3.1双曲线及其标准方程

1、参数方程汉中市南郑区大河坎中学 赵敏卫直线和圆锥曲线的参数方程（四）北师大版 高中数学 选修4-4 第二章参数方程第2节双曲线的参数方程1动点的轨迹 如图，以原点为圆心，分别以a,b(a=5,b=3)为半径作两个圆，两圆与x轴交于A、B，大圆半径为OP，作如下辅助线：问题：观看“几何画板”动态演示 过点B作小圆切线BC与OP的延长线(或反向延长向)交于点Q过点P作大圆切线与x轴交于点N，过点N作x轴垂线ND， 当半径OP绕原点O逆时针旋转时,动点M的轨迹的参数方程是什么？轨迹表示什么曲线？过点Q作ND的垂线与ND交于点M。2轨迹的参数方程 设参： 设半径OP从OX轴正向为起始位置逆时针转过的角

2、度为 (为参数)，即POA=，动点M坐标为M(x,y)。在RTOBQ中，有：BQ=OBtan=3tan又因为所以动点M轨迹的参数方程为：分析：在RTOPN中，有：X=ON, y=MN=BQ所以有结论：参数范围还是0o360o吗？问题：3参数的取值范围 分析：当OP逆时针旋转到如图所示的位置时：参数范围还是0o360o吗？问题：此时参数：为锐角OP延长线与BC的交点Q：P在第一象限Q在第一象限M轨迹第一象限存在结论：0o90o成立4参数的取值范围 分析：当OP逆时针旋转到如图所示的位置时：参数范围还是0o360o吗？问题：此时参数：等于0oOP延长线与BC的交点Q：点P与点A重合点Q与点B重合M

3、轨迹在X轴上 存在结论：=0o成立5参数的取值范围 分析：当OP逆时针旋转到如图所示的位置时：参数范围还是0o360o吗？问题：此时参数：等于90oOP延长线与BC的交点Q：交点M不存在 不存在结论： 90o6参数的取值范围 分析：当OP逆时针旋转到如图所示的位置时：参数范围还是0o360o吗？问题：此时参数：为钝角OP反向延长与BC交点Q：P在第二象限Q在第四象限M轨迹第三象限存在结论：90o180o成立7参数的取值范围 分析：当OP逆时针旋转到如图所示的位置时：参数范围还是0o360o吗？问题：此时参数：等于180oOP反向延长与BC交点Q：点P在X轴上 点Q与点B重合M轨迹在X轴上 存在

4、结论：=180o成立8参数的取值范围 分析：当OP逆时针旋转到如图所示的位置时：参数范围还是0o360o吗？问题：此时参数：180o270oOP反向延长与BC交点Q：P在第三象限Q在第一象限M轨迹第二象限存在结论：180o270o成立9参数的取值范围 分析：当OP逆时针旋转到如图所示的位置时：参数范围还是0o360o吗？问题：此时参数：等于270oOP延长线与BC的交点Q：交点M不存在 不存在结论： 270o10参数的取值范围 分析：当OP逆时针旋转到如图所示的位置时：参数范围还是0o360o吗？问题：此时参数：270o360oOP延长线与BC的交点Q：P在第四象限Q在第四象限M轨迹第四象限存

5、在结论：270o360o成立11参数的取值范围 分析：参数0o,360o) 且90o、270o 。参数范围还是0o360o吗？问题：结论： 由以上的几种取值情况我们可以直观的看到，当=90o、=270o 时交点M不存在，因此无轨迹。另一方面，我们从轨迹的参数方程：tan成立，则k180o+90o；Cos0，则k180o+90o。自身要求可以得到：所以要求90o且270o 。12参数方程化为普通方程问题：所以我们说：将参数方程：解：由参数方程可得：是双曲线的参数方程它表示中心在原点，实半轴长为5，虚半轴长为3的双曲线。普通方程为：化为普通方程。上式两边平方后相减得：13双曲线参数方程 的参数方程是双曲线的参数方程是双曲线参数0o,360o) 且90o、270o 。14课堂小结 1、双曲线参数方