全等三角形做辅助线-倍长中线、截长补短教案

1、全等二角形中常见的辅助线（）适用学科数学适用年级初中二年级适用区域人教版课时时长（分钟）60知识点倍长中线法；截长补短法教学目标.掌握倍长中线法的运用条件.掌握截长补短法的运用条件教学重点对倍长中线法、截长补短法能够灵活运用教学难点对倍长中线法、截长补短法能够灵活运用教学过程一、复习预习全等三角形的判定定理：1、SSS:三边对应相等的两个三角形全等2、SAS:两边以及它们的夹角对应相等的两个三角形全等AAS ：两角以及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等ASA ：两角以及它们的夹边对应相等的两个三角形全等HL ：在直角三角形中，直角边与斜边对应相等的两个三角形全等、知识讲解 考点1遇到三角形

2、的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等, 转”.考点2构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的 旋截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.E三、例题精析【例题11【题干】 已知：如图3所示，AD为4ABC的中线，求证：AB+AC2AD【答案】【答案】证明：延长AD至E,使DE=AD ,连接ECV AD是中线DC=DB. DE=AD, ZCDE=Z BDA , DC=DB.-.CDEABDACE=ABftAAEC 中 CE+ACAE ,

3、CE=ABAB+ACAEvDE=AD.AE=2AD, AB+ACAEAB+AC2AD【解析】分析：要证 AB+AC2AD ，由图形想到： AB+BDAD,AC+CDAD ，所以有： AB+AC+ BD+CD AD +AD=2AD但它的左边比要证结论多BD+CD,故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD,即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。2】【题干】 已知：如图1所示，AD为4ABC的中线，且/1 = /2,/3=/4。求证：BE+CFEF。【答案】【答案】证明：在DA上截取DN=DB ,连接NE, NF,贝U DN=DC在ADEB ffiADNE 中DN=DB Z 1 =

4、 Z2DE=DE .-.DEBADNE (SAS) .BE=NE 同理可得：CF=NF在AEFN 中，EN+FNEF aBE+CFEF【解析】分析：要证BE+CFEF ,可利用三角形三边关系定理证明，须把BE, CF, EF移到同一个三角形中，而由已知/1 = /2,/3=/4,可在角的两边截取相等的线段，利用全等三角形的对应边相等，把 EN, FN, EF移到同个三角形中。四、课堂运用【基础】【基础】1、ABC中，AB=5, AC=3,则中线AD的取值范围（A.1AD4B.3 AD 13C.5 AD 13D.9 AD 13【解析】解：延长AD至M使得DM=AD显然三角形ABD全等于三角形所以

5、AB=CMCDM又 CM-ACvAMvCM+AC所以 2V2*AD8所1 AD4【答案】2、已知在4ABC中，AB=AC , D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F,且DF=EF,求证：BD=CE过D作DF /AC交BC于F,. DF/AC （已知）,./DFC=/FCE, /DFB=/ACB （平行线的性质）,. AB=AC （已知）,./B=/ACB （等边对等角），./B=/DFB （等量代换）， .BD=DF （等角对等边），. BD=CE （已知）,.DF=CE （等量代换），ZDFC=ZFCE, /DGF=/CGE （已证），.-.DFGAECG （AAS）,.DG=GE

6、（对应边相等）【解析】 过D作DF / AC交BC于F ,利用等腰三角形的性质和平行线的性质，求证GDFA CEG即可.【巩固】【巩固】1、 已知在 ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC,延长BE交AC于F,求证：AF=EFA【答案】【答案】解：延长AD至G,使得AD=DG ,连接BG,GC.ABC中,AD是BC边上的中线BD=DC.AD=DG一四边形ABGC为平行四边形.AC=BG,AC/BG.AFEsGBE.AF/FE=GB/BE. AC=BE,AC=BGBE=BG.AF=FE【解析】延长 AD 至 G , 使得 AD=DG , 连接 BG,GC , 根据全等证明

7、AF=EF2、如图， ABC中，BD=DC=AC , E是DC的中点，求证：AD平分/ BAE.【答案】【答案】延长AE至U M ,使EM=AE ,连结DM易证DEM ACEAZC=ZMDE, DM=AC又 BD=DC=ACDM=BD, Z ADC= Z CADXZADB= ZC+ZCAD , ZADM= ZMDE+ Z ADC./ADM= ZADB.ADM AADBZ BAD= Z MAD即AD平分Z BAE【解析】因为 BD=DC=AC ,所以 AC=1/2BC因为E是DC中点，所以EC=1/2DC=1/2ACZ ACE= Z BCA ,所以BCAs/XACE所以 / ABO / CAE因

8、为 DC=AC ,所以 ZADC= Z DACZADC=Z ABC+ZBAD所以 Z ABC+ Z BAD= Z DAE+ Z CAE所以 / BAD= Z DAE即AD平分Z BAE【拔高】【拔高】1、0如图，已知在4ABC内， BAC 60 ,C 40O, P, Q分别在BC, CA上，并且AP, BQ分别是 BAC , ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BPC【答案】【答案】证明：做PM| BQ与QC相交与M oZ APB=180 Z BAPZ ABP=180 30-80 =70HZAPM=180 ZAPBZMPC=180 70 Z QBC=180Z APB=ZAPM又;AP是B

9、AC的角平分线，./BAP=/MAPAP是公共边.ABPWzXAMP（角边角）.AB=AM , BP=MP在AMPC 中，ZMCP=ZMPC=40 .MP=MCa AB+BP=AM+MP=AM+MC=AC在QBC中70 -40 =70. / QBC=QCB=40 BQ二QCBQ+AQ=AQ+QC=ACBQ+AQ=AB+BP做辅助线PMII BQ与QC相交与Mo首先算清各角的度数，然后证明全等，即可证明结论2、如图，AC/BD, EA,EB 分别平分/CAB,/DBA , CD 过点 E,求证;AB=AC+BD【答案】【答案】在AB上取点N，使得AN=ACZ CAE= Z EAN ,AE=AE,

10、.CAEAEANZANE=ZACE又 AC / BDZ ACE+ZBDE=180WZANE+ ZENB=180Z ENB=ZBDE, ZNBE=Z EBNBE=BE.EBNAEBDBD=BN.AB=AN+BN=AC+BD根据翟的方法以及角形全等即可得到 结论课程小结遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的 “旋转”截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目 5)武威第三中学集体备课教学设计首页

11、编写时间：年 月 日学期总第 课时 授课者课题三角形全等的判定（一）授课班级授课时间主备人集体备课教师教 学 目 标知识 技能1、掌握“边边边”条件的内容；2、能初步应用“边边边”条件判定两个三角形全等。过程 方法经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、？归纳获得数学结论的过程.情感 态度 价值观通过探究三角形全等的条件的活动，培养学生合作交流的意识和大胆猜想、 乐于探究的良好品质以及发现问题的能力。教学 重点掌握“边边边”条件教学 难点探究三角形全等的条件课型主要教学方法教学 模式教学手段与教 具板 书 设 计三角形全等的判定（一）一、三角形全等的条件三边对应相等的两二角形全等（SSS二

12、、例1、例2三、课堂练习四、小结作业设计习题11.2 复习巩固1、2.教学 反思1没有注意对时间的把握；2讲课过程中什-些口误，语言不够准确；3板书中对于定义的描述不妥当；4课堂开始阶段的引入没有什么意思，并且对于部分知识的回顾有些多余；5 0”没有突出表示。武威第三中学集体备课教学设计续页武威第三中学集体备课教学设计续页补充修改教学过程（教师活动、学生活动）一、创设情境，引入新课1、之前我们已经学习了全等三角形的定义，以及对应边、对应角、对应顶点的概念。那么，如果 ABC和4DEF满足三条边对应相等，三个角 对应相等，（学生回答，老师板书）即AB=DE,AC=DF,BC=EF/A=/D, /

13、B=/ E, / C=Z F。2、思考：满足这六个条件的两个三角形就是全等的么？请同学们思考 一下：两个三角形全等是不是必须满足六个条件呢？如果满足这六个条件 中的一部分能不能保证两个三角形是全等的呢？二、自我探究探究一：只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等），？画出的两个三角形一定全等吗？探究二：给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按下列条件做一做.三角形一内角为 30, 一条边为3cm.三角形两内角分别为 30和50.三角形两条边分别为 4cm、6cm.学生分组讨论、探索、归纳，最后以组为单位出示结果作补充交流.结果展示：2.给出的两个条

14、件可能是：一边一内角、两内角、两边.教学过程（教师活动、学生活动）补充修改可以发现按这些条件画出的三角形都不能保证一定全等.探究三：给出三个条件画三角形，你能说出有几种可能的情况吗?归纳：有四种可能.即：三内角、三条边、两边一内角、两内有一边.在刚才的探索过程中， 我们已经发现三内角不能保证三角形全等.我们就来逐一探索其余的三种情况.已知一个三角形的三条边长分别为6cm、8cm、10cm.你能画出这个三它们全等吗?角形吗？把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较,（学生作图并展示结果）归纳：三边对应相等的两个三角形全等，简写为边边边”或SSS：d、用数学语言表述:在 ABC和 ABC中,AB ABAC温馨提示：证明的书写步骤:BC准备条件：证全.ABAA B C (等时需要用的间接用上面的规律可以判断两个三角形“SS6是证明三角形全条件要先证好;等的一个依据.三角形全等书写三步骤:A、写出在哪两个三支架.角形中,求证： ABg ACD).B、摆出三个条件用大括号括起来,C、写出全等结论。三、例题解析 例1、如图， ABC是一个钢架，AB=AC, AD是连结点 A与BC中点 教学