最小多项式在状态反馈极点配置多维输入算法中的应用

1、最小多项式在状态反馈极点配置多维输入算法中的应用钱晓东 控制科学与控制工程学院 检测技术与自动化装置 2009010192摘要：本文简单描述了矩阵论中最小多项式在线性系统理论的有关运用。文章首先介绍线性系统的研究方法，以及在现实中用的较多的系统综合问题。然后结合最小多项式的定义、性质及求法，从而很容易的判断一个矩阵是否为循环矩阵，循环矩阵对状态反馈极点配置问题多维输入的情况影响重大，所以解决有关极点配置问题多维输入的算法，首要前提就是搞明白最小多项式的求法。在现代控制理论中，把对一个线性系统的研究分为两部分系统分析和系统综合。系统分析可以归结为对给定系统方程和已知外部输入，确定系统的运动行为和

2、结构特性，运动行为如状态运动规律、运动稳定性等，结构特性如特征结构、能控性、能观性等。而系统综合则与之相反，可以归结为对给定系统方程和制定期望运动行为，确定系统的外部输入即控制作用。系统综合由三部分组成，受控系统、性能指标、控制输入。受控系统是对象，例如： 其中x为n维状态，u为p维输入，y为q维输出，系数矩阵A，B和C为给定的相应维数常阵。性能指标是综合问题的目标，也是系统综合问题的重点，它包括四个方面：1，以渐近稳定作为性能指标2，以一组期望闭环系统特征值作为性能指标3，以使“一个m输入m输出系统”化为“m个单输入单输出系统”4，以使系统输出y（t）在存在外部扰动环境下无静差地跟踪参考信号

3、。控制输入是实现综合问题目标的手段，通常取为反馈控制形式。如下图所示：引入反馈矩阵K后，原受控对象就变为如下形式：在系统综合中，不同的期望性能指标就归结为综合不同的反馈矩阵K。下文是通过状态反馈极点配置的手段来实现使一组期望闭环系统特征值作为性能指标。状态反馈极点配置就是以一组期望极点即特征值为性能指标，对线性时不变受控系统综合一个状态反馈型的控制，使综合导出的控制系统特征值配置到复平面上期望位置。例如，由线性时不变系统运动分析可知，表征系统运动行为的一些典型指标，时间域指标如单位阶跃响应的上升时间、超调量、过渡过程时间等，频率域指标如幅频特性的频带宽度、剪切频率、峰值等，主要由系统特征值的位

4、置决定。因此，把特征值配置到复平面期望位置上，就可以实现控制系统动态性能的时域和频域指标。所以，从工程的角度来看，要想实现一个系统所需要的各种性能指标，如超调量、过渡时间等等，就必须找到一组期望值使其配置到我们所需要的位置上。那么怎么把我们所需要的期望值配置到指定位置呢，即怎样找到我们所需要的反馈矩阵K呢，下面我们就这个问题分两种情况展开讨论。（一）单输入连续时间线性时不变受控系统给定能控矩阵对和一组期望的闭环特征值，要确定的反馈增益矩阵K，使下式成立。第一步：的特征多项式，即第二步：计算由所决定的多项式，即第三步：计算第四步：计算变换阵第五步：求第六步：所求增益阵（二）多输入n维连续时间线性

5、时不变系统给定能控矩阵对和一组所期望的闭环特征值，要确定的反馈增益矩阵K，使下式成立 第一步：判断A是否为循环矩阵。若否，选取一个常阵，使 为循环，并表示为；若是，则。 第二步：对循环阵，通过适当选取一个实常向量，表示为, 且为能控。 第三步：对于等价单输入问题，利用单输入极点配置问题的算法，求出增益向量k。 第四步：当A为循环时，所求的增益矩阵；当A为非循环时，所求的增益矩阵为。 在多输入情况下判断系统矩阵A（方阵）是否为循环矩阵，要用到矩阵论中最小多项式的有关知识。循环矩阵的定义即当且仅当其特征多项式等同于其最小多项式时，称方阵A为循环矩阵。所以在判断一个矩阵是不是循环矩阵时，就要求其最小

6、多项式和特征多项式，而求最小多项式往往不那么容易，下面从它的定义及性质入手，讨论最小多项式的常用方法。 （一）方阵的零化多项式 定义：对于给定的矩阵A，凡是满足f（A）=0的多项式f（）称为A的零化多项式,也称f（）使A零化。 （二）最小多项式及其性质 定义：在A的零化多项式中，次数最低且首项系数为1的多项式称为A的最小多项式，记作。 性质：设A，则，A的任一零化多项式都能被整除；A的最小多项式是唯一的；相似矩阵的最小多项式相同。（三）最小多项式的求法1.由特征多项式求最小多项式步骤：（1）先将A的特征多项式在中作标准分解，找到中A的全部特征值；（2）对的标准分解式中含有的因式按次数从低到高的顺序进行检测，第一个能零化A的多项式就是最小多项式。2.由最小多项式的整除性质求最小多项式 设A，则A的最小多项式是A的最后一个不变因子.也可表示为= ，其中=det（I-A），是I-A的n-1阶行列式因子。 3.利用Jordon标准型求最小多项式 设A，则A的最小多项式可以由给出，其中是A的相异的特征