2412垂径定理课件

1、24.1.2 垂径定理问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？ 赵州桥主桥拱的半径是多少？ 问题情境 实践探究把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴活动一如图，AB是O的一条弦，做直径CD，使CDAB，垂足为E（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？

2、?思考OABCDE活 动 二（1）是轴对称图形直径CD所在的直线是它的对称轴（2） 线段： AE=BE弧：，把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，和 重合，和重合直径平分弦，并且平分及OABCDE垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧即，AM=BM,由 CD是直径 CDAB可推得AD=BD.AC=BC,CDAB,由 CD是直径 AM=BMAC=BC,AD=BD.可推得几何语言表达垂径定理：推论：“知二推三” (1)垂直于弦 (2)过圆心 (3)平分弦 (4)平分弦所对的优弧 (5)

3、平分弦所对的劣弧注意:当具备了(1)(3)时,应对另一 条弦增加”不是直径”的限制.你可以写出相应的命题吗?相信自己是最棒的!垂径定理的推论 如图,在下列五个条件中:只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.OABCDM CD是直径, AM=BM, CDAB,AC=BC,AD=BD.垂径定理及推论OABCDM条件结论命题垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧. 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分

4、弦和所对的另一条弧.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.判断下列说法的正误 平分弧的直径必平分弧所对的弦 平分弦的直线必垂直弦 垂直于弦的直径平分这条弦 平分弦的直径垂直于这条弦 弦的垂直平分线是圆的直径 平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧 辨别是非选择：如图：在O中，AB为直径，CD为非直径的弦，对于（1）ABCD （2）AB平分CD （3）AB平分CD所对的弧。若以其中的一个为条件，另两个为结论构成三个命题，其中真命题的个数为 （ ）A、

5、3 B、2 C、1 D、0。OCDBAA解得：R279（m）BODACR解决求赵州桥拱半径的问题在RtOAD中，由勾股定理，得即 R2=18.72+（R7.2）2赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.OA2=AD2+OD2AB=37.4，CD=7.2，OD=OCCD=R7.2在图中如图，用 表示主桥拱，设 所在圆的圆心为O，半径为R经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与AB 相交于点D，根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是 的中点，CD 就是拱高实践应用填空：1、如图：已知AB是O的直径，弦CD与AB相交于点E，若_，则CE=DE（只需填写一个你认为适当的条件）2、如图：已知AB是

6、O的弦，OB=4cm，ABO=300，则O到AB的距离是_cm，AB=_cm.。OAEDCB。 OAB第1题图第2题图ABCD（或AC=AD，或BC=BD）24H在直径是20cm的O中，AB的度数是60，那么弦AB的弦心距是_弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，则这弓形所在的圆的半径为. 已知P为O内一点,且OP=2cm,如果O的半径是3cm,那么过P点的最短的弦等于_1如图，在O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求O的半径OABE练习解：答：O的半径为5cm.活 动 三在Rt AOE 中 2如图，在O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，ODAB于D，OEAC于E，求证

7、四边形ADOE是正方形DOABCE证明：四边形ADOE为矩形，又AC=AB AE=AD 四边形ADOE为正方形.挖掘潜力某地有一座圆弧形拱桥圆心为，桥下水面宽度为、2 m ，过O 作OC AB 于D， 交圆弧于C，CD=2、4m， 现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？CNMAEHFBDO船能过拱桥吗解:如图,用 表示桥拱, 所在圆的圆心为O,半径为Rm,经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 相交于点C.根据垂径定理,D是AB的中点,C是 的中点,CD就是拱高.由题设得在RtOAD中，由勾股定理，得解得 R3.9（m）.在RtO

8、NH中，由勾股定理，得此货船能顺利通过这座拱桥.例2 如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OECD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.解:连接OC.OCDEF问题2(1)如图,已知O的半径为 6 cm,弦 AB与半径 OA的夹角为 30 ,求弦 AB 的长.OAOCABM(2)如图,已知O的半径为 6 cm,弦 AB与半径 OC互相平分,交点为 M , 求 弦 AB 的长.630EB（3）.如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径为10米，桥拱的跨度AB=16米，则拱高为 米。ABCD4O1.过o内一点M的最长的弦长为10,最短弦长为8,那么o的半径是2.已知o的弦AB=6,直径CD=10,且ABCD,那么C到AB的距离等于3.已知O的弦AB=4,圆心O到AB的中点C的距离为1,那么O的半径为4.如图,在O中弦ABAC,OMAB,ONAC,垂足分别为M,N,且OM=2,0N=3,则AB= ,AC= ,OA=BAMCON51或964Cm1.在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度. ED 600CD知识延伸在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面的油面宽AB =