高中数学高初中衔接读本

1、第一讲 数与式1.1 数与式的运算例1解不等式：x-1 +|x -3 4.解法一：由 x1=0,得 x=1;由 x3 = 0,得 x = 3;若x4 ,即2x+44,解得 x0,又 x 1, ,.x0；若1Mx4 ,即 1 4,不存在满足条件的x；若x之3,不等式可变为(x -1)+(x-3)4 ,即 2x44,解得 x4.又 x3, x4.综上所述，原不等式的解为x4.解法二：如图1. 1-1, x-1表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA,即|PA=|x1|; |x 3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之|x 3|人PCABDill T I x0134xk7|x1|图 1.

2、 1 -1间的距离| PB ,即| PB =|x3| .所以，不等式|x-1 +|x-3 4的几何意 义即为| PA +| PB 4.由|AB =2,可知点P在点C(坐标为0)的左侧、或点P 在点D(坐标为4)的右侧.x4.练 习.填空：(1)若 x = 5,则 x=;若 x = 4 ,则 x=.(2)如果 a + b =5,且 a = 1,则 b=;若 1c =2,则 c=.选择题：下列叙述正确的是(A)若a=b,则 a=b(B)若 ab,则 ab(D)若 a = b ,则 a = b(C)若 acb,则 a5).解不等式：x-1| 3;(2)x + 3 + x-2 6 .已知x + y =

3、1,求x3+y3 +3xy的值.填空：(2+折8(2扃9 =；(2)若J(1-a)2 +J(1+a)2 =2 ,则a的取值范围是 ; TOC o 1-5 h z 111(3)+1.2. 2,：3+.3 -、/4、4 J5.561.填空:3a2 - ab-2-23a 5ab 一 2b(2)若 x2 +xy-2y2一 12.已知： x = y =2x 3xy y:0 ,则22=x2 y21求必3，本人一的值.选择题：右i a b 2 /a = J-b J-a ,则a :二 ba ba :二 b :二 0b :二 a :二 0(2)计算aa(A)-a(C) - - a(D)a.r 211.解万程2(

4、x2)-3(x )-1 =0.x111.计算：1 3 2 4 3 51+HI +9 1114.试证：对任意的正整数 n,有一一 十n(n 1)(n 2)第二讲函数与方程2.1一元二次方程一元二次方程的 两根之差的绝对值 是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的 问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设xi和X2分别是一元二次方程 ax(4)方程 2x +2x1 =0 的两根为 X1 和 X2,则 | x 1- X2| =+ bx+ c= 0 (aw 0),则| X 1 X2| =-b ；b2 -4ac2a-b b2 -4ac2a-b - b2 -4ac2a-b - Jb2 -4a

5、c25/b2 -4ac2a 2ab2 -4ac -J：=.|a|a|于是有下面的结论：若 xi 和 X2分别是一元二次方程 ax2+bx+c=0 (aw0),则 | xi X2|=Y3 (其中 A = b2|a|4ac).今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论.例1若关于x的一元二次方程x2x+a4=0的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围.解：设Xi, X2是方程的两根，则 TOC o 1-5 h z xiX2=a40.由得a4,17由得av .4，a的取值范围是ax1x2,求实数k的取值范围. 2. 一兀一次方程 ax + bx+c= 0 (aw0)的

6、两根为x1和x2.求：1 ) | x 1 - x2| 和xx2 ；22) x/+ x23.5.关于x的方程x2+4x + m= 0的两根为x1, x2满足| x 1-x2| =2,求实数 m的值.C组.选择题：(1)已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x28x+7=0的两根，则这个直角 TOC o 1-5 h z 三角形的斜边长等于()(A)翼(B) 3(C) 6(D) 9(2)若x1, x2是方程2x24x+1= 0的两个根，则 二+x2的值为()x2 x13(A) 6(B) 4(C) 3(D)一2(3)如果关于x的方程x22(1 m)x+m=0有两实数根a , 3 ,则a + 3的

7、取值范围为( )1- 一 1(A) a +(B)a+BW (C)a+B1(D)a + BW1 HYPERLINK l bookmark14 o Current Document 22(4)已知a, b, c是 AABC的三边长，那么方程cx2+(a+ b)x+ - =0的根的情况是4( )(A)没有实数根(B)有两个不相等的实数根(C)有两个相等的实数根(D)有两个异号实数根.填空：若方程 x28x+m= 0 的两根为 x1, x2,且 3x1+2x2=18,则 m=.已知x1, x2是关于x的一元二次方程 4kx2 4kx+k+1 = 0的两个实数根.(1)是否存在实数 k,使(2x1 x2

8、)( x 1- 2 x 2)=成立？若存在，求出 k的值；若不2存在，说明理由；(2)求使土 +世2的值为整数的实数 k的整数值;& x1二，试求人的值.(3)若 k=-2,九=X22m2.已知关于 x的方程x (m2)x =0.4(1)求证：无论 m取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；(2)若这个方程的两个实数根 Xi, X2满足| X2| = |xi|+2,求m的值及相应的Xi, X2.若关于x的方程x2+x+a= 0的一个大于1、零一根小于1,求实数a的取值范围.2. 2二次函数2.2,1 二次函数y = ax2+bx+c的图像和性质问题1函数y=ax2与y= x2的图象之间存在怎

9、样的关系?为了研究这一问题，我们可以先画出y=2x2, y=1x2, y = 2x2的图象，通过这些函数2图象与函数y=x2的图象之间的关系，推导出函数y=ax2与y= x2的图象之间所存在的关系.先画出函数y = x2, y=2x2的图象.先列表：X-3-2101232X94101492x2188202818从表中不难看出，要得到2x2的值，只要把相应的 x2的值扩大两倍就可以了.再描点、连线，就分别得到了函数y=x2, y = 2x2的图象(如图2 1所示)，从图21我们可以得到这两个函数 图象之间的关系：函数 y=2x2的图象可以由函数 y=x2的 图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到.同

10、学们也可以用类似于上面的方法画出函数y= .平移变换 x2,2y=2x2的图象，并研究这两个函数图象与函数y=x2的图象之间的关系.通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数 y= ax2( aw0)的图象可以由 y = x2的图 象各点的纵坐标变为原来的a倍得到.在二次函数 y= ax2(aw0)中，二次项系数 a决定了图象的开口方向 和在同一个坐标系中的开口的大小.问题2函数y=a(x+h)2+k与y= ax2的图象之 间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间 的关系来研究它们之间的关系.同学们可以作出函数 y= 2(x+1)2+1与y= 2x2的图象(如图22所示

11、)，从 函数的同学我们不难发现，只要把函数y=2x2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得 到函数y= 2(x+1)2+1的图象.这两个函数图象之间图 2.2-2具有“形状相同，位置不同”的特点.类似地，还可以通过画函数y=- 3x2, y=- 3(x1)2+1的图象，研究它们图象之间的相互关系.通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y=a(x+ h)1 问题1在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点一一只改变函数图象 的位置、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图

12、象平移问题时，只需利用二次函数图象 的顶点式研究其顶点的位置即可.例1求把二次函数y= x2- 4x + 3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解+k(aw0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”.由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y=ax2+bx+c(aw0)的图象的方法：由于 y= ax2+ bx+ c= a(x2+ b x) + c= a(x2+ b x + aa/ b、2 b2 -4ac二 a(x 十一)+,2a 4a所以，y= ax2 + bx+c

13、(aw 0)的图象可以看作是将函数.2,2b 、，b2 )+ C4a4ay= ax2的图象作左右平移、上下平(1)当a0时，函数y= ax2+ bx+ c图象开口向上；顶点坐标为b(一 2a4ac-b24a移得到的，于是，二次函数 y= ax2+ bx+ c( aw0)具有下列性质: TOC o 1-5 h z 称轴为直线x=；当xv 一旦 时，y随着x的增大而减小；当 x -b-时，y随着x的2a2a2ab4ac -b2增大而增大；当 x=- 时，函数取最小值 y=.24ac 一 b、八4a HYPERLINK l bookmark112 o Current Document 2a4a(2)

14、当a?-时，y随着x 2a2a2ab4ac -b2的增大而减小；当 x=-时，函数取最大值 y=.2a4a上述二次函数的性质可以分别通过图2. 23和图2. 2 4直观地表示出来.因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题.二次函数的简单戚用-4析式：(1)向右平移2个单位，向下平移1个单位；(2)向上平移3个单位，向左平移 2个单位.分析：由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变其形状(即不改变二次项系数)，所以只改变二次函数图象的顶点位置(即只改变一次项和常数项)，所以，首先将二次函数的解析式变形为顶点式，然后，再依据平移变换后的二次函数图象的顶点

15、位置求出平移后函数图 像所对应的解析式. 2解：一次函数y = 2x - 4x - 3的解析式可变为 y= 2(x- 1)21,其顶点坐标为(1 , 1).(1)把函数y=2(x1)21的图象向右平移 2个单位，向下平移1个单位后，其函数图 象的顶点坐标是(3, 2),所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为y= 2(x- 3)22.(2)把函数y=2(x1)21的图象向上平移 3个单位，向左平移2个单位后，其函数图 象的顶点坐标是(一1, 2),所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为y= 2(x+ 1)2+2.2.对称变换问题2在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对

16、称变换时，有什么特点？依 据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？我们不难发现：在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这 样的特点一一只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图 象的对称变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题.例2 求把二次函数y=2x2-4x+1的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解 析式：图 2.27(1)直线 x= 1;(2)直线 y= 1.解：(1)如图2. 2-7,把二次函数 y = 2x2-4x+1的图象关于直线 x=- 1作对 称变换后，只改变图象的顶点位置，不改变 其形状.由于

17、 y= 2x2-4x+ 1 = 2(x- 1)2-1,可 知，函数y=2x24x+1图象的顶点为A(1, -1),所以，对称后所得到图象的顶点为A(-3, 1),所以，二次函数 y=2x2-4x +1的图象关于直线 x=-1对称后所得到图象的函数解析式为 y=2(x+3)21,即y=2x2+12x+ 17.2(2)如图2. 28,把二次函数 y=2x -4x+ 1的 图象关于直线x=-1作对称变换后，只改变图象的顶 点位置和开口方向，不改变其形状.由于 y= 2x2-4x+1 =2(x1)21,可知，函数 y= 2x2-4x+1图象的顶点为 A(1, 1),所以，对称后 所得到图象的顶点为 B

18、(1 , 3),且开口向下，所以，二 .2次函数y=2x -4x+ 1的图象关于直线 y= 1对称后所 - 得到图象的函数解析式为y=- 2(x- 1)2+3,即y =2x2+ 4x + 1.二、分段函数图 2.2 8一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数.例3 在国内投递外埠平信， 每封信不超过20g付邮资80分，超过20g不超过40g付邮 资160分，超过40g不超过60g付邮资240分，依此类推，每封 xg（0 v xw 100）的信应付多少 邮资（单位：分）？写出函数表达式，作出函数图象.分析：由于当自变量 x在各个不同的范围内时，应付邮资

19、的数量是不同的.所以，可以用分段函数给出其对应的函数解析式.在解题时，需要注意的是，当 x在各个小范围内（如 20VXW40）变化时，它所对应的函数值（邮资）并不变化（都是 160分）.解：设每封信的邮资为 y （单位：分），则y是x的函数.这个函数的解析式为80, x w （0,20160 xw （20,40y = 240, x 940,80320 x w （60,80400, x （80,100由上述的函数解析式，可以得到其图象如图2. 29所示.y(分)400320 -o 240 ,160 -80卜O 204060图 2.2 980 100 x(Z)图 2.2 10例4如图9- 2所示，

20、在边长为2的正方形ABCD勺边上有一个动点 P,从点A出发沿折线ABC的动一周后，回到A点.设点A移动的路程为x, A PAC勺面积为y.（1）求函数y的解析式； （2）画出函数y的图像； （3）求函数y的取值范围.分析：要对点P所在的位置进行分类讨论.解：（1）当点P在线段AB上移动（如图2. 2-10即0vxW2时,y= -AP BC =x； 2当点P在线段BC上移动（如图2. 210），即2vx4时,y= 1 PC AB = 1 （4 -x） 2 =4x； 22当点P在线段CD上移动（如图2. 210），即4vxW6时,y= - PC AD = 1（x-4） 2 =x4; 22当点P在线

21、段DA上移动（如图2. 210），即6vxv8时,y= - PA CD =1(8x) 2 = 8-x. 22综上所述，函数f (x)的解析式为x,0 x 2,4 -x, 2 x 4, y =x -4, 4 ： x 6,8- x, 6 二 x 二 8.(2)函数y的图像如图2. 2 11所示0y2.(3)由函数图像可知，函数 y的取值范围是图 2.210练 习.选择题：(1)把函数y=(x1)2+4的图象向左平移 应的解析式为y= ( x+ 1)2+ 1y=- (x-3)2 + 4(2)把函数y= 2(x+3)2+3的图象关于直线 式为2个单位，向下平移 3个单位，所得图象对 ( )(B) y=

22、- (x+ 1)2+ 1y = (x 3) +1x=-1对称后，所得图象对应的函数解析( )九(A) y= 2 ( x+1)2+3(C) y = 2 ( x+1)23(3)把函数y=2(x3)2+3的图象关于直线()2y=-2 ( x+1)2+3(C) y=-2 ( x-3)2+ 1y=- 2 ( x-1)2+3(D) y=- 2 ( x1)23y=2对称后，所得图象对应的函数解析式为(B) y=- 2 ( x-3)2+3(D) y=- 2 ( x3)232.填空:,一 x2, x 2, 一(1)已知函数 y =4则当x=4时，y=;当*= 4时，y=.-2x 4, x 2(2)把二次函数y

23、= - 2x2+4/3x+ 1的函数图象向 _平移单位后，得到的图象所对应的解析式为y= 2x2 a(x 2 ) +25 = 0两根的立方和为 19,求函数表达式.+7;再向 平移 一个单而？得到的图象所对应的解析2 -. 式为y= 2x+1；再将其关于 对称后得到的图象所对应的函数解析式为 y= 2x2+5.3.已知点P是边长为1的正方形ABCM顶点A出发，顺次经过B, C, D移动一周后回到点 A, 设x表示点P的行程，y表示线段PA的长，试求y关于x的函数.习题2. 2A组.选择题： TOC o 1-5 h z (1)把函数y= (x 1)2+4的图象的顶点坐标是()(1,4)(B)(1

24、, 4)(C)(1, 4)(D)(1,4)(2)函数y= x2+4x+6的最值情况是()(A)有最大值 6(B)有最小值6(C)有最大值10(D)有最大值2(3)函数y=2x2+4x5中，当一3W xv2时，则y值的取值范围是()-3 y1(B)-7 y1-7 y11(D)-7 y11.填空：(1)已知某二次函数的图象与 x轴交于A(-2, 0), B(1 , 0),且过点C (2, 4),则该二次 函数的表达式为 .(2)已知某二次函数的图象过点(一 1 , 0) , ( 0, 3) , ( 1 , 4),则该函数的表达式 为.把已知二次函数 y= 2x2+4x+7的图象向下平移 3个单位，

25、在向右平移 4个单位，求所得 图象对应的函数表达式.已知某二次函数图象的顶点为A (2, 18),它与x轴两个交点之间的距离为6,求该二次函数的解析式.B组.填空：(1)将二次函数y=2x2 + 4x+7的图象关于直线x=1对称后，所得图象对应的函数表达式 为;再将该图象关于直线 y = 2对称，所得图象对应的函数表达式 为.(2)函数y= x2+4x+2在0WxW3上的最大值为 ,最小值为 .(3)函数y=x2+4ax+2在x6时，y随着x的增大而减小，则a的取值范围是 .某市空调公共汽车的票价按下列规则制定：5km以内，票价2元；5km以上，每增加5km,票价增加1元(所增加的里程，不足

26、5km的按5km的按5km计算).已知两个相邻的公共汽车站间相距1km,如果沿途(包括起点站和终点站)有 21个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数关系式，并画出函数图象.C组. 一 .1c一.已知二次函数 y = a(x2 ) 2+25的最大值为25,且万程.如图，某农民要用 12m的竹篱笆在墙边围出一块一面为墙、另三面为篱笆的矩形地供他圈养小鸡.已知墙的长度为 6m,问怎样围才能使得该矩形面积最大?.把二次函数 y= 2x24x+3的图象向下平移 3个单位后，所得图象记为 。；再把C向右 平移2个单位的图象再将 C2沿着直线y=2对称得图象 Q;最后，再将G以原点为对称中 心作其中

27、心对称图形得到 C4.分别求出C, G, G, G所对应函数的表达式.2.3方程与不等式二元二次方程组解法方程x2 2xy y2 x y 6 = 0是一个含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，这样的方程叫做元二次方程.其中x2, 2xy , y2叫做这个方程的 二次项，x, y叫做一次项,6叫做常数项.我们看下面的两个方程组： 2 22_._x -4y + x +3y -1 =0, 2x _ y -1 = 0;x2 y2 -20,2_2_x -5xy 6y =0.第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两 个二元二次方程组成的，像这样的方

28、程组叫做二元二次方程组.下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法. 一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解.例1 解方程组 TOC o 1-5 h z 2,-2._广 +4y -4=0,lx-2y-2 = 0.分析：二元二次方程组对我们来说较为生疏，在解此方程组时，可以将其转化为我们熟悉的形式.注意到方程是一个一元一次方程，于是，可以利用该方程消去一个元， 再代入到方程，得到一个一元二次方程，从而将所求的较为生疏的问题转化为我们所熟悉 的问题.解：由，得x=2y+2,把代入，整理，得8y2+8y=0,即y(y+1) = 0.解得y

29、1 = 0, y2=1.把y1 = 0代入，得 x1 = 2;把丫2= 1代入，得x2=0.所以原方程组的解是 =2,1x2 =0,了1 =0,% - -1.说明：在解类似于本例的二元二次方程组时，通常采用本例所介绍的代入消元法来求解.例2 解方程组x y = 7, xy = 12.解法一：由，得x = 7 _ y.把代入，整理,得y2 -7y 12 =0解这个方程，得y1 =3,丫2 = 4 .得 X1 =4；把 =3代入, 把V2 =4代入, 所以原方程的解是fx1 二4,yi = 3,-i-x2 = 3,解法二：对这个方程组，也可以根据y2 - 4.一元二次方程的根与系数的关系，把x,

30、y看作一个二次方程的两个根，通过解这个次方程来求这个方程组的x,y是二次方程得 力 = 3 .z2 -7z-12 =0的两个根，解这个方程，得z =3，或 z所以原方程组的解是1x1 4,y1 = 3;X2y2=3,=4.练习1.下列各组中的值是不是方程组 x2 y2 =13, x y = 5的解？x =2,(1)y = 3;2 .解下列方程组：x = 3, y =2;x = 1, (3y =4；(4)x = -2,y = -3;(1)y = x 5, x2y2 = 625;-22 L =154,y = x - 3;(2)x y =3,xy - -10;y2 = 2x, x2 y2 =8.2.

31、3.2一元二次不等式解法二次函数y=x2x 6的对应值表与图象如下:x-3-2-101234y |6|0| 4 | 6 | 6 4 |0|6由对应值表及函数图象(如图2.31)可知当 x= 2,或 x = 3 时，y = 0,即 x2 x = 6=0;当 x3 时，y0,即 x2 x 60;当一2x3 时，y0,即 x2 x 60的解是x3;x2-x-60的解是-2x 0( aw 0)呢？我们可以用类似于上面例子的方法，借助于二次函数y= ax2+ bx+ c( aw0)的图象来解一元二次不等式 ax2+bx+c0( aw0).为了方便起见，我们先来研究二次项系数a0时的一元二次不等式的解.我

32、们知道，对于一元二次方程ax2+bx+c= 0(a0),设= b24ac,它的解的情形按照0, =0, v 0分别为下列三种情况一一有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛物线y=ax2+bx+c (a0)与x轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图2.32所示)，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式 ax2+bx + c0 (a0)与 ax2+bx+c0)的解.(1)当A0时，抛物线y=ax2+bx+c (a0)与x轴有两个公共点(xi, 0)和(x2, 0),2万程ax +bx+c=0有两个不相等的实数根不等式ax2+ bx+ c 0的解为x

33、vxi,或 xx2；不等式ax2+ bx+ c 0的解为xi和x2(xivx2),由图2.32可知xix0)与x轴有且仅有一个公共点，方程 ax2 b+ bx+c=0有两个相等的实数根 xi = x2=-,由图2.32可知2a不等式ax2+ bx+ c0的解为bxw 一 丁 ；2a 不等式ax2+bx+cv 0无解.(3)如果0)与x轴没有公共点，方程 ax2+bx+c = 0没有实数根，由图2.3 -2可知不等式ax2+bx+c0的解为一切实数；不等式ax2+bx+c 0无解.今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接 求解；如果二次项系数小于零，则可以先在

34、不等式两边同乘以-i,将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式.例3解不等式：(i) x2+2x-30;(2) x-x2+60;(4) x6x+9W0；4 + x x20,万程x +2x 3=0的解是xi= - 3, x2= i .，不等式的解为-3 x0.A 0,方程x2x6=0的解为xi = - 2, x2= 3.所以，原不等式的解为x-2,或 x0.由于上式对任意实数x都成立， 原不等式的解为一切实数.(4)整理，得( x-3)20.由于当x=3时，(x3)2=0成立；而对任意的实数x, (x 3)2 0.A0,所以，原不等式的解为一切实数.例4已知不等式ax2+b

35、x+c c0(a 00)的解是x 0 的解.解：由不等式ax2+bx+c 0(a # 0)的解为x 3,可知2a 0,且万程ax +bx+c = 0的两根分别为 2和3, TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark114 o Current Document bc c=5 , =6, HYPERLINK l bookmark122 o Current Document aabc公即=-5,= 6 .aa由于a 0,所以不等式bx2+ax+ca0可变为b 2 cx + x + 0 , a a2即5x+x+60,整理，得5x2 -x -6 0 ,所以，不等式bx2 +ax

36、c0的解是、6x-.5说明：本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题.例5 解关于x的一元二次不等式 x2+ax + 1 a 0(a为实数).分析 对于一元二次不等式，按其一般解题步骤，首先应该将二次项系数变成正数 ，本题 已满足这一要求，欲求一元二次不等式的解 ，要讨论根的判别式 的符号，而这里的是关于 未知系数的代数式，的符号取决于未知系数的取值范围，因此 ，再根据解题的需要，对的 符号进行分类讨论.解：二=a2 -4 ,当 A0|3a 2时，方程x2 +ax +1 =0的解是 TOC o 1-5 h z -a 一、-、a2 -4-aa2 -4x1二,x2 =. HYPERLINK

37、l bookmark225 o Current Document 22 所以，原不等式的解集为 x 一a -4 或xa7a -4 ； HYPERLINK l bookmark229 o Current Document 22当A = 0,即a=2时，原不等式的解为ax 2 ；当A0,即2 a 2时，原不等式的解是-a - .a - 4- a v a - 4x ，或 x；22当-2 a 1时，由图2.3-3可知，当x= 1时，该函数取最小值n = -2 a+2.综上，函数的最小值为4a +5, a 1.图 2.3 3练 习.解下列不等式：23x -x-40;2x + 3x 40; x2-x-12

38、0;16-8x+x2 1;(X-3)2 y2=9,x 2y =0;2_ 3x -40;4-x20的解为xv1,或x3.试解关于x的不等式 2bx +cx + 40.试求关于x的函数y = x2+m肝2在0WxW2上的最大值k.第三讲三角形与圆3.2三角形3. 2. 1三角形的“四心”三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形 的问题.如图3.2-1 ,在三角形VABC中，有三条边AB, BC,CA ,三个角彳去，B,?C ,三个顶点A, B,C ,在三角形中，角平分线、中线、高（如图 3.2-2 ）是三角形中的三种重要线段.三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角

39、形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条 中线的三等分点.例1求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分 成的两段长度之比为2: 1.已知 H E、F分别为VABC三边BC CA AB的中点, 求证 AR BE CF交于一点，且都被该点分成2: 1.证明 连结DE,设AD BE交于点G,QD E分别为BC AE的中点，则 DE/AB,且1DE = AB,2VGDEsVGAB,且相彳以比为1: 2,AG = 2GD,BG = 2GE .图 3.2-4设 AD CF交于点 G,同理可得，AG= 2GD,CG= 2GF.则G与G重合，AD BE CF交于一点，且都被该点分成 2:1.三角形的

40、三条角平分线相交于一点，是三角形的 内心.三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的 三边的距离相等.（如图3.2-5 ）图 3.2-5已知V ABC的三边长分别为BC = a, AC = b, AB= c, I 为 VABC 的内心,A E=证明在VABC的边B C A、Cb+ g a AF 2作VABC的内切圆，则D、E、A上的射影分别为D、E F,求证：F分别为内切圆在三边上的切点,QAE, AF为圆的从同一点作的两条切线,AE = AF, 同理，BD=BF, CD=CEb+ c- a= AF + BF + AE + CE- BD - CD =AF + AE = 2AF = 2AE例3 已

41、知 求证 证明即 AE = AF = b+ Ca .2若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形O为三角形ABC的重心和内心.三角形ABC%等边三角形.如图，连AO并延长交BC于DQO为三角形的内心，故 AD平分DBAC,妲二里（角平分线性质定理）AC DCQO为三角形的重心，D为BC的中点，即BD=DCAB 一=1 ,即 AB= AC .AC同理可得，AB=BCVABC为等边三角形.三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂 心在三角形的外部.（如图3.2-8 ）图 3.2-8例4求

42、证：三角形的三条高交于一点已知 VABC中，ADA BC于D,BEA AC于E,AD与BE交于H点.图 3.2-990,即 CH a AB .求证 CH a AB.证明以CH为直径作圆，QAD a BC, BEA AC, ?HDC ?HEC 90o,D、E在以CH为直径的圆上，? FCB ? DEH .同理，E、D在以AB为直径的圆上，可得? BED ? BAD .? BCH ? BAD ,又 V ABD 与 VCBF 有公共角 DB ,? CFB ? ADB过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形 ABC的外接圆，圆 心O为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的

43、垂直平分线 的交点.练习1求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形.(1)若三角形ABC的面积为S,且三边长分别为a、b、c,则三角形的内切 圆的半径是;(2)若直角三角形的三边长分别为a、b、c (其中c为斜边长)，则三角形的 内切圆的半径是 .并请说明理由.3. 2点的轨迹在几何中，点的轨迹就是点按照某个条件运动形成的图形，它是符合某个条 件的所有点组成的.例如，把长度为r的线段的一个端点固定，另一个端点绕这个 定点旋转一周就得到一个圆，这个圆上的每一个点到定点的距离都等于r；同时，到定点的距离等于r的所有点都在这个圆上.这个圆就叫做到定点的距离等于定长 r的点的轨迹.我们

44、把符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹.这里含有两层意思：(1)图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的 任何一点都满足条件；(2)图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件 的任何一点都在图形上.下面，我们讨论一些常见的平面内的点的轨迹.从上面对圆的讨论，可以得出：(1)到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆.我们学过，线段垂直平分线上的每一点，和线段两个端点的距离相等；反过来，和线段两个端点的距离相等的点，都在这条线段的垂直平分线上.所以有下面的轨迹：(2)和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分 线.由角平分线

45、性质定理和它的逆定理，同样可以得到另一个轨迹： TOC o 1-5 h z (3)到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线.例3 。过两个已知点A、B,圆心O的轨迹是什么？画出 /L 它的图形.分析 如图3.3-11 ,如果以点O为圆心的圆经过点A、B,/2)那么OA= OB;反过来，如果一个点O到A、B两点距离相/./等，即OA= OB ,那么以O为圆心，OA为半径的圆一定经过 或、A、B两点.图 3.3-11这就是说，过A、B点的圆的圆心的轨迹，就是到 A、B两点距离相等的点 的轨迹，即和线段AB两个端点距离相等的点的轨迹.答：经过A、B两点的圆的圆心O的轨迹是线段AB的垂直平分

46、线.练习2.画图说明满足下列条件的点的轨迹：(1)到定点A的距离等于3cm的点的轨迹；(2)到直线l的距离等于2cm的点的轨迹；(3)已知直线AB / CD ,至IJ AB、CD的距离相等的点的轨迹.画图说明，到直线l的距离等于定长d的点的轨迹.习题3.3A组 TOC o 1-5 h z .已知弓形弦长为4,弓形高为1,则弓形所在圆的半径为()A.楞 B.5 C . 3 D . 42.在半径等于4的圆中，垂直平分半径的弦长为()A. 4 3 B . 3 3 C . 2 3 D .3. AB为。O的直径，弦CD _L AB , E为垂足，若 BE=6, AE=4,则。次于()A. 2 21 B

47、. 4.6 C . 8 2 D . 2.6.如图3.3-12，在。O中，E是弦 AB延长线上的一点，已 知OEB=10cm,O=12cm,ZOEB =30，求 AB如 图 3.3-13已 知 在 R t A中图 3.3-12C 9= 0 A,交斜边于D,求AD如图3.3-14的弓形铁片,如图3.3-155c m,/C为时CA为半饰勺圆,在直径为100mmi勺半圆铁片上切去一块高为 求弓形的弦 AB的长。,ABC内接于。Q D为BC的中点，AE_LBC求证：AD平分ZOAE o20mm图 3.3-14图 3.3-15图 3.3-16.如图3.3-16 , /AOB =90 , C D是AB的三等

48、分点，AB分别交OC ODF点 E、F,求证：AE=BF=CD.已知线段AB = 4cm.画出到点A的距离等于3cm的点的轨迹，再画出到点B的距离等于2cm的点的轨迹，指出到点 A的距离等于3cm,且到点B的距离等于2cm的点，这样的点有几个?参考答案第一讲数与式1.1.1 .绝对值1. (1) 5; +4(2) 4; -1或 3 2 . D 3 . 3x18习题1 .1A组1. (1) x4(2) -4 x3(3) x32. 1331. (1) 371. (1) C4.提示：.(1) 2-43 (2) -1 a 1(3) V6-1B组 TOC o 1-5 h z 51(2) 5,或一工 2.

49、4. HYPERLINK l bookmark20 o Current Document 25C组(2) C 2 . x1,x2 -2 3 . 36 HYPERLINK l bookmark28 o Current Document 2551111二 一 n(n 1)(n 2)2 n(n 1) (n 1)(n 2)第二讲函数与方程一元二次方程练习(1) C(2)D(1)3(2)有两个不相等的实数根(3) x2+2x 3 =0k4,且 kw0 1 提示：(x-3)( x 2 - 3) = x1 x23(x1 + x2)+9习题2. 1A组1. (1) C (2) B提示：和是错的，对于，由于方程

50、的根的判别式 A0,所以方程没有实数根；对于，其两根之和应为 -. 3(3) C 提示：当a=0时，方程不是一元二次方程，不合题意.2.2176(3)用113.当巾一-，且 m0时，万程有两个不相等的头数根；当m=1时，万程有44,两个相等的实数根；当m0, 方程一定有两个不相等的实数根. x + X2= k, x1X2= 2,.2k2,即 k1. TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark219 o Current Document 一、,b2 -4ac x1 x2b3 , 3(1) | X 1 X2| = , = - ； (2) X1 +X2 =|a|2 2a3a

51、bc - b33a| x 1 X2| = j164m =2J4 m = 2 ,，m= 3.把 m= 3 代入方程，A 0,满足题意,m= 3.C组B(2) A1C 提小：由 A0, 4me a+ 3 2(1 m1.2B提示：:a, b, c 是 A ABC勺三边长，a+bc,. A =(a+ b)2-c20.(1) 12 提示：.X1 + X2=8,. 3X1 + 2X2 = 2(X1 + X2)+X1 = 2X8+X1=18, 二 X1 = 2, . X2=6,m= x1X2=12.3 .(1)假设存在头数 k,使(2X1 X2)( X 1- 2 X 2)=- -成立.2一元二次方程 4kx

52、24kx + k+ 1= 0有两个实数根，2 . kw 0,且 A = 16k 16k(k+1)= 16k0,k0.X1 + X2= 1,(2 X1 - X2)(k 1 TOC o 1-5 h z X1X2=,4k HYPERLINK l bookmark39 o Current Document 22X 1 2 X 2) = 2 X 1 51X2+ 2 X 2= 2(X1 + X2)29 X1X2=2 9M= 3,4k 2即鸣工7,解得k= 9 ,与k0相矛盾，所以，不存在实数k,使(2X1X2)( X1 4k 25,为十刈 2_ 彳+乂； 2 a +乂2)2-2)2 2 a +X2)2_4

53、 TOC o 1-5 h z X2XiX1X2X1X2X1X2 HYPERLINK l bookmark239 o Current Document =4k 4_4k4(k+1)_4k 1 k 1 一k1，要使 上十遑一2的值为整数，只须 k+1能整除4.而k为整数， HYPERLINK l bookmark335 o Current Document X2X1.k+1 只能取1, 2, 4.又k0,k+10 ；(2) / X1X2= - m- 0, 1- X10,或 X10, X20,则 X2 = X1 + 2, - X1 +X2 = 2,rn-2 = 2, m= 4.此时，方程为X2-2X

54、-4= 0, . . X =1 + T5 X2=1-V5.右 X10, X2W0,则一X2=X1+2, - X1H-X2= 2,m-2 = 2,m= 0.此时，方程为 x?+2= 0,X1= 0, X2= 2.5.设方程的两根为 X1, X2,则X1 + X2=1, X1X2=a,由一根大于1、另一根小于1,得(X1 -1)( X 2- 1) 0,即 X1X2(X1 +X2)+1 v 0,a ( 1) + 10,. a0,实数a的取值范围是a-2.2. 2二次函数2.2.3二次函数的简单应用练习(1) B (2) B (3) C(1) 2, 12(2)左，也;下，6;直线 y=3(1)当 xe 0 , 1时，y=x；(2)当 XC(1, 2时，y= J12 +(x1)2 =Jx2 2x+2