泛函中四大空间

1、泛函中四大空间的认识第一部分我们将讨论线性空间，在线性空间的基础上引入长度和距离的概 念，进而建立了赋范线性空间和度量空间。在线性空间中赋以“范数”，然后在范数的基础上导出距离，即赋范线性空间， 完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间。范数可以看出长度，赋范线性空间相当于 定义了长度的空间，所有的赋范线性空间都是距离空间。在距离空间中通过距离的概念引入了点列的极限，但是只有距离结构、没有 代数结构的空间，在应用过程中受到限制。赋范线性空间和内积空间就是距离结 构与代数结构相结合的产物，较距离空间有很大的优越性。赋范线性空间是其中每个向量赋予了范数的线性空间，而且由范数诱导出的 拓扑结构与代数结构具有

2、自然的联系。完备的赋范线性空间是Banach空间。赋 范线性空间的性质类似于熟悉的Rn，但相比于距离空间，赋范线性空间在结构上更接近于Rn。赋范线性空间就是在线性空间中，给向量赋予范数，即规定了向量的长度， 而没有给出向量的夹角。在内积空间中，向量不仅有长度，两个向量之间还有夹角。特别是定义了正 交的概念，有无正交性概念是赋范线性空间与内积空间的本质区别。任何内积空 间都赋范线性空间，但赋范线性空间未必是内积空间。距离空间和赋范线性空间在不同程度上都具有类似于Rn的空间结构。事实 上，Rn上还具有向量的内积，利用内积可以定义向量的模和向量的正交。但是 在一般的赋范线性空间中没有定义内积，因此不

3、能定义向量的正交。内积空间实 际上是定义了内积的线性空间。在内积空间上不仅可以利用内积导出一个范数， 还可以利用内积定义向量的正交，从而讨论诸如正交投影、正交系等与正交相关 的性质。Hilbert空间是完备的内积空间。与一般的Banach空间相比较，Hilbert 空间上的理论更加丰富、更加细致。1线性空间（1）定义：设X是非空集合，K是数域，X称为数域上K上的线性空间， 若Vx, y e X，都有唯一的一个元素乙e X与之对应，称为尤与的和，记作z = x + yVx e X,ae K，都会有唯一的一个元素u e X与之对应，称为a与x的积，记作u =a x且Vx, y, z g X , a

4、 Re K ,上述的加法与数乘运算，满足下列8条运算规律：1o x + y = y + x2o (x + y) + z = x + (y + z)30在X中存在零元素0，使得Vx g X，有0+ x = x4o Vx g X，存在负元素V- x g X，使得x + (-x) =05o 1 - x = x6o a (P x) = (aP) x7o (a + P) x = a x+P x8o a (x + y) =a x + a y当K = R时，称X为实线性空间；当K = C时，称X为复线性空间(2)维数：1o设X为线性空间，x ,x , ,x g X若不存在全为O的数a ,a , ,a g K

5、， TOC o 1-5 h z 12n12n使得 HYPERLINK l bookmark13 o Current Document a x*+a x + +a x = O1122nn则称向量组x ,x , ,x是线性相关的，否则称为线性无关。 12n 2o 设 Vx g X，若 a , a , , a g K，x , x , , x g X 使得12n12n x = a x + a x + + a x1122nn 则称x可由向量组x ,x , ,x线性表示。 12n3o设X为线性空间，若在X中存在X个线性无关的向量，使得X中任一 向量可有n个向量线性表示，则称其为X的一个基，称n为X的维数。

6、2距离空间设X是非空集合，若存在一个映射d : X x X T R，使得Vx, y, z g X，下列 距离公理成立：1o 非负性 d(x, y) O, d(x, y)=O。x = y2。对称性 d (x, y) = d (y, x)3。三角不等式 d(x, y) 0, |x| = 0 o x = 020绝对齐次性|好x| = |a|x|3o 三角不等式 |x + y| 0,BN eN,使当m,nN时，有 |x -x | 完备的赋范线性空间称为Banach空间。4内积空间设X称为数域上K上的线性空间，若存在映射 : X x X r K，使得Vx, y, z e X，以,p e K，下列内积公理成立：对第一变元的线性以x +P y, z =以+P 共轭对称性=ya正定性 0 且 = 0 o x = 0则称为X上的内积，X为K上的内积空间。由于完备性的概念是