高中数学常见题型解法归纳二面角的求法

1、高中数学常见题型解法归纳二面角的求法【知识要点】 一、二面角的定义平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分叫做半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面.二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角，叫做这个二面 角的平面角.二、二面角的范围规定：二面角的两个半平面重合时，二面角为0O,当两个半平面合成一个平面时，二面角为180,因此，二面角的大小范围为 -00,180. 三、二面角的求法方法一：（几何法）找 T作（定义法、三垂线法、垂面法）T证（定义）T指T求（解

2、三角形）一m n 一方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量m, n ;再代入公式cosa =（其中m,n分别是m n两个平面的法向量， u是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“土 ”号）四、求二面角体现的是数学的转化的思想，就是把空间的角转化为平面的角，再利用解三角形的知识解答【方法讲评】几何法使用情景一面角的平囿角本身就存在或方便作出来解题步骤找T作（定义法、三垂线法、垂面法）T证（定义）T指T求（解二角形）【例1】如图，四棱锥P -ABCD中，底面ABCD是边长为3的菱形，/ABC =600 , PA，面ABCD ,且 PA =3, F 在gPA上，且AF=1,

3、E 在PD 上.(1)若 CE 面 BDF，求 PE : ED 的值;(2)求二面角B -DF A的余弦值.【解析】门)过火作EG阳交/P于G,连接CG,连接AC交AD于0,连接FCL EG/FDf EG建面RDF , EDu面AD二 EG力面BDF又 EGnCE=E CF面 ADFj，面CGE面BO尸，又 CGu 面 CGE ,，CGH 面 BDF ,又面以Z)/n面以C=F0, CGu面尸，C,FOf/CG.又。为KC中点，耳为KG中点“，FG=G尸=1,，后为尸。中点，PE:ED = l-l.EGCEu 面 CG/_L直线DF交于I ,. PA，面 ABCD , 面 PAD，面 ABCD

4、 , .BH _L面PAD ,由三垂线定理可得DI _ IB ,/BIH是二面角 B -DF A的平面角.由题意得 AH = , BH = 3, HD = ,且 222HI AF 1i, HIHD DF . 109.10203,32030 tan/BIH =父-；= =, .1 面角29 103八人、,+39B-DF A的余弦值为.【点评】(1)本题第2问也可以利用向量的方法解答.(2)第2小问的解答实际上是利用了几何的方法，利用三垂线定理作出二面角的平面角，再解三角形.这是几何法求二面角常用的一种方法，大家务必熟练掌握灵活【反馈检测1】如图所示，四边形 ABCD是菱形，O是AC与BD的交点，

5、SA_L平面ABCD .(2)过点B作BH _L直线DA交DA延长线于H ,过点H作HI(I)求证：平面SAC_L平面SBD;(n)若 /DAB =120) DS 1 BS , AB=2,求二面角 S_BC A 的余弦值.方法二向量法使用情景二面角的平囿角不易作出来 .mn|建立空1可直角坐标系 t求出两个平面的法向量 m,nT代入公式cosot=；f，(其 1mlM解题步骤中m,n分别是两个平囿的法向重，口是一囿角白平囿角.)求解.(注思先通过观祭一回角的大小选择“ 士 ”号)例2已知四棱锥 P -ABCD的底面为直角梯形，AB II DC , /DAB =90 , PA_L底面ABCD ,

6、且-1PA=AD =DC =AB =1 , M 是 PB 的中点. 2证明：面PAD，面PCD ；求AC与PB所成的角；求面AMC与面BMC所成二面角的余弦值.【解析】证明：以上为坐标原点，皿 4区所在直线分另的的弘若由j建立如图1所示空间直角坐标系，则邢帅8g0CQ10)DQ10? NQOW M(1) DC AP = O? DCAP .又由已知且心=从而QCJ_面ZMD.又DC u面PCD,故面2仞_1面巾.(2) 8s即/C与PH所成的角为aiccos半.(3)没叫Q, %始，% 4)分别为平面血。与平面国/C的法向量, 旦 MA =(0,1，一=(Q1 MC=(l Q pV踞=Q,(叫痂

7、=0.%= 0,MC = 0,解得和21 =2中取法向量为a =(一也21 % =(U2)故8MA崂=7 =-,即所求二面角的余弦值为一2 .同网 33【点评】由于本题的二面角的平面角不易作出，而建立空间直角坐标系和写坐标都比较方便，所以可 以选用向量的方法.【反馈检测2】如图，四边形 PCBM是直角才形 /PCB =90。PM /BC, PM =1,BC =2 ,又 AC =1,NACB =120。AB _L PC ,直线 AM 与直线 PC 所成的角为 60.H(1)求证：PC _L AC ; (2)求二面角 M -AC B的余弦值；(3)求点B到平面MAC的距离.高中数学常见题型解法归纳

8、及反馈检测第55讲:面角的求法【反馈检测1答案】（I）证明见解析；（n） 沫.【反馈检测1详细解析】（I ）证明：因为，面asco、BD仁面ABCD, 所以国即.又因为/CZ形，所以KC_LRD, 又,MndC=a,所以3。_1面4。, 又AD u面SBD,面SBD J_面双C .(H)法 因为 SA_L面ABCD,BC 匚面ABCD,所以 SA_L BC ,过A作AF _LBC于F ,贝U 8。_1面5八尸，连接SF ,贝U SF _L BC , 所以/SFA是二面角S -BC A的平面角.在菱形 ABCD 中，NDAB=120,所以2CAB=60,AOAB =1, BO = AB =出,

9、22因为 DS _LBS,O是DB中点，SO=；DB = J3.SA=SO2 - AO2 =匹,AF =3AB =而,SF = JS& +AF2 =75, 2155AF 15所以cos/SFA =5 ,即二面角S -BC - A的余弦值SF 5以A为坐标原点， AB方向为x轴正方向，AS方向为z轴正方向，建立坐标系.设 SA=a ,易得 B(2,0,0 1 C(1点0), D&1点0), S(0,0, a 卜 . .DS =(1,-T3,a ), BS=(二,0,a),由 DS _L BS 得 DS BS=0,得 a=T2,前=(-L在0),设” =(x)是平面SRC的一个法向量,.nkBC

10、n BC = 0f-x + /5v = 0则r上，即.一 ，即即 y? nLBSBS = Q -2x +岳=0解得一个法向量为冷=A研又君=(0,0.是平面ABC的一个法向量所以 ss = -= - ?|45|川| 梃X拆 5故二面角S-BC-A的余弦值半_ ，._ .212.21【反馈检测2答案】（1）证明见解析；（2） 221；（3） 41.77【反馈检测2详细解析】（1） ; PC _L BC,PC .L AB, AB c BC = B, PC _L 平面 ABC , AC J 平面 ABC , PC .L AC (2)在平面ABC内，过点C作BC的垂线，并建立空间直角坐标系，如图所示- 31设 P 0,0, z . CP = 0,0, z ,AM = 0,1,z - -y,-,0cos60=-. . i-w=cosAM CP =AM CPam M g+z2 I- J.z=1. AmJ 立