高一数学空间距离

1、第二章小结空间距离一、教学目的.掌握两条直线所成的角和距离的概念及等角定理；(对于异面直线 的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离)。.掌握点、直线到平面的距离，直线和平面所成的角；.掌握平行平面间的距离，会求二面角及其平面角； 二、教学过程.基本知识：(1)空间中的距离是立体几何的重要内容，其内容主要包括： 点点距，点线距，点面距，线线距，线面距，面面距。其中重点是点 点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离.因此，掌握点、线、 面之间距离的概念，理解距离的垂直性和最近性，理解距离都指相应 线段的长度，懂得几种距离之间的转化关系，所有这些都是十分重要 的。(2)求距离的重点在点到平面的距

2、离，直线到平面的距离和两 个平面的距离可以转化成点到平面的距离， 一个点到平面的距离也可 以转化成另外一个点到这个平面的距离。(3)点到平面的距离平面外一点P在该平面上的射影为P,则线段PP的长度就 是点到平面的距离；求法： “一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。 等 体积法。(4)直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线 上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离；(5)平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离“平求距离的一般方法和步骤：应用各种距离之间的转化关系和 行移动”的思想方法，把所求的距离转化为点点距、点线距或点面距 求之，其一般

3、步骤是：找出或作出表示有关距离的线段； 证明它符合定义；归到 解某个三角形.若表示距离的线段不容易找出或作出， 可用体积等积 法计算求之。2、举例分析例1、正方形ABCD的边长是2, E、F分别是AB和CD的中点, 将正方形沿EF折成直二面角（如图所示）.M为矩形AEFD 内一点，如果/ MBE=/MBC, MB和平面BCFE所成角的正切值为1,那么点M到直线EF的距离为 。 2解析：过M作MOXEF,交EF于O,则MO，平面BCFE.如图所示，作 ONXBC,设 OM=x,又 tanMBO=1 ,BO=2xSa又 S mbe= - BE - MB - sinMBE= 1 BE ME 22mb

4、c= 1 BC MB sinMBC= 1 BC MN 22I .ME=MN,而 ME=J5x2 -1 , MN=Jx2+1 ,解得 x=。 2点评：该题较典型的反映了解决空间几何问题的解题策略：化空间问题为平面问题来处理。点面距离例2.如图，四面体 ABCD中，O、E分别BD、BC的中点,CA=CB=CD=BD=2。A ABD为等腰直角三角形。(I )求证：AO,平面BCD;(II)求异面直线AB与CD所成角的余弦值；(HI)求点E到平面ACD的距离。解：(1)证明：连结OC。; BO=DO,AB=AD,AOBDo; BO=DO,BC=CD, /.COXBDo在AAOC中，由已知可得 AO=1

5、,CO=T3o而 AC=2, /. AO2+CO2=AC2,./AOC=90，即 AO OC: BD n0C =0, .AB，平面 BCD。(H)解：取 AC的中点M,连结OM、ME、OE,由E为BC的中点知 ME/AB,OE/ DC。直线OE与EM所成的锐角就是异面直线 AB与CD所成的角 TOC o 1-5 h z 在 OME 中，EM = 1 AB =6,OE = 1 DC =1, 2221丁 OM是直角 AOC斜边 AC上的中线，. OM = AC =1, 2CL A2cos -OEA =,4异面直线AB与CD所成角为cosOEA =逗，4(m)解：设点E到平面ACD的距离为h.Ve

6、-ACD -Va-CDE ,S*A ACDAO Sa cde.在 ACD 中，CA=CD=2,AD= 2而 AO=1, Sa CDE = 1 22.3 .h =AO S CDES ACD，点E到平面ACD的距离为号点评：本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离等基本知识， 考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。3、小结(1)空间的距离问题，主要是求空间两点之间、点到直线、点到平 面、两条异面直线之间、平面和它的平行直线、以及两个平行 平面之间的距离.(2)求距离的一般方法和步骤是：一作一一作出表示距离的线段；二证一一证明它就是所要求的距离； 三算一一计算其值.止匕外, 我们还常用体积法求点到平面的距离.(3)求距离的关键是化归。即空间距离与角向平面距离与角化归，各种具体方法如下：求空间中两点间的距离