高三数学复数的概念、复数的三角形式、复数的几何意义知识精讲

1、高三数学 复数的概念、复数的三角形式、复数的几何意义知识精讲,复数的概念.复数、实数、虚数、纯虚数的概念.两复数相等的充要条件a bi =c di a = c且b = d (a,b,c, d 三 R).复数是实数、虚数或纯虚数的充要条件设 z =a +bi (a,b E R),则z 三 R：= b = 0= z = Z;小虚数u b 0;小纯虚数 u a =0 且 b #0u z+Z = 0 (z#0).共轲复数的概念和性质z 二z;2z z =|z 2 = z ;z =a bi(a,b 三 R) = z z =2a,z - z = 2bi.zrrz；=i+z2 (可推广到有限个)；zi -z

2、2 uzi -z2 ；嬴=z z2 (可推广到有限个)。，z1 、 z1 ,、( )= (z2 #0).z2 z25.复数的辐角和模的性质，向量长度复数辐角的概念及辐角主值范围；复数模的性质：a bi = .a2 b2z =|z|;|zi 平 +z21半| + z2 ；zi 引=zi Z ;zi|zj, =H(z2 /0).z2% I.复数的三角形式.复数三角形式的特点；.复数的代数形式与三角形式的互化；.复数的模和辐角(主值)复数的辐角或辐角主值及其范围的确定有以下三种常用的方法:(i)将一个复数表示为三角形式后再确定；(2)利用复数乘除法的几何意义；(3)利用复数与复平面上的点或向量的对应

3、关系及数形结合，转化为几何问题。.注意以下两点：(1)复数z =r(cos8+i sin是一个三角形式所必须满足的三条件：(a) r 0; ( b) z的实部是 r cos0,虚部是 r sin8;(c)它们分别是同一个角的余弦和正弦。(2)复数辐角主值的范围是0Margz2n在解题时，必须注意这一点。(三)复数的几何意义.主要内容(1)掌握复数在平面上的几何表示；(2)熟悉复平面内常见的轨迹的复数方程，加深对复数的模及辐角概念的直观理解。.重点难点(1)复平面上的图形和轨迹问题，即如何根据复数z所满足的条件来确定其对应点集的图形和轨迹。(2)探求复平面内点集的形状或轨迹一般有以下两条途径：设

4、z=x+yi(x,y WR)根据条件求得关于x,y方程(即轨迹的普通方程)；结合复平面上的基本轨迹方程，运用整体思想，寻求复数z所具有的特征或满足的方程。0高考点拨+ i,求 z1，z2值。211.(上海局考题)已知复数z1，z2湎足。=z2 =1且。+z2 =-解析由题意可设 z1 =cos_i 1 i sin _：,z2 = cos - i sin -.z1z2=1 史22i, TOC o 1-5 h z -1/、cos +c o s =-,（1）2c J3s i m +si n=.（2）22由（1） 2 + （2） 2 得 cosXP）= 1 ,21 即 c o sc o s+s i n

5、s i n=一一，（3）2,、，口二二 1 ,、由（1）得 2co sc o s= 一，（4）22/ 、由（2）得 2 s i nco s=,（5）士( 4)得 tan * = 3,所以 cos(a + P) = -1, 221即 cosacosP-sin asm P =,(6) 2 (6)得 2sinasin 0=0,二 sin a =0或 sin P =0.将 sin : - 0代入(2)得 sin =23 又 sin : - 0, 2则cos :- 1将cos:-T代入(1)得。.1 .cosp= -一 而 cosot =-1 代入（1）得 2cos二-不合，舍去。2当sinp： 0同理

6、可得Z11.3. 十 i, 22Z2 =1,说明：本题主要考查了复数的模，三角形式以及有关三角恒等变换的知识，考查学生 的综合思维和运算能力，对考生的数学素质要求较高。2范题2 （ 1995 全国）求复数 z +z的模和辐角。解析 z2 z=（cos i i sin R2 cos ? i sin= cos2 i isin2i cos 二 i sin= (cos2i cos R i(sin 2 t1 sin ?) TOC o 1-5 h z 3二二31二=2 coscos i (2 sin cos)22223 .3 .=2 cos (cos r i sin ”22I3 .3 ,-2 cos co

7、s(-二 R i sin(-二？)、E 三(二,2二)，.-(一,二)，-2cosm 0,222所以复数z2 +z的模为2cos。，辐角为(2k1) n +(k=Z) 22本题主要考查模与辐角的概念和求法，及基本运算能力。范题2 （ 1992 全国）已知复数z的模为2,则z-i的最大值为（）A. 1 B. 2 C. - 5 D. 3解析解法 1: 丁 z =2,z-i z +|i =3.故选D。_解法2：设区1 =z i贝Uco +i =z, co +i =|z =2而5表示以点（0, -1）为圆心，以2为半径的圆，由图2知，圆上到原点的距离以1OP 为最大，最大值是 3,故选D。说明：求模的

8、最值要注意模的几何意义的应用。数形结合的思想方法在这里得到了完美的体现，考生应具备这方面的素养与意识。3. (96 全国 4)复数(2 +2i)(1 +J3i)A. 1C. 1 - 3B.D.-1. 3i-1 - 3i解析：方法一:1 - . 3i = 2(cos- -i 3sin )故(1 -弋13 )5 = 3255 二5 二cos i sin33._冗冗2 +2i =22 ( cos-十i sin -)故(2 +2i)3 25 =222故选B。(cosn +i sinn)= 4465 二5 二(2 2i)4(1 一 3i)5-2 (cos - i sin)方法二：原式16(1 十i) 4

9、2(2i)5 1-2 (-221、- 3一 - i-41.3i. 3 5i)2-4(1 一 ： 3i)4213 2(一-i)22=-13i22应选B。方法三：2+2i的辐角主值是45 =,则（2+2i） 4的辐角是180：, 1J3i的一个辐角是-60 。则(1 展)5的辐角是_300 所以(= 2a,1 =2a 2, a 1，所以 z 的头部的 +5)：的一个辐角是480,它在第二象限(13i)5从而排除A、C、D选B o说明：本题主要考查了复数的基本概念和运算，有一定的深刻性，尤其是选择项的设计，隐藏着有益的提示，考查了学生观察问题、思考问题、分析问题的能力。W期蛰晨示22例1.设复数 z

10、=lg(m -2m -2) +(m +3m+2)i ,试求头数m 取何值时，(1)z是纯虚数；(2) z是实数；(3) z对应的点位于复平面的第二象限。解:2 一 一 一lg(m -2m -2) =0/日(1)由=. o倚 m=3m2 3m 2-0由 m2 +3m +2 =0 彳#m =或m = -2Jg( m2 -2m -2) : 0由2m2 3m 2 0得-1 ： m ： 1 - 3或 1. 3 ： m 二、3说明：对复数的分类条件要注意其充要性对复数相等，共轲复数的概念的运用也是这 样。例2.设z是虚数，co=z + 1是实数，但 -1 O b所以u为纯虚数。,2b1 - a(3)解：

11、-u =2a -2 =2a -2(a 1)(a 1)a -1工2 一上I=2a -=2a 1 +=2.(a + 1)+ -3a+1a+11 a+1 _一， 1，因为 a =(- , 1),所以 a +1 0故6 -U2 2，2(a +1) -ah 3=4 3=1,1r一 一，2 一当a+1=1即a =0时s u取得最小值1说明：本题表面上是考查复数的有关概念，但实质上是借复数的知识考查学生的化归 能力、考查均值不等式的应用，综合考查学生运用所学知识解决问题的能力是高考改革的 方向。例3,已知AABC的三内角A、B、C满足s i nA (colS coC)=siriB siC设复数 z1 =co

12、s t1 i sin 二(0 ：二 t ：二二),(二 ).2Z2 = 2(cosB isinB),Z3 =2 (cosC i sinC)求 arg(Z1 z2)的值。Z3解：由 sin A (cos B+cosC) =sin B+sin C得B C = 2si nB -C cos2c . B C B -C2si rAc o s cos 22又 s i nA =2s i nA 2A c o s-2B C A s i n二 c o s-22.2 A 1 即J. si n =一 ,即22B C c o s2B -C cos2A=s in-2B Cc o s - 02JTA =一2 TOC o 1-

13、5 h z 从而生刍=_2 cosr(-) isi n-) Z32 _22-. Z Zo3当 00一时， arg()=+n2Z32当三8 cn时2Z1 z2. 二arg( ) - Z32说明：复数与三角有着极为密切的关系，将二者融合在一起考查，历来为命题者所青 睐，本题的突破口在于对 sin A(cos B +cosC) =sinB +sinC的处理，一般要用和差化积或积 化和差公式。例4,已知复数z1，Z2的辐角分别为 日1，%,且4+Z2 =5i , Z1对=14，求cos(61 一日2)的解：设Z1 =1最值以及取得最小值的复数Z1,Z2OZ2 =2,且 r 0,2 0,由条件得:r1c

14、os& +r2 cos02 =0 (1)1rlsin a +r2 sin 日2 =5 (2)r1r2 =1 4(3)(1) 2 + (2) 2得r12 +r22 +2r1r2 cos(8 1 82)=2 5二 COS(TI1 - Ti2 )-222 5 (rJr22)22 8=2r1 r2 三 r12 8+ r22 (当且仅当r1 =r2=NV取等号、33即当r1 =r2 =4寸cos(0 1 一日2)取得取大值 一一，28当仇e2=(2k+1)Ti时，cos(e1 -e2)取得最小值 -1 此时 r12 r22 =53,222r1=7r1=2二(1+r2)=1+2+21r2=81=r1+r2

15、=9= V 或 Vr2=2|2 = 7Z1 =7iZ1 = -2i.或 ,Z2 二-2iz2 = 7i说明：复数与三角，复数与不等式的综合是近几年高考的热点，解此类问题的关键是 复数问题化归成实数问题来处理。“实战模拟.已知复数z二1十i求复数z 3z 6的模和辐角主值。Z 1.求复数1十(亘上)7的模及辐角主值。2一，一一7 1.已知复数 z1,z2,满足 z1 =1, z2 =1 且z1 +z2=-+-i,求21 -z2 的值。5 5.设 z z+ (1-2i)z+(1+2i) 3=3,(1)求z的最大值和最小值。(2)求复数z的实部和虚部之和的最大值和最小值。.已知 2z 内 +i 1

16、,(1)求|z|的最值；(2)求argz的取值范围。参考答案 TOC o 1-5 h z 22z2 -3z 6(1 i)2 -3(1 i) 63 -i=-=1iz 11 i 12 i1 i 的模 r =、：12 +(_1)2 =应；-i对应点在第四象限，且辐角的正切值tan日=1,所以辐角主值为 日=.五，综上所述4所求复数模为；2 ,辐角主值为7n. 4,3 i 7. ,z2 =cos12 i sin 12,cos61 +cos82) +i(sin a +sin02)sin，sin i212即 2 sincos22 cos22得 tan-1 - 22211 一力 cos2 tansin( /

17、)=5，(i)51二一F .1227. (2)1tan21 - tan2c o s?1%)=1 , tan22212口1 1222425.z1 z2 =cos(2) i sin(工 ,12)247=一 一 一 i.25 254.rJ5思1122 J1一丁)nn521111二()2 cos二 i sin -二366n=(-)2 (cos311n二.i sin11n ：;)06cos3二 06.11n 二sin =011=n 以二2k 二(k Z)6、612=n = k(k Z), 11:最小自然数n =12.5.(1)设2=*+丫1,由条件 z z+(12i)z+(1+2i) z = 3得(x+1)2十