2021全国甲卷高考数学(理)真题评析

1、2021高考数学（理）真题本资料分试卷使用地区、试卷总评、考点分布细目表、试题深度解读四个模块,其中试题深度解读模块又分为【命题意图】答案：解：点评：【知识链接】等栏目，其中解：中尽可能提供多种解法供参考.本资料部分内容来源于网络一、试卷使用地区2021年全国甲卷即原来的全国III卷，使用地区为四川、云南、贵州、广西、西藏二、试卷总评2021年高考数学全国甲卷理科命题，坚持思想性与科学性的高度统一，发挥数学应用广泛、联系实际的学科特点，命制具有教育意义的试题，以增强考生社会责任感，引导考生形成正确的人生观、价值观、世界观.如第8题以测量珠穆朗玛峰高程的方法之三角高程测童法为背景设计要求考生能正

2、确应用线线关系、线而关系、点面关系等儿何知识构建计算模型，情境真实,突出理论联系实际.深化新时代教育评价改革总体方案提出，构建引导考生德智体美劳全面发展的考试内容体系，改变相对固化的试题形式，増强试题开放性，减少死记硕背和“机械刷题”现彖.2021年高考数学全国甲卷理科命题积极贯彻总体方案要求，加人开放题的创新力度，利用开放题考查考生数学学科核心素养和关键能力，发挥数学科的选拔功能如第18题给出部分已知条件，要求考生根据试题要求构建一个命题，充分考査考生对数学本质的理解，引导中学数学在数学概念与数学方法的教学中，重视培养数学核心素养，克服“机械刷题”现象.该套试题突出数学本质，重视理性思维,坚

3、持素养导向、能力为重的命题原则；倡导理论联系实际、学以致用，关注我国社会主义建设和科学技术发展的重要成杲，通过设计真实问题情境，体现数学的应用价值.如第2题以我国在脱贫攻坚工作取得全面胜利和农村振兴为背景，通过图表给出某地农户家庭收入情况的抽样调査结果，以此设计问题，考査考生分析问题和数据处理的能力身心健康是素质教育的核心内容，在高考评价体系的核心价值指标体系中，包含有健康情感的指标，要求考生具有健康意识,注重增强体质，健全人格，锻炼意志.本套试卷对此也有所体现，如第4题以社会普遍关注的青少年视力问题为背景，重点考査考生的数学理解能力和运算求解能力.总之,2021年高考数学全国甲卷理科很好地落

4、实了立德树人、服务选才、引导教学的高考核心功能，同时突出数学学科特色，试题有坡度，发挥了高考数学科的选拔功能，对深化中学数学教学改革发挥了枳极的导向作用.三、考点分布细目表题号命题点模块（题目数）1集合的交集集合（共1题）2频率分布直方图概率与统计（共3题）3复数的概念与运算复数（共1题）4指数与对数的应用函数（共3题）5双曲线的几何性质解析几何（共3题）6三视图立体几何（共3题）7等比数列、充分条件与必要条件数列（共2题）常用逻辑用语（共1题）8解三角形的应用三角函数与解三角形（共3题）9三角变换三角函数与解三角形（共3题）10古典概型概率与统计（共3题）11球与几何体的切接立体几何（共3题

5、）12函数的性质函数（共3题）13导数的几何意义导数（共2题）14平面向量的数量枳及坐标运算平面向量（共1题）15椭圆解析几何（共3题）16三角函数的图彖与性质三角函数与解三角形（共3题）17独立性检验概率与统计（共3题）18等差数列数列（共2题）19线线垂直的证明及二面角的计算立体几何（共3题）20抛物线及直线与圆的位置关系解析几何（共3题）21导数的应用函数（共3题）导数（共2题）22极坐标与参数方程选修4-423绝对值函数的图彖及恒成立问题选项4-5四、试题深度解读设集合M=x|0vxv4,W=x*K5,则MDN=()A.X0 xB.Xix4s313JC.x|4x5D.x|0a5【命题意

6、图】本题考查集合的交集运算，考查数学运算与数学抽象的核心素养.难度：容易.答案：B解：因为M=x|0 x4,A=a:|x50%，故D正确；该地农户家庭年收入的平均值的估计值为3x0.024-4x0.04+5x0.10+6x0.14+7x0.20+8x0.20+9x0.10+10 x0.104-11x0.04+12x0.02+13x0.02+14x0.02=7.68(万元)，超过6.5万元，故C错误.综上，给出结论中不正确的是C.故选C.点评：统计图表是高考考查的热点，但考查方式不限于课本涉及的统计分布直方图及茎叶图,生产与生活中常用的折线图、柱形图、扇形图、雷达图在高考中多次考查.【知识链接】

7、解决频率分布直方图问题时要抓住3个要点直方图中各小长方形的面积之和为1.频率频率直方图中纵轴表示命詁故每组样本的频率为组距X亦二即矩形的面积.(3)直方图中每组样本的频数为频率X总体数.2用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数的方法众数为频率分布直方图中最高矩形底边中点横坐标；中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标；平均数等于每个小矩形面积与小矩形底边中点横坐标之积的和.TOC o 1-5 h z已知(10辽=3+2/,则2=()3.|3.3:一1lB.一1+/C.+lD.一-22:答案：B解：解法一：因为(1-/)2=-2/所以2=芝刍=卩：2护=證迢=_1+中

8、故选b.-2/-2z-z22解法二：因为(1-/)2=-2/，所以Z=上却=土2=-1+-/.故选B.、727-2/-22解法三：因为(1-/)2=-2/，设Z=X+yi(X,yeR),由(I辽=3+2i可得2y-2xi=3+2/，所以332y=3,2x=2t即x=1,y=，所以z=1+亍i,故选B.点评：复数是高考每年必考知识点，一般以容易题面目呈现，位于选择题的前3题的位置上，考查热点一是复数的概念与复数的几何意义，如复数的模、共辘复数、纯虎数、复数的几何意义等，二是复数的加减乘除运算.【知识链接】解复数运算问题的常见类型及解题策略复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数

9、单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可.复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轨复数，解题中要注意把i的幕写成最简形式.复数的运算与复数概念的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为a+bi(a,bER)的形式，再结合相关定义解答.复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为的形式，再结合复数的几何意义解答.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况口【借助视力表测屋.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据丄和小数记录表的数据卩的满足厶=5+lgU.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据为

10、()(帧心1.259)A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6【命题意图】本题考查对数式与指数式的互化，考查数学运算的核心素养.难度：容易.答案：C1解：由L=5+lgV，当厶=4.9时，IgU=0.1,则V=1O-01=10_=-=0.8.101.259故选C.点评：本题以社会普遍关注的青少年视力问题为背景，重点考查考生的数学理解能力和近似求解能力.身心健康是素质教育的核心内容，在高考评价体系的核心价值指标体系中，包含有健康情感的指标，要求考生具有健康意识,注重增强体质，健全人格，锻炼意志.【知识链接】若&0且工1,N0,则/=NOlog“N=b.已知仟迟是双曲线。的两个焦点，尸为C上一点，

11、且ZFfF?=60。,可二3月，则C的离心率为（）A.近B.空C.打D.屈2【命题意图】本题考查双曲线的定义及几何性质，考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：容易答案：A解：因为川=3|啓由双曲线的定义可得用一|朋|=2|啓|=2,所PF2=a,PFl=3a；因为令卩竹=60。，由余弦定理可得4云二9亍+夕-2x3aacos60。，整理可得4疋=7/,所以K=二=?,即*Q故选A.cr42点评：双曲线是高考必考问题,一般作为客观题考查，若单独考查双曲线的定义与几何性质，一般为基础题，若与其他知识交汇考查，町能会出现难度较人的客观题.【知识链接】在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经

12、常结合I朋一啟|=2a,运用平方的方法，建立与I朋II啟I的联系.双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线半一刍=1（Q0,方0）中,离心率e与双曲线的渐近线的斜率k=满足关系式=l+fa在一个正方体中,过顶点川的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥A-EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）正视图C.【命题意图】本题考查三视图的识别，考查直观想象与逻辑推理的核心素养难度：容易答案：D解：由题意及正视图可得几何体的直观图，如图所示,所以其侧视图为，故选D.点评：有关三视图的试题，往年人多与几何体的体积、表面枳交汇考查，今年考查三视图的识别,不

13、需要计算,难度也有所降低,属于送分题.【知识链接】三视图问题的常见类型及解题策略由几何体的直观图求三视图.注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虎线表示.由几何体的部分视图画岀剩余的部分视图.先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式,然后再找其剩下部分三视图的可能形式.当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给岀的部分三视图是否符合.由几何体的三视图还原几何体的形状.要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理,结合空间想彖将三视图还原为实物图.等比数列的公比为Q,前项和为S”，设甲：q0,乙：Sti是递增数列，则()甲是乙的充分条

14、件但不是必要条件甲是乙的必要条件但不是充分条件甲是乙的充要条件甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【命题意图】本题考查数列的单调性及充分条件与必要条件，考查逻辑推理的核心素养.难度：中等偏易答案：B解：解法一：S,是递增数列O心0O0且q0,所以q0是S”是递增数列必要不充分条件，故选B.解法二：令匕=-1,则q0,但：不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件.若彳0成立，所以甲是乙的必要条件.故选B.点评：要否定一个结论，有时可通过构造反例来完成.【知识链接】充分条件、必要条件的三种判定方法定义法：根据pqgp进行判断,适用于定义、定理判断性问题.集合法：根据p,q成立的对彖的集合之间的包含关

15、系进行判断，多适用于命题中涉及字母范【韦I的推断问题.等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题.从集合的角度理解充分条件与必要条件若P以集合A的形式出现,Q以集合3的形式出现，即A=xp(X),B=xq(x),则关于充分条件、必要条件又可以叙述为：若肚，则P是由正弦定理得：31。W1001004sin45sin75tan15cos15sin15sm15=sin(45-30)=sin45cos30-cos45sm30=所以岁二工=100弟+1)X73,所以肚2=40+100373.故选B./6-/2【分析】本题以测量珠穆朗玛峰高程的方法之三角高

16、程测量法为背景设计，要求考生能正确应用线线关系、线而关系、点而关系等儿何知识构建计算模型，情境真实，突出理论联系实际，求解的关键是将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理或余弦定理求解.【知识链接】求距离、高度问题的注意事项选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解：若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.确定用正眩定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理./龙、0,tan2a=cosa2-sina,则Xana=33【命题意图】本题同角三角函数基本关系式及二倍角公式的应用，考查数学运算与逻辑推理的核心素养难度：中点偏易答案：A,小cos

17、a口csm2a2sinccosacosa解：由tan2cr=可得tan2a=；一=2-sinacos2g1-2sin-a2-sma71c.八2sina1.1awI/.cos/.fn.=-:，解得sma=-,2J1-2sura2sina4r/15sina/l5”灶,.cosa=Vl-siirz=,tana=故选Acosa15点评：三角函数与解三角形是高考中的重点，若解答题中没有解三角形，则客观题中一般有3道三角函数与解三角形试题，这3道题分别考查三角变换、三角函数的图象与性质及解三角形.【知识链接】利用sin：+cos：=1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角。所在象限确定符号；利用艺7=co

18、satana可以实现角a的弦切互化.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差、倍的关系.TOC o 1-5 h z将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）1224A.B.C.D.535【命题意图】本题考查排列组合与古典概型.考查逻辑推理的核心素养.难度：中等答案：c解：解法一:先将4个1随机排成一行，4个1之间与两端有5个空,利用插空法排0,若2个0相邻，则有C；=5102种排法，若2个0不相邻，则有=10种排法，所以2个0

19、不相邻的概率为=-.故选C.TOC o 1-5 h z+103解法二：把4个1和2个0随机排成一行，排法种数为C：C；=15,2个0相邻的排法种数为C：C；=5,所以22个0不相邻的概率为1-=,故选c153【命题意图】概率与统计是高考重点，在高考试卷中既有客观题又有解答题，由于该模块涉及知识点比较多,高考命题没有固定的热点，一般情况下，统计与概率、随机变量的分布列都会涉及，客观题至少会有2道.求解本题的关键是正确计数，注意4个1和2个0分别为相同元素,不要误用排列计数.【知识链接】排列应用问题的分类与解法对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法,在实际进行排列时一般采用特

20、殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用河接法.对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题釆用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.占典概型的概率的关键是求试验的基本爭件的总数和爭件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本爭件，基本爭件的表示方法冇列举法、列表法和树状图法、排列组合法，具体应用时可根据需要灵活选择.已如凡EC是半径为1的球0的球面上的三个点，且4C丄BC,AC=BC=lf则三棱锥O43C的体积为()【命题意图】本题考查球的几何性质及棱锥的体积，考查直观想象与逻辑推理的核心素养.难度：中等答案：A解：tAC=为等腰

21、直角三角形，则aASC外接圆的半径为返,又球的半径为1,设0到平面ABC的距离为d,则d=J12-所以Swc=如c=lxf=故选A.点评：球与几何体的切接是高考的热点与难点，常作为客观题中的压轴题，考查热点是几何体的外接球，此类问题要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答.从实际来看，这部分知识是学生掌握最为模糊，看到就头疼的题目分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外,主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.【知识链接】1.空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求

22、解.(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面,把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解，其中公式R2=r2+d2使用频率非常高，考生一定要重视.设函数/(x)的定义域为R./(x+1)为奇函数，/(x+2)为偶函数，当xel,20j-,f(x)=cvc2+b.若于(0)+/(3)=6,则电卜()TOC o 1-5 h z9375A.B.C.D.242【命题

23、意图】本题考查函数的奇偶性与周期性，考查数学抽象与逻辑推理的核心素养.难度：中等偏难答案：D解：解法一：由/(X+1)是奇函数，所以/(-x+l)=-/(x+l)，令x=0得f(l)=a+b=O,令x=l,/(0)=-/(2)=-47-Z?,又/(x+2)是偶函数，所以/(x+2)=/(-x+2),令x=l得f(S)=f(i)=a+bt所以/(0)+/(3)=4Z0）的弦，月（朋,处）,弦中点Mao,必）,则弦长7=-1+#|xxz|=寸1+却必一如；直线M的斜率厶=一勞.已知函数/（x）=2cos（处+0）的部分图像如图所示，则满足条件7-/0的最小正整数X为【命题意图】本题考查三角函数的图

24、彖与性质，考查直观想彖与数学运算的核心素养难度：中等偏难答案：2解：解法一:由图可知沪学今茅即丁所以迟2；由五点法可得2今0号即=1,/（）=2cos怦卜0；YIZ丿7t（p=；所以/（x）=2cos|2x-I因为/（一半）=2cos66丿47t所以由60可得/1或/（兀）0；因为/（1）=2cos2一彳卜2cosg一彳=1,又/（2）=2cos（4/(】)/7T，显然1不符合条件结合估值可知2在y轴右侧第1个零点与第2个零点之间，符合条件.点评：解法二是非常规解法，但在求解与某些给出图彖的问题时比较实用，法无定法，得分是硕道理！【知识链接】根据y=Jsin（4-0）,xWR的图象求解析式的步

25、骤：（1）首先确定振幅和周期，从而得到月与5（I为离开平衡位置的最人距离，即最犬值与最小值的差的一半.（IDg由周期得到：函数图彖在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的两条对称轴之间的距离为函数的半个周期；函数图彖与x轴的交点是其对称中心，相邻两个对称中心间的距离也是函数的半个周期：一条对称轴与其相邻的一个对称中心间的距离为函数的+个周期（借助图彖很好理解记忆）.（2）求。的值时最好选用最值点求.HJT峰点：=+2An；谷点：=.也可用零点求，但要区分该零点是升零点，还是降零点.升零点（图象上升时与x轴的交点）：处+巾=2k只:降零点（图象下降时与x轴的交点）:处+0=n+2AJI（以上圧Z

26、）.n(ad-be)12(a+b)(c+d)(d+c)(b+d)P(Kk0.0500.0100.001k3.811663510.828附:甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量,分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品二级品合计甲机床15050200乙机床12080200合计270130400【命题意图】本题考查频率的计算与独立性检验，考查数据分析与数学建模的核心素养难度：容易解:(1)甲机床生产的产品中的一级品的频率为=75%,200120乙机床生产的产品中的一级品的频率为益=60%.200(2)=型106.635,3

27、9“400(150 x80-120 x50)270 x130 x200 x200故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异.点评：作为解答题，本题实在太容易了，只相当于课本基础题的难度，且这种题型平时训练较多，该题就是送分题.【知识链接】独立性检验的一般步骤假设两个分类变量X与y没有关系；计算出K的观测值，其中K?二_bc$(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)把K的值与临界值比较，作出合理的判断.注意：在列联表中注意事件的对应及相关值的确定，不可混淆.已知数列%的各项均为正数，记S”为陽的前力项和,从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立.数列$是等差数列：数列底是等差数

28、列：冬=3.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【命题意图】本题考查等差数列的证明及匕与S”的关系，考查逻辑推理与数学抽彖的核心素养.难度：中等解：选作条件证明：设=an+b(a0),则Sn=(伽+b)2,当,7=1时，q=S=(a+b)；当n2时，an=Sn-Szr_1=(an+bj-(an-a+by=d(2c7_a+2Z?):因为也是等差数列，所以(a+b)=d(2aa+2b),解得b=0；所以a”=/(2”一1),所以冬=3.选作条件证明：因为冬=3坷,是等差数列,所以公差d=一q=2q,所以S”=“q+_d=irciL,即=肩n,2因为屈7低=肩W+H-肩斤=肩,所以、低

29、是等差数列.选作条件证明：设ys=an+b(a0),则Sn=(c2+b)2,当n=1时，q=S=(a+b)-；当n2时，an=Sn-S”_=+b一(c?一a+b)=d(2an-a+2b)；因为a?=3q,所以a(3a+2h)=3(d+b),解得b=0或b=_丁;当b=0时，勺=夕4=/(加一1)，当n2时，an-anA=2a2满足等差数列的定义此时/”为等差数列:4a4a当b=时，JS”=cm+Z?=677亍a,J兀=亍v0不合题意,舍去.综上可知%为等差数列.点评：该题是“结构不良问题”，在老教材高考中首次出现，题目给出部分已知条件，要求考生根据试题要求构建一个命题，充分考查考生对数学本质的

30、理解，引导中学数学在数学概念与数学方法的教学中，重视培养数学核心素养，克服“机械刷题”现彖.这种题型对考生的逻辑推理能力、数学抽彖能力、直观想彖能力等有很深入的考査,体现了素养导向、能力为重的命题原则.【知识链接】等差数列的四种判断方法定义法：zdld是常数)oUJ是等差数列.等差中项法：2d+=%+d卄2G?EN*)o%是等差数列.通项公式：m=pn*qgq为常数)。弘是等差数列.前m项和公式:&=An+Bn(A,B为常数)。去是等差数列.已知直三棱柱ABCAdG中,侧面AAQB为正方形，AB=BC=2,E,F分别为4C和cq的中点,0为棱人坊上的点.丄人坊（1）证明：BF丄DE；（2）当Q

31、D为何值时，面BB&C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？【命题意图】本题考查线面位置关系的证明、二面角的计算，考查直观想象及逻辑推理的核心素养.难度：中等.解：解法一：取BC中点G,连接EG,则EG人坊，A，坊,G,E共面,且丄Ad,所以丄EG,连接Bfi，由四边形B&CB为正方形，可得BF丄Bfi,因为BGCEG=G,所以丄平面BfiE,因为应u平面AfifiE，所以新丄DE.因为三棱柱ABC-40C是直三棱柱，所以尸色丄底面ABC,所以BB,丄AB因为A.BJIAB,BF丄所以3尸丄43,（2）由（1）知BA、BC,阻两两垂直.以B为坐标原点，分别以BA,BC,BBl所在直线为轴建立空间

32、直角坐标系,如图.所以3(OaO),A(2QO),疋(1丄0),尸(021)由题设(0.2)(0/6此时cos8取最人值为f273vT所以（sin。）遇J1-闇=，此时弘斗解法二：因为三棱柱ABC-Aq是直三棱柱，所以BQ丄底面ABC,所以码丄AB因为fBJAB,BF丄A%所以肋丄43,因为三棱柱ABC-4/C是直三棱柱，所以尸目丄底面ABC,所以BB丄AB因为BJ!AB,丄所以3尸丄43,又BB、cBF=B,所以43丄平面BCCD.所以BA、BC、BB,两两垂直.直三棱柱ABCAlBiC中因为三棱柱ABC一AQG是直三棱柱，所以丄底面ABC,所以BB,丄AB因为A.BJIAB,BF丄所以3尸

33、丄43,又BB、cBF=B,所以43丄平面BCCD.所以BA、BC、BB,两两垂直.以B为坐标原点,分别以BA、BC、BB所在直线为轴建立空间直角坐标系,如图.所以(0,0,0),A(2,0,0),C(020),3】(0,0,2)，A(2,0,2)，G(0,2,2),E(l,l,O),F(O,2,l).由题设D(o,0,2)(00）,P（l,yo）,Q（l,-yo）,.OP丄OQ,.OPOQ=l-y=l-2p=0,.2p=l,所以抛物线C的方程为v2=aM（0,2）,OM与x=l相切，所以半径为1,所以OM的方程为（x-2）2+y2=1；（2）设人（儿儿）,九（琼,儿）4（儿，儿），则儿，儿，

34、儿互不相等,所以人九方程为（X）（儿一yj=（y-yf）,因为儿工儿，儿儿工,所以兀一2=（儿+%）（一兀），展开整理得所以直线A4方程为（兀+y2）y+兀儿=o,同理直线AA的方程为x一（兀+儿）y+儿儿=，直线人&的方程为x一（儿+儿），+儿儿=,A4与圆m相切，丄2+儿儿丨=1整理得（K-1）元+2y化+3-）7=0,同理可得（y；-1）7+2儿儿+3-才=0所以儿,儿为方程（才一1）/+2yy+3-y；=0的两根,0）2y3-yf3=一-，儿儿=r兀一1片一1M到直线人的距离为：|2+3_兀|,2+儿儿丨=才_=丨片+1丨=+1=J1+(儿+儿)h；(2儿尸J(f_i)+4)f才+1V

35、火-1所以直线九人与圆M相切.点评：解析几何解答题是高考数学必考题，该题一般分2问，第1问通常为求曲线的方程，难度较小，第2问通常为直线与圆锥曲线的位置关系，一般运算量比较人，相当一部分同学会因为运算能力不过关而失分.【知识链接】过不同两点A(x1,y1).B(x29y2)的直线方程为(/一為)(旳一儿)=()一必)匕一兀)，无论AB斜率是否存在，上式都成立、X已知0且C/H1,函数/（X）=（X0）.(1)当=2时,求f(x)的单调区间;(2)若曲线y=/(x)与直线y=l有且仅有两个交点，求a取值范围.4V【命题意图】本题考查用导数研究函数的单调性及函数图象交点个数问题难度：难.解：当“2

36、时)=，*)=2诚2、(2_血2)222令广“得应当0。0,当”走时/)v0,(2函数f(x)在0,區上单调递增；在咅,+oo)上单调递减;1112(2)解法一:/=1ax=xna=ciinxOxnci-alnx=0设g(x)=xhia-anxy则问题转化为g(x)=0有2个不同实根,因为的在(0,侖ana上的值域均为(g(佥时g)0,g(x)是增函数,若0al,则xw。，佥时g(x)0,g(x)是减函数,所以只需1-111-e,gpin-l),则hr(a)=丄-丄=-一,eaeae所以(d)在(1,)上是增函数，在(匕+8)上是减函数，且()=0,所以的取值范用是(i,w)U(w,+s).解

37、法二：/(%)=厂1OO皿皿OInxInaxa设函数g(x)=,X则g(x)=令g(x)=0,得x=s在(00内g(x)0,g(x)单调递增；在仏+8)上g，(x)vo,g(x)单调递减;又g=0,当X趋近于+S时，g(x)趋近于0,所以曲线y=/(X)与直线y=1有且仅有两个交点,即曲线y=g(x)与直线$=总有两个交点的充分必要条件是0v这即是0g0,是解法二中忽略在（匕+8）上列00,得出/Tcos&（1）将c的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A的直角坐标为（1,0）为C上的动点，点尸满足AP=72AA/,写出厂的轨迹C的参数方程，并判断C与C是否有公共点.【命题意图】本题考查直角

38、坐标方程与参数方程、极坐标方程的互化，圆的几何性质,考查数学抽彖与逻辑推理的核心素养.难度：中等偏易.解：（1）由曲线C的极坐标方程q=2cos/2pcos/1丫，即（x两+）&=2,即曲线。的直角坐标方程为（xV2）2+y2=2；（2）设P（x,y）,设M（JI+JTcosd.(x-1)=血(血+Vcos1,Vsin8)=(2+2cos0-sin&),%-l=2+2cos-/2y=2sin0 x=3-+2cos&y=2sin0小x=3-y/2+2cos0故尸的轨迹G的参数方程为（0为参数）y=2sin0.曲线C的圆心为（/2,0）,半径为血，曲线c的圆心为（3-72,0）,半径为2,则圆心距为3-22v3-2/2-两圆内含,故曲线C与C；没有公共点.点评：本题是一道基础题，与前两年第22题相比较,今年的试题较为平和，学生更容易得分.【知识链接】圆的参数方程fx=2ros(1)圆心在原点、半径为r的圆的参数方程制(为参数八ly=rsin“x=a+