IIR数字低通滤波器设计

1、1 滤波器简介 TC 第1章 滤波器简介 f C l 1 对输入信号通过一定的处理得到输出信号，这个处理通常是提取信号中某频率范围内的信号成分，把这种处理的过程称为滤波。实现滤波处理的运算电路或设备称为滤波器。在许多科学技术领域中，广泛应用线性滤波和频谱分析对信号进行加工处理，模拟滤波是处理连续信号，数字滤波则是处理离散信号，而后者是在前者的基础上发展起来的。无源或有源模拟滤波器是分立元件构成的线性网络，他们的性能可以用线性微分方程来描述，而数字滤波器是个离散线性系统，要用差分方程来描述，并以离散变换方法来分析。这些方程组可以用专用的或通用的数字计算机进行数字运算来实现。因此，数字滤波器的滤波

2、过程是一个计算过程，它将输入信号的序列数字按照预定的要求转换成输出数列。2 滤波器的原理2.1 数字滤波器的工作原理 TC 1.1.2 数字滤波器的工作原理 f C l 3 在数字滤波中，我们主要讨论离散时间序列。如图所示。设输入序列为，离散或数字滤波器对单位抽样序列的响应为。因在时域离散信号和系统中所起的作用相当于单位冲激函数在时域连续信号和系统中所起的作用。数字滤波器,H(z)图 数字滤波器原理数字滤波器的序列将是这两个序列的离散卷积，即 同样，两个序列卷积的z变换等于个自z变换的乘积，即 用代入上式，其中T为抽样周期，则得到 式中和 分别为数字滤波器输入序列和输出序列的频谱，而为单位抽样

3、序列响应的频谱。由此可见，输入序列的频谱经过滤波后，变为 ，按照的特点和我们处理信号的目的，选取适当的使的滤波后的符合我们的要求。 数字滤波器的基本特性 TC 1.2.1 模拟滤波器与数字滤波器的基本特性 f C l 3 如果利用离散时间系统对数字信号（时间离散、幅度量化的信号）进行滤波则构成数字滤波器。数字滤波器的差分方程表示为： 系统函数表示:数字滤波器的特性通常用其频率响应函数来描述，包括幅度特性和相位特性。按信号通过系统时的特性（主要是幅频特性）来分类：可以有低通、高通、带通和带阻四种基本类型。低通数字滤波器：图所示|H(ej)|c-c-22-fs/2-fsfs/2fs-fcfcf图

4、低通数字滤波器的频谱（2）高通数字滤波器：图所示|H(ej)|c-c-22图 高通数字滤波器的频谱（3）带通数字滤波器：图所示|H(ej)|2-2-221-1图 带通数字滤波器的频谱（4）带阻数字滤波器：图所示1|H(ej)|2-2-22-1图 带阻数字滤波器的频谱2.3 无限冲击响应IIR和有限冲击响应FIR滤波器 TC 1.2.2 IIR和有限冲击响应FIR滤波器 f C l 3 按系统冲击响应（或差分方程）可以分成无限冲击响应 IIR和有限冲击响应FIR滤波器两类。这两种滤波器都可以现实各种频率特性要求，但它们在计算流程、具体特性逼近等方面是有差别的。(1) FIR滤波器(非递归型):(

5、2) IIR滤波器（递归型） 滤波器的主要技术指标 TC 1.3 滤波器的主要技术指标 f C l 2 滤波器的主要技术指标取决于具体的应用或相互间的相互关系。具体的有最大通带增益（即通带允许起伏）；最大阻带增益；通带截止频率；阻带截止频率。如图所示dB0dBdB图 滤波器的主要技术指标3 IIR数字滤波器的设计 TC 第3章 IIR数字滤波器的设计 f C l 1 3.1 IIR数字滤波器的设计方法 TC 3.1 IIR数字滤波器的设计方法 f C l 2 IIR滤波器是一种数字滤波器，滤波器的系统函数如式 由于它的脉冲响应序列是无限长的，故称无限冲激响应滤波器。IIR滤波器的设计就是根据滤

6、波器某些性能指标要求，设计滤波器的分子和分母多项式。它和FIR滤波器相比优点是在满足相同性能指标要求条件下，IIR滤波器的阶数要明显低于FIR滤波器。但IIR滤波器的相位是非线性的。IIR滤波器设计方法可分为三种：模拟滤波器变换（经典设计法）、直接设计法、参数模型设计法、最大平滑滤波器设计。3.2 IIR滤波器经典设计 TC 3.2 IIR滤波器经典设计 f C l 2 基于模拟滤波器变换原理，首先是根据滤波器的技术指标设计出相应的模拟滤波器，然后再将设计好的模拟滤波器变换成满足给定技术指标的数字滤波器。这就是IIR滤波器设计的经典法。在MATLAB中，经典法设计IIR数字滤波器采用下面的主要

7、步骤：模拟低通滤波原型频率变换模拟离散化IIR滤波器图3.1 IIR经典法设计步骤第二步完成后，一个达到期望性能指标的模拟滤波器（低通、高通、带通和带阻）已经设计出来。第三步离散化主要任务就是把模拟滤波器变换成数字滤波器，即把模拟滤波器的系数映射成数字滤波器的系统函数。实现系统传递函数s域至z域映射有脉冲响应不变法和双线性映射两种方法。 = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 脉冲响应不变法。设计过程是：按照技术要求设计一个模拟低通滤波器，得到模拟低通滤波器的传输函数转换成数字低通滤波器的系统函数H(z)。 将传输函数从s平面传换到z平面的方法有多种，但工程上常用的是脉冲响应不变法和双

8、线性变换法。我们先研究脉冲响应不变法。设模拟滤波器的传输函数为，相应的单位冲激响应是，=LTLT.代表拉氏变换，对进行等间隔采样，采样间隔为T，得到，将h(n)= 作为数字滤波器的单位取样响应，那么数字滤波器的系统函数H(z)便是h(n)的Z变换。因此脉冲响应不变法是一种时域上的转换方法，它是h(n)在采样点上等于。设模拟滤波器只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，将用部分分式表示： 式中为的单阶极点。将逆拉氏变换得到： 式中u(t)是单位阶跃函数。对进行等间隔采样，采样间隔为T,得到： 对上式进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数H(z)： 的极点映射到z平面，其极点变成，系数

9、不变化。下面分析从模拟滤波器转换到数字滤波器，s平面和z平面之间的映射关系，从而找到这种转换方法的优缺点。这里我们以采样信号作为桥梁，推导其映射关系。设的采样信号用表示， 对进行拉氏变换，得到： 式中是在采样点t=n T时的幅度值，它与序列h(n)的幅度值相等，它与序列h(n)的幅度值相等，即h(n)= ，因此得到：上式表示采样信号的拉氏变换与相应的序列的Z变换之间的映射关系可用下式表示： 我们知道模拟信号的傅立叶变换和其采样信号的傅立叶变换和其采样信号的傅立叶变换之间的关系满足式： 将代入上式，得 由上式得到： 上式表明将模拟信号的拉氏变换在s平面上沿虚轴按照周期延迟后，再按照映射关系，映射

10、到z平面上，就得到H（z）。 = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 双线性变换法这种变换方法，采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到/T之间，再用转换到z平面上。设Ha（s），s=j，经过非线性频率压缩后用Ha（s1），=j1表示，这里用正切变换实现频率压缩： 式中T仍是采样间隔，当1从-/T经过0变化到/T时，则由-经过0变化到+，实现了s平面上整个虚轴完全压缩到平面上虚轴的/T之间的转换。这样便有 再通过 转换到z平面上，得到： 上式称为双线性变换。从s平面映射到平面，再从平面映射到z平面，其映射情况如图所示。由于从s平面到平面具有非线性频率压缩的功能，因此不可能

11、产生频率混叠现象。另外，从平面转换到z平面仍然采用标准转换关系 ，平面的 /T之间水平带的左半部分映射z平面单位圆内部，虚轴映射单位圆。这样，Ha（s）因果稳定，转换成的H（z）也是因果稳定的。下面分析模拟频率和数字频率之间的关系。令 ，有 ImRez平面js平面j11s1平面/T-/T图 双线性变换法映射射关系上式说明，s平面上与平面上的成非线性正切关系，如图3.3所示。在=0附近接近线性关系；当增加是，增加得愈来愈快；当趋近时，趋近于。正是因为这种非线性关系，消除了频率混叠现象。-0图3.3 双线性变换法的频率变换与之间的非线性关系是双线性变换法的缺点，直接影响数字滤波器频响逼真的模仿模拟

12、滤波器的频响，幅度特性和相位特性失真的情况如图3.4所示。这种非线性影响的实质问题是：如果的刻度是均匀的，则影射到z平面的刻度不是均匀的，而是随增加愈来愈密。000000图3.4 双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射双线性变换法可由简单的代数公式将Ha（s）直接转换成H（z），这是该变换法的优点。4 IIR数字滤波器仿真IIR数字滤波器经典设计法的一般步骤是：（1）根据给定的性能指标和方法不同，首先对设计性能指标中的频率指标进行转换，转换后的频率指标作为模拟滤波器原型设计性能指标。（2）估计模拟低通滤波器最小阶数和边界频率，利用MATLAB工具函数buttord、cheb1ord等。设计模拟

13、低通滤波器原型，利用MATLAB工具函数buttap、cheb1ap等。（3）由模拟低通原型经频率变换获得模拟滤波器（低通、高通、带通、带阻），利用MATLAB工具函数lp2lp、lp2hp、lp2bp、lp2bs。（4）将模拟滤波器离散化获得IIR数字滤波器，利用MATLAB工具函数bilinear。数字性能指标给出通带截止频率，阻带截止频率，通带衰减，阻带衰减等。数字频率和的取值范围为0，单位：弧度，而MATLAB工具函数常采用标准化频率，和的取值范围为01。模拟性能指标给出通带截止频率，阻带起始频率，通带衰减，阻带衰减等。模拟频率和的单位均为弧度/秒。技术指标：通带截止频率=2，阻带截止

14、频率，通带衰减小于3dB，阻带衰减大于15dB,采样频率。仿真结果见图巴特沃斯滤波器阶数N的确定：根据公式：=其中，n=滤波器的阶数=截止频率=通频带边缘频率1/(1+)=在通频带边缘的数值。那么取=令1/A=n=带入上面的参数就可以求得N=5时适合。Wp= 2000*2*pi;Ws=3000*2*pi; Rp=3; Rs=15; Fs=10000; Ts=1/Fs; Nn=128;N,Wn=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,s) b,a=butter(N,Wn,s); z,p,k=buttap(N); Bap,Aap=zp2tf(z,p,k); b,a=lp2lp(Bap,Aap,Wn); bz,az=bilinear(b,a,Fs) freqz(bz,az,Nn,Fs) N =5Wn =1.3387e+004az =图4.2 数字低通滤波器仿真图4.1 数字低通滤波器仿真5 心得体会几乎在所有的