高中数学最值问题大盘点和例题及解析

1、最值问题大盘点(作者赵先举)最值问题一直是高中数学的重要内容之一，也是高考的热点问题.它综合性强，且在生产与生活中有这广泛的应用.因此，求最值问题是我们在高中阶段必须掌握的内容.下面结合具体例子来说明，不同条件下求最值的方法. 一、二次函数求最值问题二次函数是我们最熟悉的函数之一，求二次函数的最值一般需要考虑对称轴，而对于一些含参数的二次函数在限定区间上的最值还要进行分类讨论.这也是主要的考查方式.3例1.设函数f(x) ax2 (2a 1)x 1在区间-,2上的最大值为3,求实数a的值. TOC o 1-5 h z 1 一 一、1 2 , -1 解析:令f (2) 3,即4a 4a 2 1

2、3,解得a 万,此时f (x) -x 1,可知，a万适3、_9a_3.27合题忌；令f ()3,即3a1 3,可得a,此时对称轴为x开口向下，24234适合题意；令f(L) 3，即1 4a 4a(2a 1)(1 2a) 1 3,可彳导a 1，此时对2a4a2a221称轴为x 2 ,2,不适合题意；a 0时显然也不适合题意.故a 或一. 222点评:解决二次函数在某一区间上的最值，应注意二次函数图象的开口方向，对称轴的位置以及二次函数在此区间上的但调性等.对于含参数求最值的讨论，其主要依据就是对称轴与区间的关系，一般可以分为三种情况：对称轴在所给区间的左边，在区间内及在区间的右边.二、抽象函数的

3、最值问题抽象函数由于没有具体的解析式，一般都是在单调性与奇偶性等基础进行求最值.有时候需要先证明这些性质.例2.已知f(x)是定义在 R上的奇函数，且满足如下两个条件：对于任意的x, y R都有f(x y) f(x) f(y);当 x 0 时，f(x) 0,且 f(1)669.求函数 f (x)在区间 3,3上的最大值和最小值解析:本题没有具体的解析式，要求其最值，可先根据已知条件确定函数在3,3上的单调性.设 x1x2，则由条件可得f (x2)f (x2 x1) x1 f (x2 x1 ) f (X ),即f(x2 x1)f(x2) f(x1).因为 x2x10,由条件可得 f (x2x1)

4、 0 ,即f(x2)f(x1) 0,即f(x1)f(x2).所以，f(x)在R上单调递减.所以，f (x)的最大值为f( 3) f (3)f(1 2)f(1) f(1 1) 3f (1) 2007，最小值为 f (3)2007 .点评:对于抽象函数求最值，由于没有具体函数，一般是通过研究函数的单调性来确定其最值 而对于抽象函数单调性的证明一般是直接采用定义直接证明即可三、数列中的最值问题数列是一种特殊的函数，它和函数一样也有相应的最值，尤其是等差数列的前n项和，它的形式是关于正整数 n的二次函数的形式，可以借助二次函数的方法求最值，也可以根据数列 的特点求最值.9n(n 1)例3.已知an (

5、 n ) (n N* ),试问:数列an有没有最大项？如果有，求出最大项，如果没10有,请说明理由.9n (n 1) 9n 1 nan an 110n10n 1解析:设an中第n项最大，则，即n01解之得8 n 9,即第an an 19 (n 1) 9 (n 2) TOC o 1-5 h z 10n10n8项和第9项最大.,， 一，,an an 1一点评:如果数列的第n项最大，则，则an从第1项到第n项是递增的，从第n项开an an 1a am始是递减的；其实，若第n项最小，类似有n.这是求数列中最小项的基本方法.an an 1例4.等差数列an中，a1 25,57S9,问数列前多少项之和最大

6、，并求此最大值.& 2517 169 8 -解法一:设公差为d,则由17a1 d 9a1 d ,可得d 2.S7 S922n(n 1) z -、/. _.2,八_、，0 0d故Sn 25n )/ ( 2) (n 13) 169，所以，前13项和最大，最大彳1为169.解法二:由前n项和的定义及S17S9可得：a1a2L a17a1a2 La9，即a10 a1 a12 La” 0，根据等差数列的性质可得：4(a3 a14) 0,即a13 a14 0,而a1 25 0,故数列递减，所以，a13 0且a14 0 ,所以，前13项的和最大.再代入求出最大值为 169.、.、口， C ，an 0 r解法

7、三:由解法一可得d 2,所以，an25 (n 1)( 2) 27 2n ,由，即an 1027 2n 0n 13.5，故n 13.即前13项和最大，同样可得最大值169.27 2(n 1) 0 n 12.5点评:二次函数的前 n项和的最大(小)值有两种求解方法.一是利用二次函数的性质找对称an0轴，根据对称轴确定最大值对应的n;而是利用数列的特点，若前n项和最大，则n ，若前an 10an 0n项和最小，则，根据不等式组来确定对应的n值，再求最值. TOC o 1-5 h z an 10四、三角函数的最值问题由于三角函数本身取值范围就有一定的限制，因此三角函数的最值问题也是考查的重要内容.其中

8、以正弦与余弦有关的最值问题居多. HYPERLINK l bookmark4 o Current Document 22例 5.已知函数 f(x) sin x 2sin xcosx 3cos x , x R.求：(I)函数f (x)的最大值及取得最大值的自变量x的集合；函数f(x)的单调增区间.解析(I)解法一：cos2x3(1 cos2x)f (x) sin 2x - 1 sin 2x cos2x 2 、, 2 sin(2 x ) TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark6 o Current Document 224当2x 2k 一，即x k -(k Z)时，f

9、 (x)取得最大值2五. 428函数f(x)的取得最大值的自变量 x的集合为x/x R,x k (k Z). 8解法二：2222f(x) (sin x cos x) 2sin xcosx 2cos x 2sin xcosx 1 2cos x sin 2x cos2x 22 亚sin(2x-), 当 2x 2k ,即 x k (kZ)时，f (x)取得最4428大值2 J2 .函数f (x)的取得最大值的自变量x的集合为 x/x R, x k (k Z).8(II)解：f (x) 2 点sin(2x )由题意得：2k -2x -2k - (kZ)4242rr3 . 3即：k x k -(k Z)

10、因此函数f(x)的单调增区间为k ,k-(k Z).8888点评:本小题考查三角公式，三角函数的性质及已知三角函数值求角等基础知识，考查综合运用三角有关知识的能力.解此类问题的关键是把函数进行合并，利用正弦与余弦函数的有界性 判定最值.例6.求当函数y_ _2sin x acosx1 - a23 一的取大值为21时a的值.解析：y2 cosax acosx 1,a、2(cos x )a21 a1 5一,设 cosxt则222422 TOC o 1-5 h z a. 2 a 111 t 1,所以转化为求二次函数y (t 3)7 2a 3( 1 t 1)的最大值为1时a的值.当a/- 3a1,即a

11、v 2时,t = - 1,y有最大值 2一,由题设可知，2231,所2以，a2(舍去);(2).a1,即 22一 , aa 2 时，t 一 ,y2有最大值1一,由题思可得2后(正号舍去),(3).a ,当一1,即a 2时,t2.a=1,y有最大值一23一，1,所以,a =5.2综上可知，a 1J7或a = 5.解题的关键是对所转化的二点评:此题实际上就是在限定区间上求二次函数的最值问题次函数进行配方，找出函数的对称轴，根据三角函数的取值范围对对称轴中字母的讨论.讨论的依据就是看对称轴是否在 t的取值范围内，也即t是否可以等于对称轴.五、不等式中的最值问题不等式本身就是来解决最大彳1与最小值的一

12、种工具.而“两个正数的算术平均数不小于这两个数的算术平均数”这一结论为求最值提供了依据例7.求函数yx 4 x 9的最值.解析：(1).当x0时,36 y 13 x x13362 x 25x当且仅当x 36即xx6时取等号。所以当6时,ymin 25(2).当 x0时,0,3636x x12y 13(x)36一)x13 12 1当且仅当6时取等号，所以当x6 时，ymax 1312 1点评:本题主要应用均值不等式，不要忽略了应用均值不等式求最值时的条件:两个数都应大于零，否则可能导致错误.因为函数yx 4 x 9的定义域为，00,所以必须对x的正负加以分类讨论.六、与导数中有关的最值问题导数是

13、判断高次函数性质的重要方法 而得出函数的极值或最值.,它从函数的单调性入手分析函数的图像特征，从例8.已知函数 f (x) x2 ax, g(x)x3,方程f (x)0的一个根是6.(1)求函数f (x)和g(x)的图象在第一象限内的交点A的坐标;(2)若直线x t(0 t 2)与函数f (x)和g(x)的图象的交点分别是M N,试求当t取何值时线段MN的长度取得最大值;(3)已知函数f(x)图象在M点处的切线为L , g(x)的图象在N点处的切线为,若1i、l2与x轴的交点分别为P、Q试求P Q两点之间距离的取值范围解析:(1).方程 f (x)ax0 ,它有一个根6,所以得a 6 ,这样f

14、(x)x2 6x.由 y y2x3x6x得x3x2 6x ,解得X 0,2, 3 .当x 2时得所以函数f (x)和g(x)的图象在第一象限内的交点A的坐标是(2,8);(2). 依题得线段 MN的长度| MN | ( t26t) t3t3 t2 6t ,设h(t) t3t26t,则 h (t)_ 2-3t 2t6,令 h (t)0,得t1 -193由于0 t，所以取t119311931.193所以当t1193时函数h(t)取得最大值.即当119, 一、t 时，线段MN的长度取得最大值;3(3)由于 M(t, t2 6t)，f (x)所以函数f(x)图象在 M点处的切线1i的斜率为 2t 6

15、,l1的方程t26t)2t6)(x t),t2 6tXp t6 2tt22tN(t,t3)g (x)3x2所以l232y t 3t (xt)2t3|PQ| XqxP2t3t22t 6t212t6(t 3)(t6,因为0t 2,(t 3)含610 一(0,),故P、Q两点之间距离的取值E 10范围是(0,-).3点评:我们知道，在闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值值也有可能在区间端点处取 与区间端点的函数值进行对比.因此解决这一类问题的方法是.极值有时候就是最值，但最:先求出在对应区间上的极值，再.最大的为最大值，最小的为最小值.七、应用题中的最值问题应用题是考查综合知识的载体，它可以把各方

16、面的知识进行整合、联系，而求最值问题也是应用题中出现频率较高的问题.例9.(20XX年湖南高考题)对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为:1污物质量物体质量(含污物)为0.8，要求洗完后的清洁度是0.99.有两种方案可供选才I,方案甲：一次清洗；方案乙：两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为a(1 w aw 3).设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是土生 (x a 1),用y质量x 1的水第二次清洗后的清洁度是Lc,其中c(0.8 c 0.99)是该物体初次清洗后的清洁y a度.(I)分别求出方案甲以及 c 0.95时方案乙的用水量，并比较

17、哪一种方案用水量较少；(n)若采用方案乙，当a为某定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最少？并讨论a取不同数值时对最少总用水量多少的影响.解析：(I )设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z,由题设有 上室 =0.99,解得x=19.x 1由c 0.95得方案乙初次用水量为3,第二次用水量y满足方程：y 0.95ay a0.99,解得y=4a,故z=4a+3.即两种方案的用水量分别为19与 4a+3. 一， ，1当且仅当 100a(1 c)时等号成立.此时c5(1 c)(0.8,0.99),将 c1一一代入(*)10 5a得 x 2,5a 1a 1,y2V5a a.故 c1，1 时总用水重取少10.5a此时第一次与因为当1 a 3寸,x z 4(4 a) 0,即x z,故方案乙的用水量较少(II)设初次与第二次清洗的用水量分别为x与y,类似(I)得5c 4一一x 4 , y a(99 100c) (*)5(1 c)5c 41于是 x y + a(99 100c) 100a(1 c) a 15(1 c)5(1 c)当 a 为定值时，x y 211 100a(1 c) a 1 a 4痘 1, 5(1 c)，1一人人，八1 (不