高中数学从一题多解,看集合问题的求解策略学法指导

1、从一题多解，看集合问题的求解策略宋会民、具体集合问题2例 1.已知 M =2,a,b, N =2a2b ，且 M =N，求 a, b 的值。分析：本题的一个重要条件是M=N ,可以根据集合的性质求解。解法1 ：根据集合中元素的互异性，得a = 2a, a b2 .、, J 。或a-b ,解此方程组得 b = b2 、b=2aa = 0 7或b=1a =0或b =01412，根据集合中元素的互异性得a = 0或b =11 a 二一41 b = ,2解法2 :由M=N ,知M、N中元素分别对应相同，得2a b = 2a + b ，门 a a ，即2ab = 2aba +b(b -1) =0ab(2

2、b -1) =0因集合中元素互异，所以a, b不能同时为0,当b#0时，由得a = 0或b=1；当a=0 2一、,、 八，-113=0时，由得b=1或b=0 （舍去）；当b=，时，由得a=。所以a, b的值分别为24b = 1a,点拨：本题中如不注意集合中元素的互异性，可得方程组有三组不同的解，从而得b的三组值。对于此类问题，常常需要代入检验。例 2.已知集合 M =x |y2 =x +1, P=x|y2 = 2（x 3）,那么 M p等于（）A. （x,y）|x 二|,y =： 236B. （-1,3）C. -1,3D.（-二,3）分析：识别集合 M, P的元素的特征，是求 Mcp的关键，如

3、果审题不认真，一看到 求两个集合的交集，就解方程组，于是错选Ao其实MCP的元素根本不是（x,y）,而是x的形式，一定要注意区分下面三个集合x|y = -x2+4x, y | y = -x2+4x, -2（x,y）|y=r +4x,匕们的息义不同。解法 1：由 x =y2 1 之一1,得吊=x |x 之一1 =一1,）。由 x = y2+3E3,得2P=x |x 3。M 1p=x|-1 x 3 =-1,3,故选 Co解法2：排除法。因M1P的元素是x,而不是（x,y）的形式，所以排除 Ao比较B项 与C项，如果取x =-1,-1M,-1P,知1W（M IP）,所以排除Bo再比较C项和D项，Wx

4、=N, 2*M,所以排除D,故选C。二、集合中的文字应用题例3.有数学、物理、化学三本新书，至少读过其中一本的有18人，读过数学、物理、化学的分别有 9人、8人、11人，同时读过数学、物理的有 5人，同时读过物理、化学的 有3人，同时读过化学、数学的有 4人，三本书都读过的有几人？分析：理解“至少”、“同时”、“分别”词语的含义，并用集合形式表示出来是解 题的关键。解法1:设A=读过数学书的人, B=读过物理书的人, C=读过化学书的人,则 A riB=同时读过数学、物理书的人, BPlC=同时读过物理、化学书的人, APlC = 同 时读过数学、化学书的人, aUbUc = 至少读过数理化中

5、一本书的人，依题意知AriBriC= 三本书者B读过的人, 则aCIbCIc的元素个数是 1 8（8 十9 十1 ）1 十（3 +4+5） =2。解法2:（韦恩图法）如图所示。设三本书都读过的有 x人，则18=8+9+11345十x,解得x=2。三、抽象的集合问题例4.已知全集U和集合M、N、P, M =CuN,N=CuP,则M与P的关系是（）A. M =CuPB. M = PC. P =MD. M =P分析：利用韦恩图求解，也可以利用补集的性质求解。UM（P）解析1:（韦恩图法）如图所示，知 M=P,故选Bo解析2:（性质法） M =Cu（CuP）=P。故选B。例5.设I为全集，Si、S2、

6、S3是I的三个非空子集，且 Si US? US3 = I ,则下列论断正确的是()CiS(S2S3)=中c. CIGcIs2 cIs3 =中解法1根据集合交、并、补的关系$=(CiS2 CiS3)D. &三(C1S2 C1S3)CI(AUB)=CIAncIB,可立即判断 C正确。解法2:假设& =S2 =S3 #中，可排除B、D、A,验证C正确。解法3构造具体的集合检验。如S1 =1,2, S2 =2, S3 =2,3, I =1,2,3,经检验容易排除A、B、D,故选Co点拨：本题的三种解法主要是集合的交、并、补概念及运算，以及特殊化的思想方法。例6.设A、B、I均为非空集合，且满足 A J B J I ,则下列各式中错误的是()A. (CIA) B=IB. (CIA) (CIB)=IC. A (CIB) .：，D. (CIA) (CIB)=CIB分析：本题利用韦恩图或特殊化方法解决。解法1:由题意，画出适合题意的图形如图，图中阴影部分为(CIA)U(CIB),显然它不是I,故选Bo解法 2：(特例法)设 A =a,b,0, B=a,b,c,