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文档简介

1、本节要点一、反函数的求导法则二、复合函数的求导法则 牛牛文库文档分享第1页，共19页。一、反函数的导数 设函数 在区间 内单调、连续, 则其反函内单调, 连续: 若设 在区间 内可导, 且 今来讨论 的可导性. 给 以增量 由 的数 在对应的区间单调性, 知 牛牛文库文档分享第2页，共19页。变形得到又由函数的连续性, 当 时必有 从而有 牛牛文库文档分享第3页，共19页。由此说明了函数 在 处可导, 且有简单地说, 反函数的导数等于直接函数的导数的倒数. 牛牛文库文档分享第4页，共19页。例2.15 求反正弦函数解 是 的反函数.注意到在区间 内， 从而有所以. 在区间 内点点可导, 且有而

2、 在区间 内单调、可导, 并且 的导数. 牛牛文库文档分享第5页，共19页。 牛牛文库文档分享第6页，共19页。例2.16 求反正切函数解 函数 是 在 区间内的反函数，在区间内单调、可导, 且所以 在 内每一点可导, 且有:有的导数. 牛牛文库文档分享第7页，共19页。注意到： 从而有同理可得其它几个反三角函数的导数公式: 牛牛文库文档分享第8页，共19页。例2.17 求对数函数解 是 的反注意到, 特别地, 当 时, 有函数, 且直接函数在定义域内单调、可导, 且的导数.从而有 牛牛文库文档分享第9页，共19页。三、复合函数的导数 在众多的函数中, 我们遇见的更多的是复合函数. 例如函数

3、, 这是一个极为简单的函数, 但我们要求它的导数就没那么简单. 事实上, 由导数的乘积公式, 得 牛牛文库文档分享第10页，共19页。 对一个如此简单的函数, 求其导数都那么困难, 这就提示我们有必要讨论复合函数的求导法则. 利用相应的法则来简化某些复杂函数的导数计算. 牛牛文库文档分享第11页，共19页。复合函数求导法则 如果函数 在点 可导,证 设自变量 在 处有增量 , 则函数而函数 在 处可导, 则复合函数 在 处可导, 并且有关系有增量 相应地, 函数有增量 （2.4） 牛牛文库文档分享第12页，共19页。当 时, 有由函数 的可导性, 得函数在 是连续的, 因又此当 时, 有 由此得（2.5） 牛牛文库文档分享第13页，共19页。由此得到:复合函数的求导公式常常表示为（2.6）公式（2.6）称为复合函数的求导法则 牛牛文库文档分享第14页，共19页。此公式可以作进一步的推广: 若均为可导函数, 则相应的复合函数的导数为 牛牛文库文档分享第15页，共19页。例2.18 求函数解而成, 故此由复合函数的求导公式, 得的导数.可以看成由复合 牛牛文库文档分享第16页，共19页。例2.19 求函数解 因的导数.可视为 复合而成, 由复合函数求导公式（2.6）得: 牛牛文库文档分享第17

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