高中数学立体几何导学案

1、教学目标:1.2.3.3. 2.1立体几何中的向量方法(线线角)掌握好向量的相关知识：概念、基本运算、建系方法、坐标求法(不定点的坐标)、平行与垂直、法向量求法sin cosPo Pnpo p掌握向量作为工具解决立几问题的方法COSn ,、n m或 COS 民nlm(0 a 2 )例1.在棱长为.1的正方体ABCD A1B1c1D1中，E、F分别是D1D,BD的中点,P0dG在十CD上,且CG ：CD,H为GG的中点,应用空间向量方法求解F歹!J问题。(1)(2)(3)向量解题后建议多思考传统的方法，不仅可以锻炼思维能力，还可以深刻认识空间几何的本质重点难点：向量作为工具解决立几问题的方法教学

2、过程:设疑自探:两条异面直线所成的角：设l 1与l 2两条异面直线，n / l 1 , m / l 2,则l 1与l 2所成的角(0 a )2求证：EFXB1C;求EF与C1G所成的角的余弦;求FH的长。例2.如图，在棱长为2的正方体ABCD如图所示的空间直角坐标系。(1)写出A、BE、D1的坐标;(2)求AB1与D1E所成的角的余弦值。解疑合探:1、在正方体ABCD ABGDi中，如图E、F分别是BBl, CD的中点,3.如图所示，ABCD是一个正四面体，E、F分别(i)求证：DiF平面ADE ;为BC和AD的中点.求：AE与CF所成的角 cos(EF,CB1)质疑再探：请同学们踊跃发言提问

3、，解除心中的疑问。2.如图，长方体 ABCDAiBiCiDi 中，AB=BC=2,AAi=i, E、H分别是 AiBi和BBi的中点.求:(i)EH与ADi所成的角;(2)ACi与BiC所成的角.CiDiEBi课堂练习：i .正方体的i2条棱和i2条 面对角线中，互相异面的两条线成的角大小构成的集合是2.正方体ACi中，O是底面ABCD的中心，则OAl和BDi所成角的大小3.已知l为异面直线a与b的公垂线，点p a,若a、b间距离为2,点P至”的距离为2, P到b的距离为遥，则异面直线a与b所成的角4.如图正三棱柱 ABC-AiBiCi中AB=v巧AAi, M、AiBi, AiCi 的中点，则

4、AM与CN所成角为N分别是ED1C15.如图PD 平面ABCD,四边形ABCD为矩形,AB=2AD=2DP , E 为 CD 中点(1) AP与BE所成的角为(2)若F直线PD,且AF与BE所成角为1. =30%亍吗？.空间四边形ABCD中，对角线AC, BD与各边长均为1,O为BCD的重心，M是AC的中点，E是AO的中点，求异面直线OM与BE所成的角。.空间四边形 ABCD 中 AB=BC=CD , BCD= ABC=120?, AB CD,.已知正方体AC1中，E、F分别是A1D1, A1C1的中点， 则AE与CF所成的角为M、N分别是AA1, BB1的中点， 则CM和D1N所成的角是，9

5、、如图，三棱锥 PABC 中，PC 平面 ABC, PC=AC=2, AB=BC , D是PB上一点，且 CD 平面PAB.(I)求证：AB 平面PCB;(II)求异面直线AP与BC所成角的大小； PAFM、N分别是中点AC和BD所成的角为。MN与BC所成的角为10、如图，正四棱柱ABCD AiB1C1 Di中, 所成角的余弦值。AA 2AB，求异面直线 AiB与ADi12、已知四棱锥P ABCD的底面为直角梯形，AB/DC , DAB 90 ,PA底面ABCD，且PA AD DC - , AB 1 , M是PB的中点2(I )证明：面PAD 面PCD； (H)求AC与PB所成的角；11、在长

6、方体 ABCD-A 181口1 中，已知 AB=a, BC= b(a 求异面直线D1B和AC所成的角的余弦值。b) ,AA 1=c,13、如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA底面ABCD, AB 73 , BC 1 , PA 2, E为PD的中点 求直线AC与PB所成角的余弦值;AB2. 2立体几何中的向量方法（线面角）一i、基础知识.定义:（斜线和平面所成的角垂线与平面所成的角 l或l）本节内容我们与学生主要讨论和学习向量法，其他方法只做补充，不做研 究.2直线与平面所成角范围是 。3.斜线与平面所成的角是此斜线与平面内所有直线所成角中最小的角 （最小值定理）设疑自探:

7、请同学们在规定时间内阅读课本，并掌握线面角的做法，在上一节求 线线角的基础上，尝试建系,并求出线面角.例题如下：（要求独立完成）4.求法： 几何法公式法问量法（1）几何法：作出斜线与射影所成的角，论证所作（或所找）的角就是要求的角,解三角形求出此角。公式法：cos 空cos 2AB 于点 B, AOB ,cos 1 cos 2 cosAOC 1, BOC 2例1、在长方体 ACi中，AB=2, BC=CCi=1,求 D1CD与面ABCiDi所成的角AiC与平面ABCiDi所成的角AiC与平面BCiD所成的角A1D；J / /OB1C1m如图，在棱长为2的正方体ABCD 与平面ABCD所成角的余

8、弦值.ABCiDi中，E是BCi的中点。求直线DEsincos m,n（即：与斜线射影所成的两角的余弦的积等于斜线和平面内的直线 所成角的余弦值）（3）向量法：设直线a与平面 所成角为， 直线a的方向向量与面的法向量分别是m, n,则m,n的余角或其补角的余角 即为a与 所成的角，解疑合探：(请同学们合作探究)1.如图，在直三棱柱 ABC AiBiCi 中，AC=3, BC = 4, AAi = 4,点 D是AB的中点，(I)求证：AC BCi；(II)求证：AC i/平面 CDBi；3、如图，已知矩形 ABCD所在平面外一点P, PA，平面ABCD, E、F 分别是AB、PC的中点。(i)求

9、证：EF/平面PAD;(2)求证：EFXCD;(3)若PDA 45 ,求EF与平面ABCD所成的角的大小。2.如图所示，四棱锥PABCD中，ABAD , CD AD , PA底面ABCD ,PAPA=AD=CD=2AB=2 , M 为 PC 的中点。求证：BM/平面PAD;(2)在侧面PAD内找一点N,使MN平面 PBD;(3)求直线PC与平面PBD所成角的正4、如图 AB 平面 ABCD,BC CD, AB BC, AD与平面ABCDf成的角为30o求AD与平面ABC所成的角AC与面ABD所成的角2.已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于3.如图，在长方体 AB

10、CD-A1B1C1M,AB=BC=2,AA1 = 1则 AC1 与平面A1B1C1D所成角的正弦值为4.在如图所示的几何体中，EAL平面ABC DBL平面ABC ACL BC 且(1)EMCf成角的正切值质疑再探：请同学们大胆提问，踊跃发言，把心中的疑惑讲出来，我们进一步探讨。课堂练习：1.如图，正三棱柱ABC-ABC中，侧棱长为，2,底面三角形的边长为1, 则BC与侧面ACCAi所成的角是 .AC=BC=BD=2AEM是AB的中点.求DE与平面5.如图，在四棱锥 P-ABCM,PAL底面 ABCD,AB_AD,ACLCD,/ ABC=60,PA=AB=BC,EM PC的中点.求PB与平面PA

11、D9f成角白大小.6,四棱锥S-ABCW,底面ABC的平行四边形，侧面SB(X底面ABCD已8.已知三棱锥S ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直知/ABC=45, AB=2, BC=2/2, SA=SB =3,求直线 SD与平面 SB所成于底面ABC, SA=3,那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为角的大小.(A) 由4(B)日 4(C)9,直三棱柱 ABC ABG中，若 BAC 90 , AB与AG所成的角等于(A)30(B)45(C)60AC AAi ,则异面直线BAi(D)9010.正方体 ABCD - AiB1C1 Di 中,BBi与平面ACDi所成角的余弦值为

12、(A)二(B)卷 TOC o 1-5 h z 33(C) 2(D)近337,正方体ABCD- ABC.中，BBi与平面ACDi所成角的余弦值为(A)9(B)与(C) f (D)一11.已知三棱锥S ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC, SA=3,那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为(B)等 43. 2. 3立体几何中的向量方法（面面角）一i、基础知识.定义:二面角：由一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角平面角：过棱上同一点分别位于二面角的两个面内，且与棱同时垂直 的两条射线所成的角叫做二面角的平面角，二面角的取值范围 是.注:二面角是空间图形，平面角是平面

13、图形。在书写时不要写成 AOB 为所求二面角工而应写成 AOB为二面角 l 的平面角.求法：几何法 向量法 公式法（1）几何法：作出二面角的平面角,再求解，常见的有作法图 形定义法在棱CD上找一点O,在 两个面内分别作棱的垂线 AO,BO AOB为二面角CD 的平面角垂面法过棱上一点O作棱的垂直 平面 与两个半平面的交 线分别为AOBO AOB为CD 的平面角三垂线法过B内一点A,作AB交于B,作BO CD于O,连结 AO, AOB的CD 平面角或具补角向量法：分别求出和的法向量m,n,则二面角l的大小为m,n或 m,n用此法须知：需建空间直角坐标系，定准相应点的坐标2通常容易找到一个面的法向

14、量，只需通过二次垂直，求另一个平面的法向量3当i为锐角时m,n （ m,n为锐角）或 一m,n （ m,n 为钝角）在平面内AC EF在平面 内，BD EF,且B EF分别求出A EFaC,bD,则 AC；bD 即为二面角 EF 的大小（3）公式法：设二面角 l 的大小为，AB ,CD ,AB l,CD l,令AB m,CD n,BD d,贝U222. 2AC m n d 2mn cos注意：BA与前 所成的角一定与二面角的平面角大小相等，但不一定是 异面直线BA和CD所成角的大小。面积法： 设二面角l 的平面 内某一图形（一般取三角形）面积为S,该图形在平面 上射影面积为S ,二面角 l的大

15、小为则cos （为锐角）或cos（为钝角）SS和上一节一样，其他方法都做为补充，我们与同学们只是一道研究向量法求面面角，其他方法不做深入研究。教学过程:例2、如图，直二面角 kAB-E中，四边形ABC奥边长为2的正方形,2CB , EA AB, M 是 EC 的中点.设疑自探：(同学们可以先用定义求，然后尝试建系求角，比较优劣)例1、如图，已知棱柱ABCD ABO 的底面是菱形，且 AA 面ABCD, DAB 60, AD AA, F为棱AAi的中点，M为线段BDi的中点，(1)求证：MF 面BDD旧；(2)求面BFDi与面ABCD所成二面角的大小.AE=EB F为CE上的点，且 BF，平面A

16、CE(1)求证：AE1平面BCE(2)求二面角B-AC- E的大小；解疑合探:1、 如图所示的几何体ABCDE中，DA 平面EAB ,CB/DA, EA DA AB (I )求证：DM EB；(H)求二面角M BD A的余弦值.(给同学们两个图，有兴趣的同学都试试)3、如图，三棱锥 PABC中，PC 平面ABC, PC=AC=2,AB=BC, D是PB上一点，且 CD 平面PAB.(I)求证：AB 平面PCB;(II)求二面角C-PA-B的大小.C5、过正方形 ABCD的顶点A作PAA平面ABCD ,设PA=AB=a,(1)求二面角B- PC- D的大小;求二面角C-PD-A2、已知四棱锥P

17、ABCD的底面为直角梯形，AB/DC , DAB 90 , PA底面ABCD,且PA AD DC - , AB 1 , M是PB的中点, 2(I )证明：面PAD 面PCD ；(H)求面AMC与面BMC所成二面角的余弦值的大小，Dc4.如图，在棱长为a的正方体ABCD-ABGD中，求:(1)面AABB与面ABCDf成角的大小;(2)二面角Ci-BD-C的正切值(3)二面角 Bi BCi D质疑再探：请同学们大胆提问，踊跃发言，把心中的疑惑讲出来，我们进一步探讨。课堂练习：1.如图：三棱锥 A-BCD 中，AC=AB=BD=DA=2 , BC=CD= V3 ,贝U二面角A-BD-C的余弦值为 。

18、二面角B-AC-D的余弦值为4.如图，四边形 ABCD为直角梯形，AD/BC BAD=90?, PA 底面ABCD,且 PA=AD=AB=2BC , M、 N 分另U为 PC、 PB 的中点 求证：PB DM求BD与平面ADMN所成角的大小求二面角A-PB-C.如图，四边形BCEF、AFED者B是矩形，且平面 AFED 平面BCEF,ACF , ABF , BAC ,则下列结论中正确的是cos cos cos TOC o 1-5 h z sinsincoscoscoscossinsincos.如图，四棱锥P-ABCD中所有的棱长都相等。二面角C-PD-B大小设M、N分别为AD、PC中点，试求MN与底面AC及平面BDP所成的角 平面PA