8.2 一元线性回归模型及其应用(精练)(解析版)

1、 /24 /248.2一元线性回归模型及其应用（精练）题组一样本中心解小题】（2021广西钦州市）据统计，某产品的市场销售量y（万台）与广告费用投入X（万元）之间的对应数据的散点图如图所示，由图可知y与x之间有较强的线性相关关系，其线性同归方程是y=0.3x+a，贝h的值是（）护（万台）3厂TFIIIA2.5B.3C.3.5D.4【答案】A【解析】由题可知：x=2+4+5+6+8二5,亍二3+4+4+4+5二4将x,y代入线性回归方程可得：4=0.3x5+ana=2.5故选：A（2021湖北武汉市武汉中学高二期末）设一个回归方程为y二3+12x，则变量x增加一个单位时（）.a.y平均增加12个

2、单位b.y平均增加3个单位C.y平均减少1.2个单位D.y平均减少3个单位【答案】A【解析】由回归直线斜率知：变量x增加一个单位时，y=3+L2（x+】）=3+1.2x+L2y平均增加1.2个单位故选：A.（2021江西上饶市）在对具有线性相关的两个变量x和y进行统计分析时，得到如下数据：x4681012y1.31.933.94.9由表中数据求得y关于x的回归直线方程，则（4,1.3），（6,1.9）,（8,3），（10,3.9）这四个样本点中，距离回归直线最近的点是（）A.（4,1.3）B.（6,1.9）C.（8,3）D.（10,3.9）【答案】C4+6+8+10+125-1.3+1.9+3

3、+3.9+4.9oy=5=3根据回归直线方程的性质可知，平均值点（8,3）在回归直线上，故选：C.（2021江西上高二中）对具有线性相关关系的变量x,y，测得一组数据如表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为y=l5x+a，据此模型来预测当x=20时，y的估计值为X24568y2050607080答案】213.5一11解析】x=(2+4+5+6+8)=5,y=(20+50+60+70+80)=5655所以中心点为（5,56），所以56=10.5x5+a，解得a=3.5所以回归直线方程为y二10.5x+3.5所以当x=20时，y=10.5x20+3.5=213.5故答案为：213.5（2021湖

4、南省平江县第一中学高二月考）已知某产品的销售额y（万元）与广告费用x（万元）之间的关系如下表：x（单位：万元）01234y（单位：万元）1015203035若销售额与广告费用之间的线性回归方程为y=65x+a，预计当广告费用为6万元时的销售额约为万元）.答案】4810+15+20+30+35“y=22由于回归直线过样本的中心点，所以，6.5x2+a=22，解得a=9所以，回归直线方程为y=6.5x+9，当x=6时，y=6.5x6+9=48.故答案为：48.（2021福建漳州市高二期末）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表:广告费用X/万元1234销售额y/万元23mn现已知亍二5，且回

5、归方程y=bx+a中的b=4，据此模型预测广告费用为10万元时，销售额为万元.【答案】351+2+3+4【解析】由题意x=2.55=4x2.5+a,a=一54x=10时，y=4x10-5=35故答案为：35（2021江西高二期末（理）下列是某厂14月份用水量（单位：百吨）的一组数据，由其散点图可知,用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是y=-0.7x+a，则a=月份x1234用水量y4.5432.5【答案】5.25-1【解析】由题意知：x=4(1+2+3+4)=2.5-1y=(4.5+4+3+2.5)=3.5将(2.5,3.5)代入线性回归方程y=-0.7x+a即3.5=-

6、0.7x2.5+a解得：a=5.25故答案为：5.25.（2021邱县第一中学高二期末）已知x与y之间的一组数据:X0123ym35.57已知关于y与x的线性回归方程为y=2.1x+0.85，则m的值为,【答案】0.5ii=1 /24ii=1 /24 /240+1+2+33【解析】由表格中的数据可得x二4二G-）-3由于回归直线过样本的中心点x,y，所以y二2.1x-+0.85二4m+3+5.5+7所以y二二4，解得m=0.5故答案为：0.5（2021贵州贵阳市）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试答案】68【解析】设阴影部分的数据为M由表中数据得：10+20

7、+30+40+505=30M+3075验根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归方程y=0.67x+54.9.零件数X（个）1020304050加工时间y（min）62758090现发现表中有一个数据看不清，请你推断该数据的值为由于由最小二乘法求得回归方程y=0-67x+54.9M+307将x二30，y=5，代入回归直线方程，得M=68故答案为：68.10.（2020吉林油田第一中学）已知x与y之间的一组数据:x1234ym3.24.87.5若y关于x的线性回归方程为y=2.1x-0.25，则m的值为【答案】m=4.5-1511【解析】由题得x-(1+2+3+4)-，y-(m+32+4

8、.8+7.5)=(m+155)I厶II所以(m+15.5)=2.1x一0.2542所以m=4.5故答案为:m=4.5【题组二一元线性方程】1(2021福建福州市高二期末)为了研究某班男生身高和体重的关系，从该班男生中随机选取6名,得到他们的身高和体重的数据如下表所示：编号123456身高x(cm)165171167173179171体重y(kg)62m64747466在收集数据时，2号男生的体重数值因字迹模糊看不清，故利用其余5位男生的数话得到身高与体重的线性回归方程为y=bx+a.后来得到2号男生的体重精准数值m后再次计算得到线性回归方程为i1y=bx+a.22求回归方程y=bx+a；ii若

9、分别按照y=bx+a和y=bx+a来预测身高为180cm的男生的体重，得到的估计值分别为w11221W2，且W2-W1=2，求皿的值;(3)BMI指数是目前国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准，其中BMI指数在24到27.9之间的定义为超重.通过计算可知这6人的BMI指数分别为：22.8,27.4,22.9,24.7,23.1，22.6,现从这6人中任选2人，求恰有1人体重为超重的概率.工(xx)(yy)ii附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b=I(-),a=ybx.Z(x-x丿ii=1-141374“8【答案】(1)y=15x-15；(2)m=80；(3)15【

10、解析】(1)x=-x(165+167+173+179+171)=1715y=丄x(62+64+74+74+66)=685ii=1所以乞(xx)(y亍)=36+16+12+48=112,工(xx)=36+16+4+64=120ii=1工(xx)(y亍)ii11214所以b=-i=i=- HYPERLINK l bookmark22 所以112015a=亍bx=6814x171=空 HYPERLINK l bookmark26 111515 /24 /24TOC o 1-5 h z-141374所以y=15x-1T HYPERLINK l bookmark87 “-1413741146(2)根据题

11、意，将x=180代入方程y=舌x-得气=W11461176 HYPERLINK l bookmark95 所以w=w+2=+2=2115151176,vcc入所以=bx180+a，1522另一方面，6名男生的身高的平均值为X=171，体重的平均值为y=34罗6340+m;十、入所以=b2X171+a2，6工(X-X)(y-y)=36+16+12+48=112ii=1另(X-X二36+16+4+64二120ii=1为(x-x)C-y)所以b2=ii14艺(x-X)飞ii=1综合即可得：a=-詈215m=80.(3)设这6人分别记为A,B,C,D,E,F，其中B,D表示体重超标的两人,则从这6人中

12、任选2人，所有的可能情况为：AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF，共15种，其中恰有1人体重为超重有：AB,AD,BC,BE,BF,CD,DE,DF，共8种，8所以恰有1人体重为超重的概率为：p=15(2021四川遂宁市)第十八届中国国际农产品交易会于11月27日在重庆国际博览中心开幕，我市全面推广“遂宁红薯”及“遂宁鲜”农产品区域公用品牌，并组织了100家企业、1000个产品进行展示展销，扩大优质特色农产品市场的占有率和影响力，提升遂宁特色农产品的社会认知度和美誉度，让来自世界各地的与会者和消费者更深入了解遂宁，某记者对本次农交会进行了跟踪

13、报道和实际调查，对某特产的最满意度X(%)和对应的销售额y(万元)进行了调查得到以下数据：时间第一天第二天第三天第四天第五天最满意度x（%）2234252019销售额y（万元）7890867675（1）求销量额y关于最满意度x的相关系数r；我们约定：销量额y关于最满意度x的相关系数r的绝对值在0.95以上（含0.95）是线性相关性较强；否则，线性相关性较弱.请你对线性相关性强弱作出判断，并给出理由；（2）如果没有达到较强线性相关，则采取“末位淘汰”制（即销售额最少的那一天不作为计算数据），并求在剔除“末位淘汰”的那一天后的销量额y关于最满意度x的线性回归方程（系数精确到0.1）.i=1参考数据

14、：X-24，y=81，工x25x2一146，Sy25y2一176，Zxy一5xy一151,iiiii一1i一1146沁12.0&贸76沁13.27.附：对于组数据（x，y）,（x,y）,（x,y）其回归直线方程y=bx+a的斜率和截距的最小二乘法估nnZxy-nxyii计公式分别为：b-4-SZx2-nx2ii=1八一a=y-bx，线性相关系数【答案】（1）r沁0.94，线性相关性较弱；（2）y=x+77.3151151【解析】（1）r一、,：146x176一12.08x13.270.94因为r沁0.9440该医院3月11日能实现“单日治愈人数突破40人”的目标. /24 /244（2020贵

15、州贵阳市贵阳一中）统计中用相关系数r来衡量两个变量之间的线性相关的强弱，若相应于变量x的取值xi，变量y的观测值yi（1i65606:x=-2(32)=94.6875沁95(元)时，/(x)最大，2x(-3.2)所以为使得销售的利润最大，单价应该定为95元(2021甘肃省永昌县第一高级中学高二期末(理)据了解，温带大陆性气候，干燥，日照时间长，昼夜温差大，有利于植物糖分积累某课题研究组欲研究昼夜温差大小(x/C)与某植物糖积累指数(y/GI)之间的关系，得到如下数据：组数第一组第二组AVr*第二组第四组第五组第六组昼夜温差x/C1011131286某植物糖积累指数y/GI20243028181

16、5该课题研究组确定的研究方案是先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验，假设这剩下的2组数据恰好是第一组与第六组数据.求y关于X的线性回归方程y=bx+a；若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的差的绝对值均不超过2.58，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问(1)中所得线性回归方程是否理想？参考公式：回归直线方程y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计b工(x-x)(y-y)iiT=1i=1【答案】（1）y=葺x-耳；（2）是.解析】（1）由表中2月至5月份的数据，-11得x=(11+13+12+8)=11,y=(24+30+28+18)=2544故有

17、工(x-x)(yy)=0 x(-1)+2x5+1x3+(一3)x(一7)=34iii=2工(x一x)2=02+22+12+(-3)2=14ii=2入34171712b=14=5，a=y一bx=25一7x11=-刁1712即y关于x的线性回归方程为y=7x-y(2)由y=17x-12,当x=10时，y=17x10-12=15877777驴-20|=号2（1）求总人数N和分数在110120分的人数n；当x=6时，y=17x6-12=90777呼-151=学),则天然气用量S二yt=kx5+一|二5kx+25kx20k,Vx2丿xVx当且仅当5kx=20k时取“=”，即x=2（负值舍去）时，天然气用

18、量最小.x（2020全国）红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害每只红铃虫的平均产卵数y和平均温度x有关现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.平均温度x/C21232527293235平均产卵数y/个711212466115325xyz工(x-x)(-z)iii=1Y(x-x)ii=127.42981.2863.61240.182147.714表中z二Iny,i3503002502001502224262830325436蛊便（1）根据散点图判断，y=a+bx与y=cedx（其中e二2.718为自然对数的底数）哪一个更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归

19、方程类型？（给出判断即可不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程.（计算结果精确到小数点后第三位）（2）根据以往统计，该地每年平均温度达到28C以上时红铃虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到28C以上的概率为P（P1）.（i）记该地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率为f（P），求f（P）的最大值，并求出相应的概率p0.（ii）当f（P）取最大值时，记该地今后5年中，需要人工防治的次数为X，求X的数学期望和方差.附：对于一组数据（x，z1）,（x2,z2）,（x7,z7），其回归直线z=a+bx的斜率和截距的最小二乘法估计分工(

20、xx)(z-z)ii别为：b=i=1，a=z一bx.K(x-xii=1【答案】(1)y=cedx更适宜；y=e0.272x-3.849；(2)(i)f(p)=，此时相应的概率为p=；(ii)max-2505E（X）=3，D（X）=5【解析】（I）根据散点图可以判断y=cedx更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型.对y=ced两边取自然对数得Iny=Inc+dx，令z=Iny，a二lnc，b二d，得z二a+bx二趴-x兄厂=40.18202720因为b=147.714显0.2720，所以a=-bl=3.-12-0.272x27.429q-3.849ii=1所以z关于x的线性回归方程

21、为z二0.272x-3.849，所以y关于x的回归方程为y=eo.272x-3.849.（i）由f（p）=c3p3（】-p）-，得儿）=C3p-（i-p）（3-勿），因为0p0得3-5p0，解得0p5；令fp）0得3-5p0，解得-p1所以f（p）在5上单调递增，在5,1上单调递减，所以f（p）有唯一极大值/V5，也为最大值.所以当p=-时，f（p）=誤，此时响应的概率p=-.5max-2505（ii）由（i）知，当f（p）取最大值时，p=5所以E（X）=5x-=3，D（X）=5x-x-=-.5555（2020福建师大附中高二期中）疫苗能够使人体获得对病毒的免疫力，是保护健康人群最有效的手段新

22、冠肺炎疫情发生以来，军事医学科学院陈薇院土领衔的团队开展应急科研攻关，研制的重组新型冠状病毒疫苗（腺病毒载体），于4月12日开始招募志愿者，进入二期临床试验.根据普遍规律，志愿者接种疫苗后体内会产生抗体，人体中检测到抗体，说明有抵御病毒的能力.科研人员要定期从接种疫苗的志愿者身上采集血液样本，检测人体中抗体含量水平（单位：miu/mL，百万国际单位/毫升）.（1）IgM作为人体中首先快速产生的抗体，是人体抗感染免疫的“先头部队”经采样分折，志愿者身体中IgM含量水平y（miu/mL）与接种天数x（接种后每满24小时为一天，xeN*）近似满足函数关系：O.lx,x10y=1“，经研究表明，IgM

23、含量水平不低于0.2miu/mL时是免疫的有效时段，试估计接种一次后IgM含量水平有效时段可经历的时间（向下取整）.（参考数据：e沁2.718）（2）IgG虽然是接种后产生比较慢的抗体，却是血清和体液中含量最高的抗体，也是亲和力最强、人体内分布最广泛、具有免疫效应的抗感染“主力军”科研人员每间隔3天检测一次（检测次数依次记为t，ii=123,4,5,6,7）某志愿者人体中IgG的含量水平，记作z.（miu/mL）（i=1,2,3,4,5,6,7），得到相关数i据如下表：（次）1234567Z(miu/mL)i0.090.380.954.853.357.4817.25请画出散点图，并根据散点图判

24、断线性拟合模型z=a+bt与指数拟合模型z=cdt哪种更适合拟合z与t的关系（不必说明理由）；研究人员发现，上述数据中存在一组异常数据应当予以剔除试根据余下的六组数据，利用中选择的拟合模型计算回归方程，并估计原异常数据对应的z.值.ix)(y-y):一x)2i附：回归系数与估计值均保留两位小数，由七组数据计算出的参考数据见下表，其中u=Inz.zu工tziituiiIn0.06ln1.55In2.27ln4.854.910.60205.4839.87-2.840.440.821.58参考公式：线性回归直线y=a+bx的斜率和截距的最小二乘估计分别为:a=y一bx【答案】（1）11天；（2）见解

25、析，指数拟合模型z=cdt适合拟合z与t的关系；1.55【解析】（1）x10时，y=e10-x单调递减，得到x=10时，y达到峰值，由ei0一x0.2得10-x10+In5，因为1In511所以估计接种一次后IgM含量水平有效时段可经历的时间为11天;（2）散点图如下:根据散点图判断指数拟合模型z二cdt更适合拟合z与t的关系;根据散点图可得第4组数据异常，应当予以剔除由z=cdt得u=lnz=ln（cdt）=lnc+1lnd工（t一?）（u一u）乞tu一ntu39.87一4x4.85一6x6X7_158x4iiii.b=-t=t=-t=t=u0.3512+22+32+52+62+72一6X42为（t一?）2ii=1乙12一nt2ii=1a=U-bt=06%7一58-0.35x4=-0.96故u=Inz=-0.96+0.35