(2) 一元二次不等式的解法判别式b24ac000二次函数yax2bxc(a0)O的图象一元二次方程ax2x1,20)学习必备欢迎下载bxc的根0(ab4ac2ax1x2)x22x1x2b2a无实根(其中ax2bxc的解集0(a0)x|xx1或xx|xb2a学习必备欢迎下载ax2 bxc的解集0(a0)x|x1xx2K1.23函数及其表示【1.2.11函数的概念(1)函数的概念设A、B是两个非空的数集，如

9、果按照某种对应法则f,对于集合A中任何一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么这样的对应(包括集合A, B以及A到B的对 应法则f)叫做集合A到f:AB.B的一个函数，记作函数的三要素：定义域、值域和对应法则.只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数.(2) 区间的概念及表示法学习必备欢迎下载设a,b是两个实数，且实数ab,满足axb的实数x的集合叫做闭区间，记做xa, b,或 ax ,a xa,b;满足 axb的x的集合叫做开区间，记做(a,b);满足ab的实数x的集合叫做半 开半闭区间，分别记做ab,), (a,b;满足x)b,(x,.bx,b的x实b数x的

10、集合分别记做a,)a,(,注意：对于集合x|ab与区间(a,b),前者a可以大于或等于b,而后者必须共104页ab,(前者可以不成立，为空集；而后者必须成立).(3)求函数的定义域时，一般遵循以下原则：f(x)是整式时，定义域是全体实数.f(x)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数.学习必备欢迎下载f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于y1. tanx 中,xk2(kZ).零(负)指数哥的底数不能为零.若f(x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等

11、函数的定义域的交集.对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知应由不等式af(x)的定义域为a,b,其复合函数fg(x)的定义域g(x)b解出.对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母 参数进行分类讨论.由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问 题的实际意义.(4)求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的.事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同.求函数值域与最值 的常用方法：观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域

12、或 最值.学习必备欢迎下载配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，最值.判别式法：若函数y在a(y)然后根据变量的取值范围确定函数的值域或 f(x)可以化成 一个系数含有2y的关于x的二次方程a(y)x2b(y)xc(y)0,则0时，由于 x,y为实数，故必须有b(y)4a(y)c(y)0,从而确定函数的值域或最值. 不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值.换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换 可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题.反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定 函数的值域或最值.数形结合法：利用函数图象或几何方法

13、确定函数的值域或最值.函数的单调性法.【1.2.2函数的表示法(5)函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种.解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.图象法：就是用 图象表示两个变量之间的对应关系.(6)映射的概念设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则 f,对于集合A中任学习必备欢迎下载何一个元素，在集合B中都有唯一的共104页元素和它对应，那么这样的对应(包括集合作 f:AB以及A至U B的对应法则f)叫做集合A至U B的映射，记给定一个集合素A到集合B的映射，且aA,bB.如果元素a和元素b对应，那么我

14、们把元素b叫做元a的象，元素a叫做元素b的原象.K1.33函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大(小)值(1)函数的单调性定义及判定方法函数的性质定义如果对于属于定义域某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当 x1 . x2f(x1)f(x2),.时，都有那么就说函数的单调性f(x)在这个区间上是增函数.如果对于属于定义域某个区间上的任意两个自变量的值 x1、x2,当 xf(x2), xf(x学习必备欢迎下载图象I内判定方法(1)利用定义yy=f(X)f(x )1(2)利用已知函数f(x )2的单调性(3)利用函数图象(在某个区间图ox1x2x象上升为增)(4)利用复合函数(1)利用定义

15、I内yf(x )1y=f(X)(2)利用已知函数的单调性(3)利用函数图象(在某个区间图x学习必备欢迎下载f(x )2那么就说f(x)在这个区o间上是减函数.在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，减函数减去一个增函 数为减函数.对于复合函数x1x象下降为减)(4)利用复合函数增函数减去一个减函数为增函数，两个减函数的和是减函数，yfg(x),令 ug(x)为减,则 yg(x),若yf(u)为增，ug(x)为增,则yfg(x)为增;若fg(x)为yf(u)为减,ufg(x)为增;若 yfg(x)为减.f(u)为增，ug(x)为减，则y减；若y (2)打函数f(u)为减，uf(x)学习必备欢迎下

16、载xaxg(x)为增，则y(a0)的图象与性质yf(x)分别在(a、a,)上为增函数，分别在a,0)、(0,a上为减函数.(3)最大(小)值定义一般地，设函数yf(x)的定义域为I,如果存在实数MxI ,都有f(x)M;共104页ox满足：(1)对于任意的(2)存在x0一般地，设函数(2)存在x0I,使得 f(x0)yM.那么，我们称M是函数f(x)的最大值，记作fmax(x)学习必备欢迎下载M .m;f(x)的定义域为I,如果存在实数m满足：(1)对于任意的xI,都有f(x)I,使得 f(x0)m.那么，我们称m是函数f(x)的最小值，记作【1.3.2】奇偶性fmax(x)m.(4)函数的奇

17、偶性定义及判定方法函数的性质定义如果对于函数域内任意一个f(x)定义x,都有图象判定方法(1)利用定义(要先判断定义域是否关于原点对称)(2)利用图象(图象关于原点对称)(1)利用定义(要先判断定义域是否关于原点对称)(2)利用图象(图象关于y轴对称)f(，那么函数.x)=. f(x). . f(x)叫做奇函数.函数的奇偶性如果对于函数域内任意一个学习必备欢迎下载f(x)定义X,都有f(x)，那么函数f(. . x)= f(x)叫做偶函数.若函数奇函数在f(x)为奇函数，且在x0处有定义，则f(0)0.y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在 y轴两侧相对称的 区间增减性相反.,两个偶函数(或

18、奇函在公共定义域内，两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函 数(或奇函数)数)的积(或商)是偶函数，一个偶函数与一个奇函 数的积(或商)是奇函数.K补充知识R函数的图象(1)作图利用描点法作图：确定函数的定义域；讨论函数的性质(奇偶性、单调性)利用基本函数图象的变换作图：；化解函数解析式；画出函数的图象.要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数 函数、募函数、三角函数等各种基本初等函数的图象.平移变换h0,左移h个单位h0,右移|h|个单位学习必备欢迎下载k0,上移k个单位k0,下移|k|个单位yf(x)yf(xh)yf(x)yf(x)k伸缩变换yyf(x)f(x)1,伸1

19、,缩yyf(x)Af(x)0A1,缩 A1,伸对称变换共104页yyyy(2)识图f(x)f(x)f(x)f(x)x轴yyf(x)f(x)yyf(x)f(x)yy轴学习必备欢迎下载yf(x)yf1原点直线yx(x)去掉y轴左边图象保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称图象保留x轴上方图象 将x轴下方图象翻折上去f(|x|)y|f(x)|对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化 趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注 意图象与函数解析式中参数的关系.(3)用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了 “形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结

20、果的重要工具.要重视数形结合解题的思想方法.第二章基本初等函数(I ) K2.13指数函数【2.1.1】指数与指数哥的运算(1)根式的概念学习必备欢迎下载如果用符号的 n x na,aR,xR,n1 且 nN,那么x叫做a的n次方根.当n是奇数时，a的n次方根 na表示；当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号a表示, 负的n次方根用符号na表示；0n次方根是0;负数a没有n次方根. 式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.当n为奇数 时，a为任意实数；当n为偶数时，a0.(a) n n 根式的性质：(2)分数指数哥的概念学习必备欢迎下载a;当n为奇数时，n ana;当n为偶数时,

21、 na n |a|a (aa (a 0)0)m正数的正分数指数哥的意义是: aan na(a()a1 mn m0,m,n学习必备欢迎下载N,且 n0,m,n1). 0的正分数指数哥等于0.m正数的负分数指数哥的意义是：没有意义. n()(aa1 mN,且n1). 0的负分数指数募 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数.(3)分数指数哥的运算性质 aa(ab)r rsa rs(a0,r,sR)0,b0,rR) rs学习必备欢迎下载a(ars0,r,sR)rrab(a【2.1.2】指数函数及其性质(4)指数函数函数名称定义函数指数函数ya(ax0且a1)叫做指数函数共104页yyaxyax学习必备欢

22、迎下载a10a1图象定义域值域过定点奇偶性单调性在R(0,)0时，y1.图象过定点(0,1),即当x非奇非偶R上是增函数x在R上是减函数xa函数值的变化情况1(x1(x1(x0)0)0)aaa1(x1(x1(x学习必备欢迎下载0)0)0)aa xx xxa变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，K2,23对数函数a越大图象越低.2.2,11对数与对数运算(1)对数的定义若axN(a0,且a1),则x叫做以a为底N的对数，记作x logaN,其中a叫做底数，N叫做真数.负数和零没有对数.对数式与指数式的互化：(2)几个重要的对 数恒等式xlogaN a学习必备欢迎下载N(a0

23、,a1,N0).loga10, logaal, logaa(3)常用对数与自然对数常用对数：lgN,即(4)对数的运算性质加法：bb.log10N;自然对数：lnN,即logeN (其中e0,a1,M0,N0,那么减法：logaMalogaN2.71828,).如果alogaMlogaNloga(MN) nlogaNlogaMN数乘：nlogaMlogaM(nR)学习必备欢迎下载共104页 logabMnnblogaM(b0,nR)换底公式：logaNlogbNlogba(b0,且 b1)【2.2.2】对数函数及其性质(5)对数函数函数名称定义函数对数函数y1logax(a0且a1)叫做对数函

24、数ax11学习必备欢迎下载y x1y logaxy y logax 图象 (1,0)O (1,0) xO x 定义域值域过定点奇偶性单调性 在(0,(0,)R图象过定点(1,0),即当x 非奇非偶1时，y学习必备欢迎下载0.)上是增函数0(x0(x0(01)1)x1)在(0,)上是减函数0(x0(x0(01)1)x1)logax函数值的变化情况logaxlogaxlogaxlogaxlogaxa变化对图象的影响(6)反函数的概念设函数y在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高.(y).如果对于y在(y)表示x是yf(x)的定义域为A,值域为C,从式子yf(x)中解出x,得

25、式子xC中的任何一个值，通过式子 x的函数，函数学习必备欢迎下载(y), x在A中都有唯一确定的值和它对应，f(x)的反函数，记作 那么式子xx(y)叫做函数yxf1(y),习惯上改写成yf(x).1(7)反函数的求法确定反函数的定义域，即原函数的值域；从原函数式将yf(x)中反解出xf(y);1xf1(y)改写成yf1(x),并注明反函数的定义域.(8)反函数的性质共104页原函数y函数yf(x)与反函数yf(x)的图象关于直线y学习必备欢迎下载1y1x对称.f(x)的定义域、值域分别是其反函数f(x)的值域、定义域.f(x)的图象上.1若P(a,b五原函数y一般地，函数f(x)的图象上，则

26、P(b,a施反函数yyf(x)要有反函数则 它必须为单调函数.U2.33募函数(1)募函数的定义一般地，函数yx叫做哥函数，其中x为自变量，是常数.(2)募函数的图象共104页(3)募函数的性质图象分布：哥函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象象限(图象关于.哥函数是偶函数时，图象分布在第一、二(图象关于原点对称);是非奇非偶函数时，图y轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限象只分布在第一象限过定点：所有的哥函数在单调性：如果(0,)都有定义，并且图象都通过点0,(1,1).)上为增函数.如果学习必备欢迎下载0,则募函数的图象在0,则募函数的图象过原点，并且在(0,)上为减函数，

27、在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴.为偶数时,募函数为偶函数.当奇偶性：当为奇数时，哥函数为奇函数，当qqp(其中qp,q互质，p和q偶数,若p为奇数q为奇数时，则yZ)qx是奇函数，若pp为奇数q为偶数时，则yx是偶函数，若p为pq为奇数时，则yyx是非奇非偶函数.学习必备欢迎下载图象特征：哥函数象在直线x,x(0,),当x1时，若01,其图象在直线x1,其图象在直线yx下方，若x1,其图x下方.yx上方，当1时，若0yx上方，若x1,其图象在直线yK补充知识R二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式:f(x)x1)(xax2bxc(a0)3)顶点式：f(x)a(xh)2k(a0)(D

28、两根式：f(x)a(xx2)(a0) (2)求二次函数解析式的方法已知三个点坐标时，宜用一般式.学习必备欢迎下载已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时， 常使用顶点式.若已知抛物线与(3)二次函数图象的性质二次函数x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求f(x)更方便. f(x)2 ax2bxc(a0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为xb2a，顶点坐标是(b2a,4acb4a).(,b2a上递减，在b2ab2a,学习必备欢迎下载)上递增，当xb2ab2a当a0时，抛物线开口向上，函数在 4ac4ab2时，fmin(x);当 a0时，抛物线开口向下，函数在(,上递增，在,

29、)上递减，当xb2a共104页时，fmax(x)4ac4ab22二次函数f(x)ax2bxc(a0)当b4ac学习必备欢迎下载0时，图象与x轴有两个交点M1(x1,0),M2(x2,0),|M1M2|x1x2|(4) 一元二次方程|a|0(aax2bxc0M艮的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于 二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运用，下面 结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分 布.设一元二次方程ax2bxc0(a0勺两实根为x1,x2,且x1a对称轴位置：xb2ax2,令 f(x)判别式：ax2bxc,从以下四个学习必备欢迎下载方面来分析此类问题：开口方向： k x1x2 端点函数值符号.y f(k) 0O a y x b2a kx1 x k x2b2a Ox1 x2x a x f