浙教版八年级下册5.3正方形(1)同步训练(解析版)

1、2）,求证：四边形 ABCD是正方形.2）,求证：四边形 ABCD是正方形.初中数学浙教版八年级下册5.3正方形（1）同步训练一、基础夯实.下列命题中，错误的是（）A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B.矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形C.菱形的一条对角线平分一组对角D.对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形.要使菱形ABCD成为正方形，需要添加的条件是（）A. AB=CDB. AD=BCC. AB=BCD. AC=BD.已知四边形 ABCD是平行四边形，再从 AB=BC ,/ ABC=90 ,AC=BD ,ACBD四个条件中,选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是

2、正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（）A.选B.选C.选D.选4.在四边形中，O是对角线XC3Q的交点，能判定这个四边形为正方形的是（ADlfBC, B= 5AC = BD, A=CD, .AD=BCoa = OC, OB=ODOA=OB=OC = OD ACBD.如图，菱形ABCD中，对角线AC, BD相交于点O,不添加任何辅助线，请添加一个条件 ,使四边形ABCD是正方形（填一个即可）.在平行四边形 ABCD中，对角线AC, DB相交于点O.要使四边形 ABCD是正方形，还需添加一组条件.下面给出了四组条件： AB XAD ,且AB = AD ;AB = BD ,且AB，BD ;OB

3、= OC,且OB，OC ;AB =AD ,且AC = BD.其中正确的是 .（填序号）.如图在 4ABC中，ZACB=90 , BC的垂直平分线 EF交BC于点D,交AB于点E,且BE=BF,请你添力口 一个条件 ,使四边形BECF是正方形.如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD的顶点坐标分别是 A （-2,0）、B（0, -2）、C （2,0）、D （0,Z)(0t2)4(-2. Oj次 Q.T).如图，点E,F, G,H分别是CD,BC,AB,DA 的中点.（1）求证：四边形EFGH是平行四边形（2）若连接AC,BD,则当AC,BD满足什么关系时，四边形 EFGH是正方形？青说明理由、

4、提高特训.矩形各内角的平分线能围成一个（）A.矩形B.菱形C.等腰梯形D.正方形.如图，JC, aD是四边形.伸8的对角线，点E, H分别是8匚的中点，点Af, a分别是AC, 5D的中点，连接EM, MF,斤八，NE,要使四边形EAfFN为正方形,则需添加的条件是（）工 CDB二S,回目CC二8,D信二 CD, ADUBC12.如图，在矩形ABCD 中，AD = 2AB，点E,F分别是 AD , BC的中点，连接 AF与BE , CE与DF分两点，则四边形 EMFN是（别交于点M, NA.正方形B.菱形C.矩形D.无法确定13.如图，在矩形 ABCD中，M, N分别是边 AD , BC的中点

5、，E, F分别是线段 BM , CM的中点，当四边形ABCD是正方形，故 C不符合题意；NfAB:AD= 时，四边形 MENF是正方形.14/ABC中，点。是AC上一动点，过点O作直线 MN / BC ,若MN交/ BCA的平分线于点 巳交/ DCA的平分线于点F,连接AE、AF.(1)说明：OE= OF(2)当点O运动到AC中点处时，求证：四边形 AECF是矩形;(3)在(2)的条件下，当4ABC满足什么条件时，四边形 AECF为正方形，并加以证明答案解析部分、基础夯实A解：A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，符合题意；B.矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，根据矩形

6、性质得出，不符合题意；C.菱形的一条对角线平分一组对角；根据菱形性质得出，不符合题意；D.对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，根据正方形判定得出，不符合题意；故答案为：A .【分析】根据平行四边形的判定，矩形的性质，菱形的性质以及正方形的判定逐项分析即可D解：如图，四边形ABCD是菱形，要使菱形 ABCD成为一个正方形，需要添加一个条件，这个条件可以是：/ ABC=90或AC=BD .故答案为：D .【分析】根据一组邻边相等的矩形是正方形和有一个角是直角的菱形是正方形即可得出答案B解：A 四边形ABCD是平行四边形，AB=BC ,四边形ABCD是菱形，/ ABC=90四边形ABCD是正方

7、形，故 A不符合题意；故B符合题意；B V四边形ABCD是平行四边形，/ ABC=90 （或AC=BD ）,四边形ABCD是矩形，故B符合题意；C、四边形ABCD是平行四边形，AB=BC ,四边形ABCD是菱形， AC=BDD、四边形ABCD是平行四边形，/ ABC=90 ,四边形ABCD是矩形， ACXBD四边形ABCD是正方形，故 D不符合题意； TOC o 1-5 h z 故答案为：B【分析】根据正方形的判定定理：有一个角是直角的菱形是正方形；有一组邻边相等的矩形是正方形，再对各选项逐一判断即可。D解： 因为对角线相等，且互相垂直平分的四边形是正方形，故答案为：D【分析】根据正方形的判定

8、方法逐一判断即可./ BAD=90 （答案不唯一）解：当/BAD=90,.菱形ABCD四边形ABCD是正方形；当 BD=AC,.菱形ABCD四边形ABCD是正方形；故答案为：/ BAD=90 （答案不唯一）【分析】利用有一个角是直角的菱形是正方形，可添加四边形ABCD 的一个内角是90，或添加对角线相等。解：ABLAD说明有一个角是直角，AB=AD说明有一组邻边相等，有一个角是直角，有一组邻边相等的平行四边形是正方形，所以正确；AB=BD说明一条边与对角线相等，AB XBD说明一条边与对角线垂直，没有这样的判定条件可以判定 平行四边形是正方形，所以错误；OB=OC说明对角线相等，OBLOC说明

9、对角线互相垂直，对角线相等且垂直的平行四边形是正方形，所以正确； AB=AD 说明有一组邻边相等，AC=BD 说明对角线相等，有一组邻边相等，对角线相等的平行四边形是正方形，所以正确。故答案为：四边形ABCD为矩形,四边形ABCD为矩形,【分析】中有一个角是直角，一组邻边相等的平行四边形叫做正方形，这是正方形的定义，所以能判定平行四边形ABCD是正方形；中对角线相等说明这个平行四边形是矩形，且对角线互相垂直说明这个平行四边形是菱形，所以这个平行四边形是正方形；中一组邻边相等说明这个平行四边形是菱形，对角 线相等说明这个平行四边形是矩形，所以这个平行四边形是正方形，唯独中的条件不能判定这个平行四

10、 边形是正方形。AC=BC解：.EF垂直平分BC ,.BE=EC , BF=CF , BF=BE ,.BE=EC=CF=BF ,四边形BECF是菱形；当AC=BC时，ACB=90 ,则/A=45时，菱形 BECF是正方形.【分析】由条件可知四边形 BECF是菱形，要想成为正方形需保证/ ACB=90,即/ ABC=45,也就是4ABC 是等腰直角三角形。8.证明：由四边形 ABCD的顶点坐标分别是 A(-2.0)、B(0, -2)、C(2, 0)、D(0 , 2), 可知 OA=OB=OC=OD=2 ,四边形ABCD为矩形.*，四边形ABCD是正方形解：由点A、B、C、D的坐标可得 OA=OB

11、=OC=OD=2 ,根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形，由 图知，ACXBC,根据对角线互相垂直的矩形是正方形可求证。9. (1)证明：如图，连接 BD, E、F分别是CD和CB的中点,EFABCD的中位线，1 EF II BD , EF=2 BD ,1同理 HG / BD , HG=?BD, EF II HG , EF=HG ,四边形EFGH是平行四边形.(2)解：如图，连接 AC、BD,当AC,BD相等且互相垂直时，四边形 EFGH是正方形，理由如下: 111由上题知 EF=HG= B BD , EH=FG= 2 AC , AC=BD ,EF=FG=HG=EH , EH / AC ,

12、HG / BD ,./ EHF= / CMB=90 ,四边形EFGH是正方形.解：(1)连接BD, E、F分别是CD和CB的中点，由三角形的中位线定理可知EF平行等于BD的一半，同理得出HG平行等于BD的一半，则EF和HG平行且相等，可证四边形 EFGH是平行四边形.(2)当AC=BD时，由中位线定理可得四边形 EFGH的各边相等，因为四边形的邻边和 AC和BD分别平 行，可知它们的夹角相等，故 AC和BD垂直时，四边形 EFGH的各内角也等于90,故四边形EFGH是 正方形.、提高特训D解：如图,/ DAC=90 , / ABC=90 ,AE 平分/ DAC , BE 平分/ ABC ,贝U

13、 / BAE+ / ABE=45 +45 =90 ,/ AEB=90 ,同理得/ EFG=/FGH=/GHE=90 ,四边形EFGH为矩形，/ BAF= / HCB=45 ,. BHC为等腰直角三角形，BH=HC ,/ AEB= / DGC, / EAB= / GDC=45 , AB=DC , ABEA DGC (AAS),BE=GC ,. BH-BE=HC-GC ,即 HE=HG ,四边形EFGH为正方形；故答案为：D.【分析】由四边形 ABCD为矩形，得/ DAC和/ABC都是直角，AE平分/ DAC , BE平分/ ABC , 求得/ BAE和/ ABE之和为90 ,则/ AEB为直角，

14、同理求得/ EFG、/ FGH和/ GHE都是直角， 则四边形EFGH为矩形；因为/ BAF= / HCB=45 ,等角对等边得 BH=HC ,然后再根据角角边定理证得 ABEADGC ,由全等三角形对应边相等，得 BE=GC,于是根据等式的性质得 HE=HG ,则邻边相等的 矩形是正方形。A解：丁点E, F分别是 皿 8C的中点，点 U, N分别是JC,aD的中点， JEN、NF、EM. .ME分别是 1180、38、工工8的中位线，二四边形EAfFN为平行四边形,当e二CD 时，EN=FM = ME=NF ,二平行四边形il3CD是菱形；当 ABLCD时,ENME,即乙WEN = 90-

15、二菱形WAfFJV是正方形； 故答案为：【分析】根据三角形中位线定理得出 乐A1EMCDUNF, =5 = AE= 3CD = NF,进而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EAFFM为平行四边形，当时，在时=FAF=&fE=NF,根据四边相等的四边形是菱形得出：平行四边形菱形，当.1S_LS时，ENME,即,根据有一个角的直角的菱形是正方形得出结论. 12.A 解：二.四边形ABCD为矩形， . AD / BC, AD=BC , 又E, F分别为AD , BC中点， . AE / BF,AE=BF,ED / CF, DE=CF ,四边形ABFE为平行四边形，四边形 BFDE为

16、平行四边形， BE / FD,即 ME / FN ,同理可证EN / MF ,四边形EMFN为平行四边形，四边形ABFE为平行四边形，/ ABC为直角，. ABFE为矩形，AF, BE互相平分于M点， ME=MF ,，四边形EMFN为菱形。.AD = 2AB,点E是AD的中点， AE=DE=AB=CD , 而/ ABC= / ADC=9。./ AEB= / DEC=45,/ men= 180145n - 4S = 90,四边形EMFN是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）。故答案为：A.【分析】由矩形的性质可得 AD / BC, AD=BC ,再根据三角形的中位线定理可得AE / BF,AE

17、=BF,ED / CF ,DE=CF,由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ABFE为平行四边形，四边形BFDE为平行四边形，由平行四边形的性质可得BE / FD,即ME / FN,同理可证EN / MF ,根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形EMFN为平行四边形，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得ME=MF ,再根据 AD = 2AB和已知条件可得ABFE为矩形，所以由矩形的对角线相等且互相平分可得AB=AE=DE ,由等腰直角三角形的性质可得/AEB= / DEC=45,则/ MEN= 1 SO-45-453 = 96 ,根据有一个角是直角的菱形是正方形可得

18、四边形EMFN是正方形。13.1:2解：当 AB : AD = 1: 2 时，四边形 MENF 是正方形，理由是：: AB : AD = 1 : 2, AM = DM , AB = CD , .AB = AM = DM = DC,/ A = Z D=90,/ ABM = / AMB = / DMC = / DCM = 45,./ BMC = 90,四边形ABCD是矩形，/ ABC = / DCB = 90,./ MBC =/ MCB =45,BM = CM ,N、E、F分别是 BC、BM、CM的中点，BE=CF, ME = MF, NF / BM , NE / CM ,四边形MENF是平行四边

19、形， ME = MF, / BMC =90,四边形MENF是正方形，即当AB : AD = 1: 2时，四边形 MENF是正方形，故答案为：1:2.【分析】当AB= 21时，四边形MENF为正方形，因为此时，AB=AM=BN，并且4ABM、 MDC、 BEN , NCF都是等腰直角三角形，并且点 E、F分别是BM和CM的中点，所以四边形 MENF是正方形.(1)证明：. MN / BC,/ OFC= / FCD,又 CF平分/ ACD ,/ OCF= / FCD, ./ OFC=/OCF,.OF=OC,同理：OE=OC,OE=OF.(2)证明：当点 O运动到AC中点处时，OA=OC,由第(1)知，OE=OF,四边形AECF是平行四边形.CF、CE分别是/ ACD和/ ACB的角平分线，1/ AC