考点12 空间几何体的结构及其表面积与体积-2022年高考数学（理）一轮复习考点解读（解析版）

1、考点12空间几何体的结构及其表面积与体积考纲呈现i.空间几何体（1）认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.（2）能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图.（3）会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.（4）会画某些建筑物的视图与宜观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）.2.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.考点解读空间几何体的体积是每年高考的热点之一，主要涉及空间几

2、何体的表面积与体积的计算.命题形式以选择题或填空题为主，考查空间几何体的表面积与体积的计算，涉及空间几何体的结构特征、三视图等内容，要求考生要有较强的空间想象能力和计算能力，广泛应用-转化与化归思想.,考向分析.三视图问题的常见类型及解题策略：（1）由几何体的三视图还原几何体的形状.要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图.（2）由几何体的直观图求三视图.注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线，不能看到的部分用虚线表示.（3）由几何体的部分视图画出剩余的部分视图.先根据已知的一部分三视图，还原、推测宜观图的可能形式，然后再找其剩下

3、部分三视图的可能形式.当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合.柱体、锥体、台体的表面积：已知几何体的三视图求其表面积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表面积公式，求其表面积.多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理，以确保不重复、不遗漏.求多面体的侧面积时，应对每一个侧面分别求解后再相加；求旋转体的侧面积时，一般要将旋转体展开为平面图形后再求面积.空间几何体的体积是每年高考的热点之一，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度较小，属容易题.求柱体、锥体、台体体积的一般方法有：（1）若所给定的几何体是可直

4、接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解.（2）若所给定的几何体的体积不能宜接利用公式得出，则常用等体积法、割补法等方法进行求解.等体积法：一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的.如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解.等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积.割补法：运用割补法处理不规则的空间几何体或不易求解的空间几何体的体积计算问题，关键是能根据几何体中的线面关系合理选择截面进行切割或者补成规则的几何体.要弄清切割后或补形后的几何体的体积是否与原几何体的体积之

5、间有明显的确定关系，如果是由几个规则的几何体堆积而成的，其体积就等于这几个规则的几何体的体积之和;如果是由一个规则的几何体挖去几个规则的几何体而形成的，其体积就等于这个规则的几何体的体积减去被挖去的几个几何体的体积.因此，从一定意义上说，用割补法求几何体的体积，就是求体积的“加、减”法.（3）若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.球与几种特殊几何体的关系：（1）长方体内接于球，则球的直径是长方体的体对角线长；（2）正四面体的外接球与内切球的球心重合，且半径之比为3：1；（3）直棱柱的外接球：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球.特

6、别地，直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；（4）球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径；（5）球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高.求解空间几何体表面积和体积的最值问题有两个思路：一是根据几何体的结构特征和体积、表面积的计算公式，将体积或表面积的最值转化为平面图形中的有关最值，根据平面图形的有关结论直接进行判断；二是利用基本不等式或是建立关于表面积和体积的函数关系式，然后利用函数的方法或者利用导数方法解决.Y真题回眸（2021全国高考真题（文）在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥A-EF

7、G后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）【答案】D【分析】根据题意及题目所给的正视图还原出几何体的直观图，结合直观图进行判断.【详解】由题意及正视图可得几何体的直观图，如图所示，所以其侧视图为,故选D.（2021浙江高考真题）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）俯视图m1,1,1-H侧视图3Q/?A.-B.3C.D.372【答案】A【分析】根据三视图可得如图所示的几何体，根据棱柱的体枳公式可求其体积.【解析】几何体为如图所示的四核柱ABC。44GA，其高为1,底面为等腰梯形A5CO,该等腰梯形的上底为正，卜底为2夜，腰长为1，故梯形的高为/=当，故Kibcd

8、-aBiGD,=/x（夜+25/2jxx1=耳，故选：A.由（2021北京高考真题）某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（C. 3 +百D. 2【答案】A【分析】根据三视图可得如图所示的几何体（三棱锥），根据三视图中的数据可计算该几何体的表面积.【解析】根据三视图可得如图所小的几何体-正三棱锥O-ABC，其侧面为等腰直角三角形，底面等边三角形，由三视图可得该正三棱锥的侧棱长为1,故其表面积为3xxlxl+走x（夜 TOC o 1-5 h z 242故选：A.4.（2021全国高考真题（理）已如4从。是半径为1的球0的球面上的三个点,且4。，8。,4。=8。=1,则三棱锥OA3C的体积为

9、（）AV2R5/3rV2n/3121244【答案】A【分析】由题可得aABC为等腰内用三角形，得出aABC夕卜接网的半桂，则可求得0到平面ABC的距离，进而求得体积.【解析】AC_L8C,AC=BC=1,.ABC为等腰直角三角形，=则aABC外接圆的半径为近，又球的半径为1.2设。到平面ABC的距离为d,所以VnARr=S.Br-d=xxlxlx.-ABC3JBC32212故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到截面距离的勾股关系求解.（2021全国高考真题）已知圆锥的底面半径为遮，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（C. 4A

10、.2【答案】B【分析】设圆锥的母线长为/，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得/的值，即为所求.【解析】设圆锥的母线长为/,由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则M=2乃x夜.解得/=2公故选：B.（2021北京高考真题）定义：24小时内降水在平地上积水厚度（mm）来判断降雨程度.其中小雨（10mm）,中雨（10mm-25mm）,大雨（25mm-50mm）,暴雨（5（）mm-l（X）mm）,小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（）A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨【答案】B【分析】计算出圆锥体积，除以圆面的面枳即可得降雨量，即可得解.【解析】由题意，一个半径为

11、竽=100（mm）的圆面内的降雨充满一个底面半径为蜉x燃=50（mm）,高为150（mm）的圆锥,所以积水厚度.-x5O2x15O3%xlOO?= 12.5（mm）属于中麻故选：B.【2020年高考全国I卷】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为a/51R/51-5/5+1n5/5+1A.l5.Cl)4242【答案】C【解析】如图，设CD=a,PE=b,则po=PE?-OE=,一,，由题意得二”人，即从一日=2_。力，化简得4（32一2a一1=0,24

12、2aa解得2=112（负值舍去）.a4故选C.【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题.【2020年高考全国n卷理数】如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N,则该端点在侧视图中对应的点为A. ED. H【答案】A【解析】根据三视图，画出多面体立体图形,DR上的点在正视图中都对应点M直线上的点在俯视图中对应的点为N,.在正视图中时应M,在俯视图中对应N的点是线段上的所有点在侧试图中都对应E，点。4在侧视图中对应的点为E.故选A.【点睛】本题主要考查了根据三视图判断点的位置，解题关键是掌握三视图

13、的基础知识和根据三视图能还原立体图形的方法，考查了分析能力和空间想象，属于基础题.【2020年高考全国H卷理数】已知aASC是面积为唯的等边三角形，且其顶点都在球。的球面上.若球4。的表面积为16兀，则O到平面ABC的距离为A.JjB,-C.1D.也22【答案】C【解析】设球。的半径为R，则4兀改=16兀，解得：R=2.设ABC外接圆半径为广，边长为。，.ABC是面积为也的等边三角形，4球心0到平面ABC的距离d = lR2-r2 = J口 = 1 - 故选：C.【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用;明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于

14、三角形所在平面.10.【2020年高考全国IH卷理数】如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是解题关键是B. 4+4近A.6+40C. 6+2GD.4+26【答案】C【解析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形叮浮S-S皿气侬=白2/3.故选：D.【点睛】（1）以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系.（2）多面体表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理.（3）圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面

15、积之和.【2020年高考浙江】某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：cn?）是C. 3【答案】14 B. 3D. 6止视图俯视图侧视图【解析】于底面,由三视图可知，该几何体是上半部分是三棱锥，下半部分是三棱柱，且三棱锥的一个侧面垂宜且棱锥的高为1,棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2,所以儿何体的体积为：x（；x2xl卜l+（；x2xlx2=；+2=.故选：A【点睛】本小题主要考查根据二视图计算几何体的体积，属于基础题.（2019年高考浙江卷）祖咂是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“惠势既同，则积不容异”称为祖晒原理，利用该原理可以得到柱体的体枳公式丫柱体=5

16、，其中S是柱体的底面积，/?是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示（单位：cm）,则该柱体的体积（单位：cn?）是俯视图A.158B.162C.182D.324【答案】B【解析】由三视图得该棱柱的高为6,底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4,卜底为6,高为3,另一个的上底为2,卜底为6,高为3,则该棱柱的体积为(昔x3+g9x3)x6=162.故选B.【名师点睛】本题首先根据三视图，还原得到几何体棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积，常规题目.难度不大，注市J基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考杳.易错点有：，一是不能正确还原几何体：二是计算体积有误.为避免出错，应

17、注重多观察、细心算.(2019年高考全国I卷理科)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球。的球面上，PA=PB=PC,ZkABC是边长为2的正三角形，E,尸分别是以，AB的中点，NCEF=90。,则球。的体积为A.85/6kB.4卡兀C.2瓜nD.瓜n【答案】D【解析】解法一：.PA=P8=PC,ZA8C为边长为2的等边三角形，.PA8C为正三棱锥，：.PBLAC乂E，尸分别为24，AB的中点，五PB,.EF1AC,又EFA.CE,CECAC=C,.EJL平面尸AC,平面PAC,r.NAPS=90,.PA=尸8=PC=0,.PABC为正方体的一部分，2R=。2+2+2=，即R=,:.V=-=-nx

18、-=y6K/2,设内切圆半径为人则：SLC=$4AOB+Swoc+=XX+耳XBCXT+X/4CxT=x（3+3+2）xr=2/2,解得：=显,其体积：丫=3兀/=也兀233故答案为：也兀.3【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径：球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.【2020年高考浙江】已知圆锥的侧面积（单位：cm?）为2兀，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm

19、）是.【答案】1【解析】设圆锥底面半价为，母线长为/,则兀xrxl=27,c1,解得r=l,/=2.2x;rxr=x2x;rx/I2故答案为：1【点睛】本小题主要考查圆锥侧面展开图有关计算，属于基础题.【2020年高考江苏】如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为2cm,高为2cm,内孔半轻为0.5cm,则此六角螺帽丰坏的体积是cm.（第9题）【答案】12x/3-2【解析】正六棱柱体积为6xx22x2=126,4圆柱体积为力（；）2-2=,所求几何体体积为12G-生.2故答案为：12-2【点睛】本题考查正六棱柱体积、圆柱体积，考查基本分析求解能力，属

20、基础题.（2019年高考全国HI卷理科）学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体-挖去四棱锥OEFG4后所得的几何体，其中。为长方体的中心，E,F,G,H分别为所在楼的中点，A8=BC=6cm,A4,=4cm,3D打印所用原料密度为0.9g/cm不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为g.DiC,【答案】118.8【解析】由题意得，SmEFGH=4x6-4xlx2x3=12cm2,JR:四棱锥的高为3cm,.二%ffch=-xl2x3=12cm3.一4旦。的体枳为120,所以A6-8CCC1=120,因为上为。的中点，所以CE=gcC1,山长方体的性质知CC,JL底

21、面ABCD,所以CE是三棱锥EBCD的底面BCD上的高，所以三棱锥E-BCO的体积V=-x,A8BC.CE=x，A8.8C,CG=xl20=10.3232212【名师点睛】本题蕴含“整体和局部的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理清整体和局部的关系，灵活利用割与补的方法解题.由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积.（2021全国高考真题（文）如图，四棱锥P-ABC）的底面是矩形，PJ_底面ABC。，M为的中点，且P3_LAM.（1）证明：平面PAM_L平面P8D；（2）若PD=DC=T,求四棱锥PABC。的体积.【答案】（1）证明见解析：（2）立3【分

22、析】（1）由9_|_底面ABCQuj得又尸B_LAM，由线面垂直的判定定理可得A_L平IfilPBD,再根据血血垂直的判定定理即可证出平面PAM平面PBD：（2）由（I）可知，AM_LB），由平面知识可知，DABABM,由相似比可求出AO，再根据四棱锥P-ABCD的体积公式即可求出.【详解】（1）因为PDJJ氏面ABC。，AMu平面ABC。，所以P）_LAA/，又PBCPD=P,所以AM_L平面P8），而AMu平面B4M，所以平面PAM_L平面PBD.（2）由（1）可知，AA7_L平面PBD,所以AA/_LBZ）,从而aDABaABM，设BM=x，AD=2x,则=,即2x?=1,解得x=,所以

23、A0=.ABAD2因为PD_L底面A6CO,故四棱锥尸一ABC的体积为丫=gx（lxJ5）xl=苧.【点睛】本题第一同解题关犍是找到平面A4M或平面的垂线，结合题目条件PBLAM，所以垂线可以从P5,AM中产生，稍加分析即可判断出40，中间P8。，从而证出；第:问关键是底面矩形面积的计算,利用第一问的结论结合平面几何知识可得出从而求出矩形的另个边长，从而求得该四棱锥的体积.（2021全国高考真题（文）已知直三棱柱A8C-A内G中，侧面A4因8为正方形，AB=BC=2,E,尸分别为AC和CG的中点，BF4D_Rc（1）求三棱锥PEBC的体积；（2）已知。为棱44上的点，证明：BFLDE.【答案】

24、（l）g；（2）证明见解析.【分析】（1）首先求得AC的长度，然后利用体积公式可得三棱锥的体积：（2）将所给的几何体进行补形，从而把线线垂直的问题转化为证明线面垂直,结论.【详解】（1）如图所示，连结4户，出DBiIc】/Fc由题意可得：BF=IbC2+CF2=V4+i=石-由于BCLAB,84nBe=8,故.j_平面BCGg,然后再由线面垂直可得题中的而BEu平面BCCt用，故ABJ.BE，从而有=3，从而AC=Ja/2一C/2=囱二=2五,则AB+BC?=AC?,，ABJ.8C,aABC为等腰直角三角形，_1_1Jllz1c1i11S4BCE-耳S/ABCX|2X2I_1,VF_EBCxS

25、ABCExCFxlxl.(2)由(1)的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体ABCM-如图所示，取棱AM,8c的中点H,G,连结AH,HG,G8,正方形8CG4中，G,b为中点，则BFJ.4G,又8F_L44，A4n4G=4，故5/J_平面A4G”,而DEU平面A4G”,从而BF工DE.【点睛】求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如一棱铢的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积.对于空间中垂直关系（线线、线面、面面）的证明经常进行等价转化.28.【2020年高考全国I卷文数】如图，。为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，/记（?是底面的内

26、接正三角形，P为DO上一点、,NAPC=90.(1)证明：平面尸ABJ_平面PAC；(2)设00=0,圆锥的侧面积为班几，求三棱锥P-ABC的体积.【解析】(1)由题设可知，PA=PB=PC.由于ABC是正三角形，故可得尸AC丝尸A8.PAC0APBC.又NAPC=90,故NAPB=90,NBPC=90。.从而PBLPA,PBPC,故？B_L平面PAC,所以平面2A8J_平面PAC.(2)设圆锥的底面半径为r,母线长为/.由题设可得”=6，尸一/=2.解得厂1,1=6从而AB=6.由(1)可得PA2+PB2=AB2,故PA=PB=PC=W.所以：棱锥P-ABC的体积为-x-xPAxPBxPC=

27、-x-x()3=.323228【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明平面与平面垂直，求锥体的体积，注意空间垂直间的相互转化，考查逻辑推理、直观想象、数学计算能力，属于中档题.29.【2020年高考全国II卷文数】如图，已知三棱柱ABC-ABiG的底面是正三角形，侧面BBCC是矩形,M.N分别为BC,81cl的中点，尸为AM上一点.过81G和P的平面交AB于E,交4c于F.(1)证明：AAxlIMN,且平面AMMNl平面E81C1F；兀(2)设。为AiBiG的中心，若A0=48=6,A。/平面EBiGF,且NMPN=-,求四棱锥B-E&GF3的体积.【解析】(1)因为M,N分别为BC,BCi的

28、中点，所以MNCG.又由已知得AAiCCi,故AAi/MN.因为是正三角形，所以又BiCiLMN,故81G_L平面4AMM所以平面AiAMV_L平面E81GF.(2)40平面ESC/,AOu平面4AMM平面4AMNfl平面E8iGF=PM故AO/PN.又4PON,故四边形APNO是平行四边形，121所以PN=A86,AP=ON=1AM=6PM=qAM=26EF=-BC=2.因为8C平面E81C1凡所以四棱锥B-EBiG/的顶点B到底面E8iG尸的距离等于点M到底面EBiG尸的距离.作M兀LPM垂足为T,则由(1)知，平面EBQF,故A/T=PMsin/MPN=3.所以四棱锥G/的体积为gx24

29、x3=24.【点睛】本题主要考查了证明线线平行和面面垂直，及其求四棱锥的体积，解题关键是掌握面面垂宜转为求证线面垂直的证法和棱锥的体积公式，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题.30.（2021全国高考真题）如图，在三棱锥A-BCZ）中，平面A6）_L平面8CO,AB=AD,。为8D的中点.（1）证明：OA1CD；（2）若aOCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AO上，DE=2EA，且二面角BC。的大小为45,求三棱锥ABCD的体积.【答案】（1）详见解析（2）也6【分析】（1）根据血面垂直性质定理得AO_L平面BCD,即可证得结果；（2）先作出二面角平面角，再求得高，最后根据体积公式得结

30、果.【解析】（1）因为AB=AD,O为BD中点，所以AOLBD因为平面ABDPI平面BCD=5平面ABD,平面BCD,AOu平面ABD,因此AO1平面BCD,因为COu平面BCD,所以AOLCD作EF1BD丁F.作FM_LBCFM,连FM因为AO_L平面BCD,所以AO_LBD.AO_LCD所以EF，BD.EFJ_CD.8）cC）=Z）.因此EFJ_平面BCD,即EF1BC因为FM-BC,FMI律=尸,所以BCL平面EFM,llJBC1ME则ZEMF为：面角E-BC-D的平面角,NEMF=-4因为BO=OD.QCD为正三角形，所以aBCD为立角三角形1117因为E=2E4,，bM=-fiF=-

31、(l+-)=-22332从而EF=FM=-；.AO=3QAO,平面BCD,所以V=!aOSar“=JxlxxlxG=3s326【点睛】二面角的求法：一是定义法，二是三垂线定理法，三是垂面法，四是投影法.变式培优1.已知四棱锥尸-ABCD的侧棱均相等，其各个顶点都在球。的球面匕ABBC,NABC=90。，AD=2。8=2,三棱锥P-ABC的体积为了，则球。的表面积为（A.25兀B.-C.327r6【答案】A【分析】山四点共圆，可得出NADC=90。，进而求出截面圆的直径，再根据体积可求出四棱锥的高，然后根据勾股定理，可求出外接球的半径，最后直接套表面积公式，可求得答案.【详解】如图，F为AC中点

32、，由题意可知PF为四棱锥的高，ZABC=ZADC三棱锥P-48c的体积为解得PF = 4在放aOe中球。的表面枳为4丁尸=4;rx故选【分析】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为。四点共圆，且AC为直径,根据三视图得到该几何体是一个底面边长为2等边三角形，高为2的三棱锥求解在Rt ABOt, AC2=2AB-,解得AB = 2夜，同理可得BF各个顶点都在球0的球面上,ZABC=90由三视图知：该几何体是一个底面边长为2的等边三角形，高为2的三棱锥,如图所示:所以该几何体的体积为V=；.SB=gx；x2x2x-x2=故选：B.某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积（

33、单位：cn?）是（）【答案】A【分析】由三视图得到直观图，再根据棱柱的体积公式计算可得;【详解】解：依题意可得直观图如卜所示:所以V=Sxlx2x2=22故选：A.一个正棱柱的正（主）视图和俯视图如图所示，则该三棱柱的侧（左）视图的面积为（）12正（主）视图俯视图A.8。B.16C.872D.8【答案】A【分析】求出正上棱柱底面边上的高，然后求解侧视图的面积.【详解】由题意可知，底面三角形是边长为4正三角形所以边上的高为：26，所以侧视图的面积为：5=4x26=8石.故选：A.S4r5.如图，圆柱的底面半径为，高为，记圆柱的表面积为圆柱外接球的表面积为邑，若肃=,则;的值为（）【答案】D【分析

34、】514r根据已知条件，应用圆柱体、球体的表面积公式得到邑关于、的表达式，再由7t=求，的值即叱【详解】.圆柱的表面枳耳=2%/+2万泌，圆柱的外接球的半径为+2；.其外接球的表面枳S2=44厂+_）（4产+叫,4Inr1+2/rrh打,即2/5历+3/=5fo（2/i-3r）（-r）=0,则7=7或，=匕h3h故选：D.已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的体积为（）aGO7/3r9x/3n9A.7TB.71C.7TD.-7T545422【答案】D【分析】由视图还原几何体，可得正四棱锥S-A88,可知外接球球心。在S-AfiCD的高SO,上，在心OOC中,利用勾股定理可构造关丁外接

35、球半径R的方程，解得R后，代入球的体枳公式可求得结果.【详解】由三视图可知该几何体是底面为边长为2的正方形，斜高为右的正四棱锥S-4JC7）,如下图所示：连接正方形A8CD的两条对角线AC与8。，交于点O,连接SO,则SO是四棱锥S-4O）的席,设E为8c的中点，连接SE,则SE_LBC,设外接球的球心为。，则。在SO上.连接。C,OE,在新中，SE=5(7=1,E八SO,;.SO=2.设外接球的半径为R，则。=|2-国，OC=R.OC=y2.（2叫2+（可=a，解得：/?=-,，外接球的体积V=9%我3=7t.332）2故选：D.某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位

36、：co?）是（）俯视阳D. 4【答案】A【分析】首先把:视图转换为几何体的直观图，进一步求出组合体的体积.【详解】解：根据几何体的三视图转换为宜观图为：该几何体为故 V = lxlx3 + xlxlxl = g.在矩形48co中，BC=4,M为8c的中点，将AA8M和A3CM分别沿AM,翻折，使点8与点C重合于点尸，若N4P=150。，则三棱锥M布。的外接球的表面积为（）A. 127rB. 347rC. 687tD. 1267t【答案】C【分析】根据正弦定理求出/XPAD外接圆的直径，然后根据PM，PAD外接圆的粒径，球的立件构成直角三角形来求解.【详解】由题意可知，MPPA,MP1.PD.且

37、用A4u平面网。，POu平面以。，所以尸_1_平面外DAn设的的夕卜接圆的半彳仝为，则由正弦定理可得R5=4即=2八所以1=4.sin150设三棱锥M-PAD的外接球的半径为R,则（2Rf=PM2+（2r）2,即（2R=4+64=68,所以正=17,所以夕卜接球的表面积为4万2=68万.故选：C.若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（）正视图左视图俯视图A.2cm3B.石cm，C.3/3cm3D.3cm3【答案】B【分析】由三视图还原出的几何体，得出其结构，由三视图提供的数据计算体积.【详解】由几何体的三视图可知，该几何体为底面是直

38、角梯形，高为6的四棱锥，其中直角梯形两底长分别为1和2,高是2.故这个几何体的体积是:xi(l+2)x2x6=G(a3).故选：B.10.刘徽九章算术注记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖膈，阳马居二，鳖腌居一，不易之率也.意思是：把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的棱剖开成两块，大的叫阳马，小的叫整膈，两者体积之比为定值2：1,这一结论今称刘徽原理.如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为()主视图左视图俯视图A.4万B.3乃C.6兀D.2【答案】D【分析】先依题意利用三视图求得四棱锥所在的长方体的外接球的直径，“算即可.【详解】根据

39、几何体的三视图知，该“阳马”是底面时角线长为正的正方形，一条长为1的侧棱与底面垂直的四核锥,将该四棱锥补成长方体，长方体的外接球与四棱锥的外接球相同，球直径等于长方体的对角线长，即2R=lj2+1=/3,/?=,球体枳为V=&兀R兀32故选:DB【点睛】方法点睛:三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将K“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等“，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.如图，在水平地面上的圆锥形物体的母线长为12,底面圆的半径等于4,一只小虫从圆锥的底面圆上的点尸出发，绕圆锥侧面爬

40、行一周后回到点P处，则小虫爬行的最短路程为（）A. 12&B. 16C. 24D. 24月【答案】A【分析】可先求出侧面展开扇形的圆心角，利用余弦定理即可求出.【详解】如图，设圆锥侧面展开扇形的圆心角为8,2万则由题可得27x4=126,则0=T，=125/3.在肋aPO产中，OP=OP=12,则小虫爬行的最短路程为P尸=12?+12?-2x12x12x故选：A.如图，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面为等腰直角三角形，且此三角形内接于圆柱的底面圆.如果圆柱的侧面积为16万，其底面直径与母线长相等，则此三棱柱的体积为（）A.167rB.16C.D.TV3【答案】B【分析】设圆柱的底面半径为，则该

41、圆柱的母线长为2r,根据圆柱的侧面积求出厂的值，可求得三棱柱的底面积和高，由此可求得三棱柱ABC-A4G的体积.【详解】设圆柱的底面半径为r,则该圆柱的母线长为2r,圆柱的侧面积为2bx2r=4万尸=16灯,解得厂=2,因为三棱柱ABC-A8cl的底面为等腰直角三角形，由题图可知，AC为等腰直角的斜边，故。、分别为AC、AG的中点，因为AV/CG且AA=CG，故四边形4ACC为平行四边形，所以，AC/AG且ac=ag，因为，0、分别为AC、AG的中点，则AO/AQ且40=AQ，所以，四边形为平行四边形，所以，叫/。2且441=。01=2厂=4,因为OO|_L底面A8C,故AA，底面A8C,所以

42、，三棱柱A8C-4耳C为直三棱柱,易得AB=BC=包AC=2五,5=1AB2=4,22因此，三棱柱ABC-A4G的体积为匕bc-ak,=5“叱AA=16.故选：B.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的样卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，6根等长的正四棱柱体分成3组，经90。桦卯起来.若正四棱柱的高为8,底面正方形的边长为2,现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为（）（容器壁的厚度忽略不计，结果保留万）.A.96%B.847rC.42万D.167r【答案】B【分析】先根据题意判断球形容器表面积最小时，直径等于一组正四棱柱的体

43、对角线长，得到球半径，即求得最小表面积.【详解】若球形容器表面积最小，则正四棱柱与球内接，此时球体的宜径等于一组正四棱柱的体对角线长，即2R=褥+（2+2-+2,=2e,所以r=721，球形容器的表面积S=4万店=84%.故选：B.TT.在三棱锥PABC中，已知R4L平面ABC,PA=AB=BC=2,ZABC=.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A.4万B.10万C.12万D.48乃【答案】C【分析】根据题意找到球心所在位置，然后借助勾股定理求出球半径，进而结合球的表面积公式即可求解.【详解】pjr取边AB的中点M,边PC的中点O,由于44BC=,所以点M为“IBC外接圆的

44、圆心，连接。M,QA,则OMPA,又因为PAL平面ABC,所以OM_L平面ABC,因为4Cu平面ABC,平面ABC,所以OMLAC,OM_L8W,又因为8M=M4=MC,所以。B=OA=OC=OP,则点。为外接球的球心，又因为OM=PA=,MA=gCA=gJ8c2+AB?=&,所以球半径为后方7耳庐=百，所以球表面积为4ix（石）=12,故选：C.在三棱锥尸-ABC中，已知84,平面ABC,PA=ABBC=2,AC=20,若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A.4%B.10C.12/rD.481【答案】c【分析】把三棱锥P-ABC可以补成以Aase,7%为棱的正方体，得到可得

45、正方体的外接球和二棱锥P-ABC的外接球为同一个球，结合正方体的性质，求得外接球的半径，即可求解.【详解】在aABC中，fAB=BC=2,AC=2y/2,所以AC?=a+bC）,所以AB_LBC.由平面ABC,则三棱锥P-ABC可以补成以A及BCFA为棱的正方体，可得正方体的外接球和：.棱铢P-ABC的外接球为同一个球，如图所示，设该球的半在为R,则2R=yjAB2+BC2+PA2=273，解得R=6所以该球的表面积为S=4R=41x（6）2=12万.故选：C.()63兀10【答案】D【分析】 TOC o 1-5 h z BC.在三棱锥ABCD中，ABAD=BC=?,8=5,BD=4,AC=3

46、日则三棱锥外接球的表面积为C64兀128兀、126兀B.C.D.555由已知条件先判定出球心的位置，然后运用正弦定理、余弦定理和勾股定理计算出球的半径，即可计算出外接球的表面积.【详解】如图，由AB=BC=3,4c=3夜，得A3?+3C?=AC?,ABLBC,由8C=3,BD=4,CD=5,得BCBD?=CD：BC1BD,又ABnBO=8.BC_L平面ABD,设ABO的外心为G,过G作底面的垂线GO,使GO=；8C,则O为三棱锥外接球的球心，在ABO中，由AB=A=3,3。=4,得cos/BAO=-2x3x39sinNBAD=.设A3。的外接圆的半径为r,949f=3则2x4逐2y/5,OG=

47、7,：.OB2 =3丫 _ 1262)=0，三棱锥外接球的表面积为431K=4兀x呼=华兀.故选：D.在四面体SABC中，SAJ_平面ABC,ZBAC=j,SB=SC=20，SA=2,则该四面体的外接球的表面积是（）254八164284一A.B.C.D.8万333【答案】C【分析】计算出，8c的外接圆门径2r,可求得三棱锥S-ABC的外接球立径2R=祗笆西7，再利用球体表面积公式可求得结果.【详解】如卜图所示:圆柱OQ的底面阚直径为2/，母线长为则。2的中点0到圆柱底面圆匕每点的距离都相等,则。为圆柱002的外接球球心.设圆柱002的外接球半径为R，则（2R=（2）+启因为84_L平面ABC,

48、可将三棱锥SABC置于圆柱。2内，其中底面圆Q为曲的外接圆.因为SB=SC=2V5,SA=2,则AC=AB=JS822=2,软0_2_4/3因为ABAC=J,则aABC为等边三角形，该三.角形的外接圆直径为“=一三=亍,3sin3设四面体S ABC的外接球半径为R,则27?=河+（2尸=型,即/?=孚, 因此，.棱锥S-ABC的外接球的表面积为47正=答.故选：C.18.如图是一个空间几何体的三视图，则该空间几何体的表面积为（）正视图侧视图俯视图A.2/30+-Jw+3a/5B.屈+屈+2小C.闻+W+3君D.回+2后+3行【答案】C【分析】由三视图可是该几何体为四棱锥，求出每个面的面积再相加

49、即可【详解】由三视图可知，该空间几何体是一个四棱锥（如卜图），口平面P）_L平面ABC。，=A8CC为矩形，且A8=55,AO=2,PA=#,P8=VTT,x2x-Ji=5,SPAB=SPDe=x/6x5/5=-,S=x2xJl0=Ji0Sabcd=2x5=2/5,2A八DA*-22QI2所以该几何体的表面枳为回+师+36故选：C19.如图，在aABC中，AB=AC=y/5,cosZBAC=-1,。是棱BC的中点，以为折痕把八48折叠,使点C到达点C的位置，则当三棱锥C-ABD体积最大时，其外接球的表面积为（）B.C.D.5122【答案】D【分析】在“8C中，山余弦定理求得8C=20，再由当C

50、ZJ.BO二棱锥C-ABD体积最大，把三棱锥CABE）补形为一个长方体，结合长方体求得外接球的半径，利用球的表面枳公式，即可求解.【详解】在aABC中，因为AB=AC=,cos.BAC=,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB-ACcosA=3+3-2x6xgx（_；）=8,所以BC=2&，CDLBD,即CL平面4冷，三棱锥C-A3。体积最大，此时C。、D4两两垂直，可把三棱锥补形为个长方体，且长方体K、宽、高分别为：1,0,近，所以三棱锥C-ABO的外接球半径为：。ylBD2+AD2+CD2+（何+（二）=正，K-=9222所以外接球的表面枳为：S=4ttR2=4x（-）2=57r.故

51、选：D.20.香水是香料溶于乙醇中的制品，早在公元前1500年，埃及艳后克娄巴特拉七世就已经开始用15种不同气味的香水洗澡了.近年来，香水已经逐渐成为众多女士的日常用品.已知“香奈儿”的一款饱受热评的男士香水的包装瓶如图（1）所示，其三视图如图（2）所示，其中图（2）中方格小正方形的边长为1,则该香水瓶的体积为（）A.乃+120B.2乃+120C.乃+110D.21+110【答案】D【分析】根据三视图可得包装瓶由棱柱和圆柱组合而成，利用体积公式可求其体积.【详解】由三视图可得包装瓶的直观图如图所示：故其体积为：5x（242）+乃xx2=110+27,故选：D.21.如图，在四棱锥P-ABC中，

52、。是正方形48CD的中心，P。，底面A8C,PA=5AB=2,则四棱锥P-A8co内切球的体积为（）.柩兀04+兀116万1255A万Ad.CU.54272754【答案】B【分析】根据题意，先求出几何体的体积，再结合等体积法求出内切球的半径即可求解.【详解】由题可知,该几何体的底面是边长为2的正方形，侧棱长都为有，连接OA.P0_1_底面ABCD,PO1AO.AO=-xAB2+BC2=-xV22+22=V2,22PO=/AP2AO2=布)_(0)=/3Sabc。=2x2=4,S尸A。=Sapcd=SPBC=Spab=T设四棱锥的内切球的半径为R,球心为O,由 P-ABCD=O-ABCD+O,-

53、PAD+O,-PAB+O1-PBC得SABCD.PO=ABCDRTSPAD,RHSab。RTSPBC，RTSpcDR,13nD-U3nDl-Lf3rnU3no3arot3即4x/5=4R+4x2R=12R,解得R=号，故四棱锥P-ABCD内切球的体积为丫=gT内故选：B.己知某几何体的三视图如图所示，点A,8在正视图中的位置如图所示（A,8分别为正视图中等腰梯形的两个顶点），则在此几何体的侧面上，从A到8的最短距离为（）正视图侧视图俯视图D. 3/7A.空B.36C.亚22【答案】A【分析】作出三视图的直观图，并展开，根据三视图中的数据求得展开图中的边长，半在，圆心角等，从而求得A8的长.【详

54、解】由三视图可知该几何体为卜底面半径R=l,上底彳仝r=；,高为近的I员1介，故其母线长为BC=(1-1)2+(V2)2=|,其侧面展开图为以上、下底面周长为弧长，圆台母线长为半径的扇环，如图所由相似三角形知，段=!，即51，解得oc=3,R2即圆锥的母线为3,记扇形的圆心角为a,则sOB=2，即a3=2;rxg,解得。=葛由三视图可知，点B为展开图中圆弧的中点,在A04B中,1T371乙4。3=，08=一，。4=3,则乙430=一，322故AB=0AsinZAOB=2故选：A.已知球。的半径/?=?至，三棱锥P-A8C内接于球0,尸A_L平面ABC,且2=AC=BC=3,则三4棱锥P-A8C

55、的体积为()A.25/5B.6亚C.6D.yj3【答案】A【分析】首先计算aA8c外接圆的半径，再结合正弦定理和三角形内的边角关系，解决aA8C的面积，最后求三棱锥尸-A8C的体积.【详解】设的外接圆圆心为O,半径为，连接。，OA.OAOB,则2=(?)+/,即（乎）=图”，解得2所以sinZABC=一,所以C=8CsinZA8C=2,2r3所以AB=2BD=BC2-CD?=2后，所以心树4326x2x3=2斯-故选：A【点睛】方法点睛：本题考查了球与几何体的综合问题，考查空间想象能力以及化归和计算能力，（1）当三棱锥的三条侧棱两两币;4，并且侧棱长为。，1C,那么外接球的直注2R=4?+巨+

56、2,（2）当有一条例棱垂直于底面时，先找底面外接圈的圆心，过圆心做底面的垂线，球心在垂线匕根据垂直关系建立R的方程.如图所示，在正方体ABCO-A4G。中，S是棱AB1上任意一点，四棱锥S-ABCD的体积与正方体A8CD-A8CQ的体积之比为（C.D.不确定【答案】B【分析】11可改正方体的棱长为。，则正方体的体积V=,四棱锥S-AB8体积为H=/。=幺，求333比值即可得解.【详解】设正方体的棱长为。，则正方体的体积V=/,易知四棱锥S-ABCD的高为S点到底面的距离，即侧棱长，所以四棱锥S-ABC”体积为H=1a2-a=y.所以故四棱锥S-ABCD的体积与正方体ABCD-A的体积之比为，故

57、选：B.九章算术是中国古代的一部数学著作，著作中记载：“刍薨者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.薨，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱刍薨字面意思为茅草屋顶”.现有一个刍薨如图所示，四边形4BCO是边长为4的正方形，“。与“CF是等边三角豚EF/AB,AB=2EF,则该刍部的外接球的半径为（）【答案】A【分析】连接AC,B。交丁点。，过。点作“L平面ABCO,设O为外接球的球心，取ARBC的中点分别为G,H,证得BC_L平面77幻，求得MO=4FH-l=后，设=x,得到结合求得截面性质,列出方程，即可求解.【详解】连接AC,BD交于点。，过。点作OO，平面ABC

58、D.因为四边形A8CD为正方形，所以外接球的球心在QM匕设O为外接球的球心,取AD,BC的中点分别为G,H,连接EG,FH,因为EFUAB,ABUGH,可得EF/GH,因为aBFCaEAD为等比三角形，所以E771.BC,因为BCLGH,EHGH=H,所以BC_L平面E/HG,因为舫=4=2所，所以AO=20,E尸=2,所以EM=l,EO=AO=R,因为FH=26,所以MO=后,设CX7=x,则MO，=VTi-x，所以AO=4。2+00匕：0,2=+,所以/+8=1+（7?-幻2,即9+V=1+1l-ZVHx+xZ,解得2VHx=4，即x=,所以R2=ao=AO2+OO2=8+W=，所以R=、

59、怪=述亘.H11VII11故选：A.mI.如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的宜径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现，我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为（）aB.2C.-D.-223【答案】C【分析】设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R,分别求得圆柱和球的表面积，即可得答案.【详解】设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R,高为2R.圆柱的表面枳H=27tR2+27tR-2R=6兀R2,球的表面积$2=4万/?2,所以圆柱的表面积与球的表面积之比为2=7=;.S24ttR-2故选：C.阿

60、基米德是古希腊伟大的数学家、物理学家、天文学家，是静态力学和流体静力学的奠基人，和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他在不知道球体积公式的情况下得出了圆柱容球定理，即圆柱内切球（与圆柱的两底面及侧面都相切的球）的体积等于圆柱体积的三分之二.那么，圆柱内切球的表面积与该圆柱表面积的比为（）A.yB.-C.-D.-2334【答案】C【分析】设球的半径为R，可得出圆柱的底面半径与高，利用球体的表面积公式以及圆柱的表面积公式可得结果.【详解】设球的半价为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R,则圆柱的表面积为S=2%正+2万r.2R=6%*,球的表面积为S球=4,.所以，圆柱内切球的表面积与该圆柱表面积的比